2021-2022学年河北省保定市雄县九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年河北省保定市雄县九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共23页。试卷主要包含了三象限等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年河北省保定市雄县九年级（上）期末数学试卷

1. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是(    )
A. 厨余垃圾 B. 可回收物
C. 其他垃圾 D. 有害垃圾
2. 已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是−a(a≠0)，则a−b的值为(    )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
3. “一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，x这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x的值可能是(    )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 对于二次函数y=(x−1)2+2的图象，下列说法正确的是(    )
A. 开口向下 B. 当x=−1时，y有最大值是2
C. 对称轴是x=−1 D. 顶点坐标是(1,2)
5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠BAC=α，将△ABC绕点C顺时针旋转90∘得到△A′B′C，点B的对应点B′在边AC上(不与点A，C重合)，则∠AA′B′的度数为(    )

A. α B. α−45∘ C. 45∘−α D. 90∘−α
6. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(    )


A. B. C. D.
7. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为(    )
A. 45∘
B. 60∘
C. 72∘
D. 36∘


8. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为(    )
A. 4π
B. 6π
C. 8π
D. 12π
9. 已知反比例函数y=−2x，则下列结论正确的是(    )
A. 点(1,2)在它的图象上
B. 其图象分别位于第一、三象限
C. y随x的增大而减小
D. 如果点P(m,n)在它的图象上，则点Q(n,m)也在它的图象上
10. 如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(2,0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a(a>2)，则点B的对应点B′的横坐标是(    )
A. 2a−2
B. −2a+6
C. 2a−4
D. −2a+4
11. 如图，△ABC中，内切圆Ⅰ和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B=55∘，∠C=75∘，则∠EDF的度数是(    )
A. 55∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 70∘
12. 如图，O是坐标原点，▱OABC的顶点A的坐标为(−3,4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y=−27x(x<0)的图象经过顶点B，则S▱OABC的值为(    )
A. 27
B. 15
C. 12
D. 无法确定
13. 如图，已知⊙P与坐标轴交于点A，O，B，点C在⊙P上，且∠ACO=60∘，若点B的坐标为(0,3)，则弧OA的长为(    )
A. 2π
B. 3π
C. 3π
D. 23π
14. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.下列结论：
①ac>0；
②当x>0时，y随x的增大而增大；
③3a+c=0；
④a+b≥am2+bm.
其中正确的个数有(    )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
15. 将二次函数y=x2−5x−6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为(    )
A. −734或−12 B. −734或2 C. −12或2 D. −694或−12
16. 已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x=m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2=0，则称函数y1和y2是“和谐函数”．以下函数y1和y2是“和谐函数”的是(    )
A. y1=−1x和y2=−x+1 B. y1=x2+2x和y2=−x+1
C. y1=−1x和y2=−x−1 D. y1=x2+2x和y2=−x−1
17. 如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，将EA绕点E顺时针旋转60∘，点A的对应点F恰好落在CD上，则∠DAE=______∘.


18. 如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=14AB，点P在BC上运动(不与B、C重合)，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为__________.

19. 如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O.若∠A=60∘，∠B=75∘，则AB=______ .


20. 如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1,0)，与y轴交于点B(0,2)，虚线为公共对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为______.


21. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60∘，得到线段AE，连接CD，BE.

(1)求证：∠AEB=∠ADC；
(2)连接DE，若∠ADC=105∘，求∠BED的度数．
22. 解方程：
(1)(x−2)2−9=0；
(2)x2−3x−4=0.
23. 为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量y1(万支)与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
(1)该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
(2)该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过90万支？

24. 为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目(A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸)，张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图(如图所示).

(1)张老师调查的学生人数是______名．
(2)现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．
25. 如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12x刻画．若小球到达的最高的点坐标为(4,8)，解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)小球落点为A，求A点的坐标；
(3)在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
(4)求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．

26. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G.
(1)求证：△BGD∽△DMA；
(2)求证：直线MN是⊙O的切线．

27. 如图，抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A(1,0)，C(0,−2)，连接AC，BC.
(1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；
(2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求S1S2的值最大时点P的坐标.

