2021-2022学年河北省唐山市路北区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年河北省唐山市路北区九年级（上）期末数学试卷

1.     关于x的一元二次方程的一个根为1，则k的值为(    )

A. 1 B.  C. 2 D.

2.     抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.     已知∽，且，则的面积与的面积之比为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     下列事件属于必然事件的是(    )

A. 打开电视，正在播放新闻 B. 明天会下雨
C. 实数，则 D. 掷一枚硬币，正面朝上

5.     已知的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，则l与的位置关系是(    )

A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定

6.     圆锥的底面直径为80cm，母线长为90cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是(    )

A.  B.  C.  D.

7.     已知反比例函数，下列结论中不正确的是(    )

A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限
C. 当时， D. 当时，y随着x的增大而增大

8.     如图，双曲线的一个分支为(    )

A. ① B. ② C. ③ D. ④

9.     如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 当时，与的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为，将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为(    )

A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或5

12. 如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为(    )
     

A.  B.  C.  D.

13. 图中四个阴影的三角形中与相似的是(    )

A.
B.
C.
D.

14. 如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知，则的面积是(    )

A. 1
B. 2
C. 4
D.

15. 已知是反比例函数图象上的一个点，则k的值为______.
16. 如图，在中，点D，E分别在AB，AC上，且若，，，则BC的长为______.

17. 已知二次函数，当时，y随x的增大而______填“增大”或“减小”
18. 如图，在半径为2的中，弦直径CD，垂足为E，，点P为上一动点，于点
    ①弦AB的长度为______；
    ②点P在上运动的过程中，线段OF长度的最小值为______.

19. 解方程：
20. 如图所示，扇形OAB的面积为，，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆的半径．

21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且
    求证：∽；
    若，，，求AF的长．

22. 如图，已知、是一次函数的图象与反比例函数 的图象的两个交点.
     

求此反比例函数和一次函数的解析式；

根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；

求的面积.

23. 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
    从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
    从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
    在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在，则可以推算出x的值大约是多少？
24. 如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，且B，C在x轴的负半轴上，E是DC的中点，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点
    若点B坐标为，求m的值；
    若，且点E的横坐标为
    ①用含a的代数式表示出点F的坐标；
    ②求出反比例函数的表达式．

25. 如图，二次函数的图象与x轴交于B、C两点点B在点C的左侧，一次函数的图象经过点B和二次函数图象上另一点其中点A的坐标为
    求二次函数和一次函数的解析式；
    若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作x轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值．

26. 如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作
    当______时，；
    当与正方形ABCD的边相切时，求BP的长；
    设的半径为x，请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围．
    
    

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：把代入方程，可得，即，
故选：
把代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．
本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：顶点式，顶点坐标是，
抛物线的顶点坐标是
故选：
直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．
 

3.【答案】B 

【解析】解：∽，且相似比为，
其面积之比为相似比的平方为
故选：
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求．
本题考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
 

4.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】
解：是随机事件；
B.是随机事件；
C.是必然事件；
D.是随机事件；
故选：  

5.【答案】A 

【解析】解：的半径r为3cm，点O到直线l的距离d为4cm，

与的位置关系相离．
故选：
根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当，直线与圆相离，当，直线与圆相切，当，直线与圆相交，由的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，得出，进而可得l与的位置关系．
此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系．
 

6.【答案】B 

【解析】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n，
由题意得：，
解得：，
故选：
根据弧长公式、圆的周长公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
 

7.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题主要考查反比例函数的性质，当时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．
根据反比例函数的性质，利用排除法求解．
【解答】
解：A、，，图象经过点，正确；
B、，图象在第一、三象限，正确；
C、，图象在第一象限内y随x的增大而减小，当时，，正确；
D、应为当时，y随着x的增大而减小，错误．
故选：  

8.【答案】D 

【解析】解：在中，，
它的两个分支分别位于第一、三象限，排除①②；
又当时，，排除③；
所以应该是④．
故选：
此题可直接根据反比例函数的图象性质作答．
主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
 

9.【答案】B 

【解析】解：四边形ABCD是圆内接四边形，
，
而，
，
而，

故选：
根据圆内接四边形的对角互补得到，而与为邻补角，得到
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
 

10.【答案】D 

【解析】解：根据题意，，则a、b同号，
当时，，开口向上，过原点，过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当时，，开口向下，过原点，过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：
根据题意，，则a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案．
本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
 

11.【答案】D 

【解析】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为，
故选：
分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．
本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．
 

12.【答案】A 

【解析】解：设，则，
四边形CDEF为正方形，
，，
∽，
，
，
在中，，即，
解得，，
，，，
剩余部分的面积，
故选
 

13.【答案】B 

【解析】

【分析】
根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
【解答】
解：由勾股定理得：，，，
：BC：：：，


A、三边之比为1：：，图中的三角形阴影部分与不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形阴影部分与相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形阴影部分与不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形阴影部分与不相似．
故选：  

