2021-2022学年吉林省长春市绿园区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年吉林省长春市绿园区九年级（上）期末数学试卷

1.     (    )

A.  B.  C.  D.

2.     若，则锐角(    )

A.  B.  C.  D.

3.     若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.     一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根

5.     若点、都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

6.     在平面直角坐标系中，已知，现将A点绕原点O逆时针旋转得到，则的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

7.     如图，在中，D为AC边上一点，，，，则(    )

A. 2 B. 1 C.  D.

8.     如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.     分母有理化______.
10. 抛物线的对称轴是直线______.
11. 某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，设该厂四、五月份的月平均增长率为x，则可列方程为______.
12. 如图，在中，点D、E分别是AB、AC边的中点，若，则线段______

13. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，AC与BD相交于点O，则的面积与的面积比为______.

14. 一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度AB为16米时，水面离桥拱顶的高度OC为______

15. 计算：
16. 解方程：
17. 在一个不透明的盒子中有3个红球和1个白球，它们除颜色外其它都一样，从盒子中摸出两个球，求摸出的两个球都是红球的概率．
18. 学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为，小道的宽应是多少？

19. 已知某二次函数的图象的顶点为，且过点
    求此二次函数的关系式．
    判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
20. 图①、图②、图③均是由14个小正方形组成的的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形．如图①，即为格点三角形，只用无刻度的直尺，请在图②、图③中各画一个格点三角形．
    要求：①所画三角形都与相似，且相似比不等于
    ②所画的两个三角形不全等.
21. “太阳鸟”是我市文化广场的标志性雕塑．某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量如示意图和查阅资料，得到了以下信息：
    信息一：在D处用高米的测角仪CD，测得最高点A仰角为
    信息二：在处用同一测角仪测得最高点A的仰角为
    信息三：测得米，点D、、B在同一条直线上．
    信息四：参考数据：，，
    请根据以上信息，回答下列问题：
    在中，
    ______填、或，
    ______填、或
    设米，
    则______用含x的代数式表示米，______用含x的代数式表示米．
    在的条件下，结合题中信息求出x的值．
    “太阳鸟”的高度AB约为______精确到米．

22. 感知如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上点P不与点A、B重合，可知∽
    探究如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上点P不与点A、B重合，
    求证：∽；
    若，，，求AP的长；
    应用如图③，在中，，，点P在边AB上点P不与点A、B重合，连接CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，求AP的长．
23. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动同时，动点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．当点P不与点A、C重合时，连结作线段PQ的垂直平分线交折线于点E，交AB于点F，交PQ于点G，连结设点P的运动时间为秒
    用含t的代数式表示线段CP的长度为______.
    当PQ与AB平行时，求t的值．
    当是等腰三角形时，求t的值．
    当时，直接写出t的值．

24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点和点
    此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为______.
    求此二次函数的关系式．
    当时，求二次函数的最大值和最小值．
    点P为二次函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点时，m的取值范围．
    
    

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：
故选：
直接利用二次根式的乘法法则：，即可得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
 

2.【答案】A 

【解析】解：，
锐角
故选：
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

3.【答案】C 

【解析】解：，
除以3y，得，
即，
故选：
根据比例的性质求出答案即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果，那么
 

4.【答案】B 

【解析】解：根据题意可得，
，，
，
一元二次方程无实数根．
故选：
利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；
③当时，方程无实数根．
本题主要考查了根的判别式，熟练应用根的判别式进行计算是解决本题的关键．
 

5.【答案】B 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴是直线，
，
，
故选：
根据二次函数的性质即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

6.【答案】A 

【解析】解：将A点绕原点O逆时针旋转得到，
即将点绕原点O逆时针旋转得到，如图，
所以，，
所以点的坐标是
故选：
将A点绕原点O逆时针旋转得到，相当于将点绕原点O逆时针旋转得到，如图，然后根据旋转的性质得，，从而得到点的坐标．
本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，
 

7.【答案】B 

【解析】解：，，
∽，
，即，
，

故选：
由，，可证明∽，由此可得，代入可求得CD，即可得到
本题主要考查相似三角形的判定和性质，证明出∽是解题的关键．
 

8.【答案】B 

【解析】解：如图1，

，，
，
，
如图2，

由上得：，，
，

，
如图4，


故选：
求出的邻边和斜边，根据求得．
本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握余弦函数定义．
 