答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕着这一点旋转180∘后与自身重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕着这一点旋转180∘后与自身重合，所以是中心对称图形．
故选：D.
把一个图形绕某一点旋转180∘后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，绕着对称中心旋转180度后与自身重合．

2.【答案】A 
【解析】解：∵关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是−a(a≠0)，设另一个根是x1,
∴x1⋅(−a)=a，解得：x1=−1，
将x1=−1代入原方程得：1−b+a=0，
∴a−b=−1.
故选：A.
由一元二次方程的根与系数的关系x1⋅x2=ca，以及已知条件求出方程的另一根是x=−1，然后将x=−1代入原方程，求a−b的值即可．
本题主要考查了一元二次方程的解．解答该题时，还使用了一元二次方程的根与系数的关系x1⋅x2=ca.

3.【答案】A 
【解析】解：根据题意可得，x的值可能为4.如果是5、7、6，那么与摸出球上的号码小于5”是必然事件相违背．
故选：A.
根据必然事件的意义，进行解答即可．
本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：二次函数y=(x−1)2+2的图象的开口向上，故A错误；
当x=1时，函数有最小值2，故B错误；
对称轴为直线x=1，故C错误；
顶点坐标为(1,2)，故D正确．
故选：D.
根据二次函数的性质对各选项进行判断．
本题考查了二次函数的性质，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，明确旋转前后对应角相等、对应线段相等是解题的关键．
由旋转知AC=A′C，∠BAC=∠CA′B′，∠ACA′=90∘，从而得出△ACA′是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解答】
解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90∘得到△A′B′C，
∴AC=A′C，∠BAC=∠CA′B′，∠ACA′=90∘，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CA′A=45∘，
∵∠BAC=α，
∴∠CA′B′=α，
∴∠AA′B′=45∘−α.
故选：C.  
6.【答案】A 
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=135∘，AC=2，BC=2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135∘，而在A选项中，三角形的钝角为135∘，它的两边分别为1和2，
因为22=21，所以A选项中的三角形与△ABC相似．
故选：A.
利用△ABC中，∠ACB=135∘，AC=2，BC=2，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可．
此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．

7.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180∘，
由圆周角定理得：∠BOD=2∠BAD，
∵四边形OBCD为菱形，
∴∠BOD=∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD=180∘，
解得：∠BAD=60∘，
故选：B.
根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD=180∘，根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BAD，根据菱形的性质得到∠BOD=∠BCD，计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：∵正六边形的外角和为360∘，
∴每一个外角的度数为360∘÷6=60∘，
∴正六边形的每个内角为180∘−60∘=120∘，
∵正六边形的边长为6，
∴S阴影=120π×62360=12π，
故选：D.
首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．

9.【答案】D 
【解析】解：A、将x=1代入y=−2x，得到y=−2≠2，
∴点(1,2)不在反比例函数y=−2x的图象上，故本选项错误，不符合题意；
B、因为反比例函数系数为−2，则函数图象过二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、由于函数图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，故本选项错误，不符合题意．
D、如果点P(m,n)在它的图象上，则点Q(n,m)也在它的图象上，故本选项正确，符合题意；
故选：D.
根据反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质解答．
本题主要考查对反比例函数的性质的理解和掌握，能熟练地根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：过点B作BD⊥x轴于点D，过点B′作B′E⊥x轴于点E，
则BD//B′E，
∴△BCD∽△B′CE，
∴CDCE=BCB′C，
∵点C的坐标是(2,0)，
∴OC=2，
∵点B的横坐标是a，
∴CD=a−2，
∵△ABC与△A′B′C是位似图形，位似比为2，
∴CDCE=BCB′C=12，
∴CE=2CD=2a−4，
∴OE=2a−6，
∴点B的对应点B′的横坐标是6−2a，
故选：B.
过点B作BD⊥x轴于点D，B′E⊥x轴于点E，根据相似三角形的性质得到CDCE=BCB′C，根据位似比求出CDCE=12，计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似比求出CDCE=12是解题的关键．

11.【答案】C 
【解析】解：连接IE、IF，如图，
∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，
∴IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠AEI=∠AFI=90∘，
∴∠A=180∘−∠EIF，
∵∠EDF=12∠EIF，
∴∠EDF=90∘−12∠A，
∵∠B=55∘，∠C=75∘，
∴∠A=180∘−∠B−∠C=180∘−55∘−75∘=50∘，
∴∠EDF=90∘−12×50∘=65∘.
故选：C.
连接IE、IF，如图，根据切线的性质得到∠AEI=∠AFI=90∘，利用四边形的内角和得到∠A=180∘−∠EIF，再利用圆周角定理得到∠EDF=90∘−12∠A，然后根据三角形内角和求出∠A，从而可计算出∠EDF.
本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质．