14.【答案】A 

【解析】解：根据反比例函数k的几何意义可知：的面积为，的面积为，
的面积为 ，
，
，
的面积为 ，
故选：
根据反比例函数k的几何意义得出的面积为 ，再根据，得，即可得出．
本题主要考查反比例函数k的几何意义，熟练利用反比例函数k的几何意义计算三角形面积是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是反比例函数图象上的一个点，

故答案为：
将点A坐标代入解析式可求k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上的点满足函数图象解析式是本题的关键．
 

16.【答案】6 

【解析】解：，
，，
∽，
，即，

故答案为：
由可得出，，根据相似三角形的判定定理可得出∽，再利用相似三角形的性质可得出，代入，，即可求出BC的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
 

17.【答案】减小 

【解析】解：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，当时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
根据二次函数的性质即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为y轴，开口向上，此题难度不大．
 

18.【答案】； 

【解析】解：①如图，连接

，
，
，
，
，
，
，
故答案为

②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，即，
的最小值为
故答案为
①在中，解直角三角形求出AE即可解决问题．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据，即，由此即可解决问题．
本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：，
，
则，
解得，
， 

【解析】本题考查了解一元二次方程-配方法．
先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
 

20.【答案】解：设扇形的半径为R cm，
根据题意得，
解得负值舍去，
设这个圆锥的底面圆的半径为r cm，
则，
解得，
所以这个圆锥的底面圆的半径为 

【解析】设扇形的半径为Rcm，利用扇形的面积公式得到，解得，再设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，利用扇形面积公式得到，然后解关于r的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

21.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，，
，，
，
∽；

，，，
在中，，
由知∽，得，
 

【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出，，再根据平行线的性质得出，，然后根据，，得出，从而得出∽；
根据已知和勾股定理得出，再根据∽，得出，即可求出AF的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

22.【答案】解：由于点A在反比例函数的图象上，
所以，所以，
即反比例函数解析式为；
点B在反比例函数图象上，所以，

因为点A、B在一次函数的图象上，

，，
一次函数解析式为：
由图象知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值．
设一次函数图象与y轴交于点C，点A、B的横坐标分别用，表示．
则，所以，




答：的面积是 

【解析】根据点A的坐标求出反比例函数解析式，根据反比例函数解析式，求出点B的横坐标n，再根据点A、B求出一次函数解析式；
通过观察图象，直接得到结果．
设一次函数与y轴交点是C，可把分成两个三角形、，分别求出它们的面积．
本题考查了待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，直线与轴的交点及三角形的面积．解决三角形的面积可采用分割的办法．若一次函数的解析式与x轴的交点为D，亦可把分成、求面积．
 

23.【答案】解：件同型号的产品中，有1件不合格品，
抽到的是不合格品的概率；

令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，
画树状图如下：

共有12种情况，其中抽到的都是合格品的有6种情况，
则抽到的都是合格品的概率；

大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在，
抽到合格品的概率等于，
，
解得：，
经检验，是分式方程的解.
答：x的值大约是 

【解析】本题考查了概率的公式、用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，画出树状图，得出所有的情况以及抽到的都是合格品的情况，再根据概率公式计算即可；
根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值.
 

24.【答案】解：，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，
，，
又是DC的中点，点B坐标为，
，，
，
又反比例函数的图象经过点E，
；

①如图，连接AE，
点E的横坐标为a，，
点F的横坐标为，
又中，，
，，
点F的纵坐标为1，
；
②反比例函数经过点，，
，
解得，
，
，
反比例函数的表达式为 

【解析】依据矩形的性质即可得出，再根据反比例函数的图象经过点E，即可得到；
①依据勾股定理可得，进而得出点F的纵坐标为1，于是得到结论；
②根据反比例函数经过点E，F，可得，进而得到，代入反比例函数可得反比例函数的表达式为
本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即
 

25.【答案】解：把代入得：
，
解得：，
一次函数解析式为，
当时，，
解得，
则，
把，代入得：
，
解得：
抛物线解析式为；
设，则，


，
当时，PQ最大，最大值为 

【解析】先把A点坐标代入可求出k，从而得到一次函数解析式为，则易得，然后利用待定系数法求抛物线解析式；
利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设，，则，把解析式配成顶点式得到，然后根据二次函数的性质求PQ的最大值．
本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求二次函数解析式．
 

26.【答案】解：；
如图1，当与边CD相切时，

设，
在中，，
，
，
，
如图2，当与边AD相切时，

设切点为K，连接PK，
则，四边形PKDC是矩形，
，
，，
在中，，
综上所述，BP的长为3或；
如图1，当时，经过点M，点C；
如图3，当经过点M、点D时，

，
，
，

综上， 

【解析】

【分析】
本题是圆的综合问题，主要考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
设，则，由知，代入计算可得；
分别求出与边CD相切时和与边AD相切时BP的长即可得；
①当时，经过点M，点C；②当经过点M、点D时，由，可求得，继而知，据此可得答案．
【解答】
解：设，则，
，M是AB中点，
，
，
，即，
解得，
故答案为：
见答案；
见答案.