9.【答案】 

【解析】解：
分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．结合本题，分母的有理化因式为，因此将分子、分母同乘以，消去分母中的根式即可．
本题主要考查了分母有理化的计算方法，找出分母的有理化因式解决此类题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
此函数的对称轴就是直线
故答案为
由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．
本题考查了二次函数的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：设该厂四、五月份的月平均增长率为x，
依题意得：，
故答案为：
设该厂四、五月份的月平均增长率为x，利用五月份的产量=三月份的产量增长率，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】3 

【解析】解：点D，点E分别是AB，AC边的中点，
是的中位线，
，
故答案为：
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】1：4 

【解析】解：根据网格可知：，，，
，
，
∽，
：：，
：：：4，
故答案为：1：
∽，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比．
本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．
 

14.【答案】4 

【解析】解：水面的宽度AB为16米
的横坐标为8，
把代入，
得，
，

水面离桥拱顶的高度OC为
故答案为：
根据题意，把直接代入解析式即可解答．
此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法和联系实际是解决问题的关键．
 

15.【答案】解：

 

【解析】根据二次根式的除法和减法可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式的除法和减法的运算法则．
 

16.【答案】解：原方程可化为：，
，，，
，

， 

【解析】先求出的值，再代入求根公式计算即可．
此题考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，关键是求出的值，注意
 

17.【答案】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中一次摸出的两个球都是红球的结果数为6，
所以一次摸出的两个球都是红球的概率 

【解析】先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一次摸出的两个球都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
 

18.【答案】解：设道路的宽为xm，依题意有

整理，得
，
，不合题意，舍去
答：小道的宽应是 

【解析】本题可设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为，宽为根据长方形面积公式即可求出道路的宽．
本题应熟记长方形的面积公式．另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：由顶点，可设抛物线为：，
将点代入上式可得：，
解得，
所以二次函数的关系式
点不在这个二次函数的图象上，理由如下：
把代入得，，
点不在这个二次函数的图象上． 

【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
利用顶点式求解二次函数解析式即可．
把代入函数的解析式求得函数值即可判断．
 

20.【答案】解：如图②③中，即为所求．
 

【解析】根据相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题即可．
本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】   

【解析】解：在中，
，

设米，

，，

故答案为：，，，
，，

解得
的值为米．
，




米
故答案为：
在中，利用直角三角形的边角间关系可得结论；
用含x的代数式表示出CE、，再利用线段的和差关系得方程，求解即可；
利用线段的和差求出
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

22.【答案】证明：是的外角，
，即，
，
，
，
∽；
解：∽，
，
，，，
，
解得：；
应用，
，
是的外角，
，即，
，
，
，
∽，
当时，，
，，
不成立；
当时，≌，
则，
；
当时，，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
综上所述：是等腰三角形时，AP的长为4或 

【解析】根据三角形的外角性质得到，得到，根据相似三角形的判定定理证明结论；
根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
应用证明∽，分、、三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动，
，
，
故答案为：；
由题意得：，，
，
，
，
解得：，
答：当PQ与AB平行时，；
由题意得：，
当是等腰三角形时，是等腰直角三角形，
当点E在AC上，，
是等腰直角三角形，
，此时点E和点C重合，
，
解得：，
答：当是等腰三角形时，；
点G是PQ中点，，
，
，，
，
化简得：，
解得：或，
，都符合题意，
当时，或
由题意得；
由题意得：，，根据，得，解方程即可；
由题意得：，当是等腰三角形时，是等腰直角三角形，分析出是等腰直角三角形，，解方程即可；
由题意，根据勾股定理得，解得：或
本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，直角三角形斜边中线性质，解题关键是利用等量关系得方程．
 

24.【答案】2 

【解析】解：在中，令得，
二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
故答案为：2；
将和代入得：
，解得，
二次函数的关系式为；
，
抛物线顶点为：，对称轴为直线，
，且，
当时，二次函数在时取得最大值，最大值是，
而，
时，二次函数在时取得最小值，最小值是，
当时，二次函数最大值是，最小值是，
，
当时，，PQ的长度随m的增大而减小，
当时，，PQ的长度随m增大而增大，
满足题意，解得，
①P到对称轴直线的距离为，当时，线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点，如图：

，
解得，
，
②如图：

时，，
在中，令得，
解得或，
当时，线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点．
综上所述，线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点，m的范围是或
令得，即可得答案；
用待定系数法即可得答案；
求出抛物线顶点为：，对称轴为直线，由，计算顶点坐标及时的函数值，即可得答案；
，由PQ的长度随m的增大而减小，得，①P到对称轴直线的距离为，当时，线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点，故，即得，②时，，在中，令得或，故当时，线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、线段与抛物线的交点等知识，解题的关键是根据题意，列出不等式，数形结合解决问题．