12.【答案】B 
【解析】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示：

∵函数y=−27x(x<0)的图象经过顶点B，
∴S矩形BDOE=27，
∵▱OABC的顶点A的坐标为(−3,4)，
∴AD=3，DO=4，
∴BD⋅OA=27，即BD×4=27，
∴BD=274，
∴OC=AB=274−3=154，
∴S▱OABC=OC⋅OD=15，
故选：B.
过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义得S矩形BDOE=27，进而求得BD，进一步得到AB，根据平行四边形面积公式即可求得答案．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，正确得出BD的长是解题关键．

13.【答案】A 
【解析】解：连接AB、OP，
∵∠AOB=90∘，
∴AB为⊙P的直径，
∵∠ACO=60∘，
∴∠APO=120∘，∠ABO=60∘，
∴∠BAO=30∘，
∵OB=3，
∴AB=2OB=6，
∴OA的长120π×3180=2π，
故选：A.
作辅助线，先根据圆周角定理可知：AB为⊙P的直径，由圆心角和圆周角的关系可得：∠OPA=120∘，求得AB=6，根据弧长公式可得结论．
本题考查了圆周角定理，弧长公式，坐标与图形的性质，根据弧长公式确定其对应的圆心角和半径是关键．

14.【答案】B 
【解析】解：把点A(−1,0)，B(3,0)代入二次函数y=ax2+bx+c，
可得二次函数的解析式为：y=ax2−2ax−3a，
∵该函数开口方向向下，
∴a<0，
∴b=−2a>0，c=−3a>0，
∴ac<0，3a+c=0，①错误，③正确；
∵对称轴为直线：x=−b2a=1，
∴x<1时，y随x的增大而增大，x>1时，y随x的增大而减小；②错误；
∴当x=1时，函数取得最大值，即对于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确．
综上，正确的个数有2个，
故选：B.
把点A(−1,0)，B(3,0)代入二次函数y=ax2+bx+c，可得二次函数的解析式为：y=ax2−2ax−3a，由图象可知，函数图象开口向下，所以a<0，可得b和c的符号，及a和c的数量关系；由函数解析式可得函数对称轴为直线：x=−b2a=1，根据函数的增减性和最值，可判断②和④的正确性．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).

15.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键是通过画图，确定临界点图象的位置关系．
如图所示，过点B作直线y=2x+b，将直线向下平移到恰在C处相切，此时与新图象也有三个公共点，则一次函数y=2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．
【解答】
解：如图所示，过点B的直线y=2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到与抛物线有且只有一个交点C时，此时与新图象也有三个公共点，

令y=x2−5x−6=0，解得：x=−1或6，即点B坐标(6,0)，
将一次函数与二次函数表达式联立得：x2−5x−6=2x+b，整理得：x2−7x−6−b=0，
△=49−4(−6−b)=0，解得：b=−734，
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y=2x+b得：0=12+b，解得：b=−12，
综上，直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为−12或−734；
故选：A.  
16.【答案】D 
【解析】解：A、令y1+y2=0，
则−1x−x+1=0，
整理得：x2−x+1=0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故A不符合题意；
B、令y1+y2=0，
则x2+2x−x+1=0，
整理得：x2+x+1=0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故B不符合题意；
C、A、令y1+y2=0，
则−1x−x−1=0，
整理得：x2+x+1=0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，
故C不符合题意；
D、A、令y1+y2=0，
则x2+2x−x−1=0，
整理得：x2+x−1=0，
解得：x1=−1+52，x2=−1−52，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，
故D符合题意；
故选：D.
根据题意，令y1+y2=0，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”．
本题考查了解一元二次方程-公式法，根据题意令y1+y2=0，然后进行计算是解题的关键．

17.【答案】75 
【解析】解：连接AF，如图所示：
由旋转的性质得：AE=EF，且∠AEF=60∘，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60∘，AE=AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90∘，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=ADAE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴∠BAE=∠DAF=12(90∘−60∘)=15∘，
∴∠DAE=∠DAF+∠EAF=15∘+60∘=75∘，
故答案为：75.
连接AF，证△AEF是等边三角形，得∠EAF=60∘，AE=AF，再证Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，得∠BAE=∠DAF=15∘，即可求解．
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，证明Rt△ABE≌Rt△ADF是解题的关键．

18.【答案】4 
【解析】
【分析】
本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了数形结合思想.
先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ=y，BP=x，则CP=12−x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值.
【解答】
解：由题意得∠BEP+∠BPE=90∘，∠QPC+∠BPE=90∘，BE=AB−AE=9，
∴∠BEP=∠CPQ.
又∠B=∠C=90∘，
∴△BPE∽△CQP，
∴BEPC=BPCQ，
设CQ=y，BP=x，则CP=12−x，
∴912−x=xy，化简得y=−19(x2−12x)，
整理得y=−19(x−6)2+4，
所以当x=6时，y有最大值为4.
故答案为4.  
19.【答案】2 
【解析】
【分析】
本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作出正确的辅助线是解题关键．
连接OA，OB，由三角形内角和可得出∠C=45∘，再根据圆周角定理可得∠AOB=90∘，即△OAB是等腰直角三角形，又知道圆半径为1，可得出结论．
【解答】
解：如图，连接OA，OB，

在△ABC中，∠BAC=60∘，∠ABC=75∘，
∴∠ACB=180∘−∠BAC−∠ABC=45∘，
∴∠AOB=90∘，
∵OA=OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB=2OA=2.
故答案为：2.  
20.【答案】2 
【解析】解：过抛物线L2的顶点D作CD//x轴，与y轴交于点C，如右图所示：
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1,0)，与y轴交于点B(0,2)，
∴OB=2，OA=1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD=OC=2，
由图可知，阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分=S矩形OCDA=OA⋅AD=1×2=2.
故答案为2.
根据题意可推出OB=2，OA=1，AD=OC=2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行计算即可．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，以及二次函数与一元二次方程．

21.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60∘，AB=AC.
∵线段AD绕点A顺时针旋转60∘，得到线段AE，
∴∠DAE=60∘，AE=AD.
∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC.
∴∠EAB=∠DAC.
在△EAB和△DAC中，
∵AB=AC∠EAB=∠DACAE=AD，
∴△EAB≌△DAC(SAS).
∴∠AEB=∠ADC.
(2)如图，

∵∠DAE=60∘，AE=AD，
∴△EAD为等边三角形．
∴∠AED=60∘，
又∵∠AEB=∠ADC=105∘.
∴∠BED=105∘−60∘=45∘. 
【解析】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质证得三角形全等是解题的关键．
(1)由等边三角形的性质知∠BAC=60∘，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60∘，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；
(2)由∠DAE=60∘，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60∘，继而由∠AEB=∠ADC=105∘可得答案．

22.【答案】解：(1)(x−2)2=9，
∴x−2=3或x−2=−3，
∴x1=5，x2=−1；
(2)x2−3x−4=0，
(x−4)(x+1)=0，
∴x−4=0或x+1=0，
∴x1=−1，x2=4. 
【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；
(2)分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
此题考查一元二次方程的解法-直接开平方法，公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

23.【答案】解：(1)当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y=kx，
∵点(1,180)在该函数图象上，
∴180=k1，得k=180，
∴y=180x，
当x=4时，y=1804=45，
即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；
(2)设技术改造完成后对应的函数解析式为y=ax+b，
∵点(4,45)，(5,60)在该函数图象上，
∴4a+b=455a+b=60，
解得a=15b=−15，
∴技术改造完成后对应的函数解析式为y=15x−15，
180x≤9015x−15≤90，
解得2≤x≤7
∵x为正整数，
∴x=2，3，4，5，6，7，
答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支． 
【解析】(1)根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x=4代入求出相应的y的值即可；
(2)根据题意和图象中的数据，可以得到技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．
本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．

24.【答案】(1)50，
(2)把2人选修书法的记为A、B，1人选修绘画的记为C，1人选修摄影的记为D，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，
∴所选2人都是选修书法的概率为212=16. 
【解析】解：(1)张老师调查的学生人数为：10÷20%=50(名)，
故答案为：50名；
(2)见答案．
(1)由A的人数除以所占百分比即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

25.【答案】解：(1)∵小球到达的最高的点坐标为(4,8)，
∴设抛物线的表达式为y=a(x−4)2+8，
把(0,0)代入得，0=a(0−4)2+8，
解得：a=−12，
∴抛物线的表达式为y=−12(x−4)2+8；
(2)解方程−12(x−4)2+8=12x，得x1=0，x2=7，
当x=7时，y=72，
所以A(7,72)；
(3)当x=2时，y1=12x=1，y2=−12(x−4)2+8=6，
∵6−1>4，
∴小球M能飞过这棵树；
(4)小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度h=−12(x−4)2+8−12x
=−12(x−72)2+498，
∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为498. 
【解析】(1)设抛物线的表达式为y=a(x−4)2+8，把(0,0)代入即可得到答案；
(2)联立两个解析式，可求出交点A的坐标；
(3)把x=2分别代入y=−12(x−4)2+8和y=12x，即可得到答案；
(4)根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．

26.【答案】证明：(1)∵MN⊥AC，BG⊥MN，
∴∠BGD=∠DMA=90∘，
∴∠BDG+∠DBG=90∘，
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90∘，
∴∠BDG+∠ADM=90∘，
∴∠DBG=∠ADM，且∠BGD=∠DMA=90∘，
∴△BGD∽△DMA；
(2)连结OD.
∴BO=OA，BD=DC，
∵OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC，
又∵MN⊥AC，
∴OD⊥MN，
∴直线MN是⊙O的切线． 
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ADC=90∘，得到∠DBG=∠ADM，根据两角相等的两个三角形相似证明；
(2)证明OD是△ABC的中位线，得到OD//AC，根据平行线的性质得到OD⊥MN，根据切线的判定定理证明．
本题考查的是相似三角形的判定、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理是解题的关键．

27.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+32x+c过点A(1,0)，C(0,−2)，
∴0=a+32+c−2=c，解得：a=12c=−2.
∴抛物线的表达式为y=12x2+32x−2.
设直线AC的表达式为y=kx+b，则
k+b=0b=−2，解得：k=2b=−2.
∴直线AC的表达式为y=2x−2.
(2)点D不在抛物线的对称轴上，理由是：
∵抛物线的表达式为y=12x2+32x−2，
∴点B坐标为(−4,0).
∵OA=1，OC=2，
∴OAOC=OCOB.
又∵∠AOC=∠BOC=90∘，
∴△AOC∼△COB.
∴∠ACO=∠CBO.
∴∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90∘，
∴AC⊥BC.
∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，
延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1.
又∵∠ACO=∠DCE，
∴△ACO≌△DCE(AAS).
∴DE=AO=1，则点D横坐标为−1，
∵抛物线的对称轴为直线x=−32.
故点D不在抛物线的对称轴上．
(3)设过点B、C的直线表达式为y=mx+n，
∵C(0,−2)，B(−4,0)，
∴−2=n0=−4m+n，解得：m=−12n=−2.
∴过点B、C的直线解析式为y=−12x−2.
过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为(1,−52)，
过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2.
设点P坐标为(m,12m2+32m−2)，则点N坐标为(m,−12m−2)，
∴PN=−12m−2−(12m2+32m−2)=−12m2−2m，
∵PN//AM，
∴△AQM∼△PQN.
∴PQAQ=PNAM.
若分别以PQ、AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积(同高不等底)，
则△BPQ与△BAQ的面积比为PQAQ，即S1S2=PQAQ.
∴S1S2=PNAM=−12m2−2m52=−m25−4m5=−15(m+2)2+45.
∵−15<0，
∴当m=−2时，S1S2的最大值为45，此时点P坐标为(−2,−3). 
【解析】(1)利用待定系数法可求得函数的表达式；
(2)抛物线的表达式为y=12x2+32x−2，点B坐标为(−4,0).可证明△AOC∼△COB.继而可证AC⊥BC，则将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，可证△ACO≌△DCE，可得D坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上；
(3)分别过A、P作x轴的垂线，利用解析式，用同一个字母m表示出P，N的坐标，进而用m表示出S1S2的值，根据二次函数的性质可以确定出S1S2的最大值，进而可确定出此时的P点坐标．
本题以二次函数为背影考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，二次函数中常见辅助线的作法，利用点的坐标表示线段的长度，确定函数最值，关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示线段的长度．