2021-2022学年吉林省长春市新区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年吉林省长春市新区九年级（上）期末数学试卷

1.     化简二次根式的正确结果为(    )

A. 3 B.  C.  D.

2.     下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.     若，则的值为(    )

A. 5 B.  C. 3 D.

4.     有5张完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，其数字是奇数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.     根据下列表格中的对应值，判断方程、b、c为常数的根的个数是(    )

A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 0

6.    在中，，，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D. 1

7.    已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.    在平面直角坐标系中，若函数的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为(    )

A.  B. 0 C. 1 D. 2

9.    计算______.
10. 若关于x的方程有一个根是，则m的值是______.
11. 已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的值是______.
12. 某市某楼盘准备以每平方米7200元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5832元的均价开盘销售．则平均每次下调的百分率为______.
13. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降米后，水面的宽度为______米．
     
14. 如图，在的方格中，两条线段的夹角锐角为，则______ .

15. 解方程：
16. 先化简，再求值：，其中，
17. 某校围棋队共有4名队员，分别是：小明、小红、小聪、小丽，其中小明、小红来自八年级，小聪小丽来自九年级，现准备抽取两名队员参加集训．
    若从八年级、九年级中各随机抽取一人，则小红和小丽恰好被抽到参加集训的概率为______；
    若从四名队员中随机抽取两名队员，请用列表法或画树状图法求抽到小明和小聪的概率．
18. 在的方格中，的三个顶点都在格点上，我们把像这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图.
    在图1的方格中作出与相似的最小格点三角形；
    在图2中把线段AC分成三条相等的线段，点E，F都在线AC上①只能用无刻度的直尺作直线；②保留作图痕迹

19. 2016年国庆节前夕，全球最长跨海大桥-港珠澳大桥主体桥梁工程贯通，大桥连接香港，澳门，珠海三地，总长55千米.大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图2是从图1引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是，拉索CD与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长结果精确到米，
     
20. 如图，有一道长为25m的墙，计划用总长为50m的栅栏，靠墙围成由三个小长方形组成的矩形花圃若花圃ABCD的面积为，求AB的长．

21. 已知关于x的一元二次方程
    证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
    为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
22. 如图，AD、BE是的高，连接
    求证：∽；
    若点D是BC的中点，，，求AB的长．

23. 如图，在中，，，，于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒.
    求线段CD的长；
    设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    当t为何值时，与相似？请直接写出t的值.

24. 已知二次函数
    该二次函数图象的对称轴是直线______；
    若该二次函数的图象开口向上，当时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；
    已知线段PQ的两个端点坐标分别为、，当此函数图象与线段PQ只有一个交点时，直接写出a的取值范围．
    对于该二次函数图象上的两点、，当时，恒成立，设，请结合图象，直接写出t的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：
故选：
根据二次根式的除法法则的逆运算和分母有理化把原式化简即可．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质和最简二次根式的概念是解题的关键．
 

2.【答案】B 

【解析】解：对于A，为分式方程，所以A选项不符合题意．
对于B，为一元二次方程，所以B选项符合题意；
对于C，是一元三次方程，所以C选项不符合题意；
对于D，是二元二次方程，所以D选项不符合题意.
故选
根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
本题考查了一元二次方程的概念．
 

3.【答案】A 

【解析】解：由，得
，解得，
，
故选：
根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b表示a是解题关键．
 

4.【答案】C 

【解析】解：从写有数字1，2，3，4，5这5张卡片中抽取一张，其中数字是奇数的有1、3、5这3种结果，
正面的数字是奇数的概率为，
故选：
让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】D 

【解析】解：由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为，
抛物线与x轴没有交点，
方程、b、c为常数没有实数根，
故选：
由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为，故方程、b、c为常数没有实数根．
本题考查了二次函数与方程的关系，结合表格中的数据判断方程为常数无实数解是解题的关键．
 

6.【答案】A 

【解析】解：，，
，
故选：
根据正弦的定义列式计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
 

7.【答案】D 

【解析】解：由图可知，，，
，，
A、三角形各角的度数都是，
B、三角形各角的度数分别为，，，
C、三角形各角的度数分别为，，，
D、三角形各角的度数分别为，，，
只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：
由题意知是等腰三角形，底角是，则顶角是，看各个选项是否符合相似的条件．
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握．
 

8.【答案】C 

【解析】解：函数的图象与坐标轴共有三个交点，
，
解得且，
故选：
根据函数的图象与坐标轴共有三个交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围，然后即可解答本题．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式

故答案为：
直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
 

10.【答案】2或 

【解析】解：把代入得，
整理得，解得
故答案为2或
把代入得，然后解关于m的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为，当时，y随着x的增大而减小
当时都符合要求，故可取
故答案为：
根据二次函数的对称性及在对称轴两侧的增减变化规律可得答案．
本题考查了二次函数的对称性及二次函数在对称轴两侧的增减变化趋势，本题属于基础题型，难度不大．
 

12.【答案】 

【解析】解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意得，
，
解得，不符合题意，舍去，
答：平均每次下调的百分率为
故答案为：
设平均每次下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果．
此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
根据二次函数图象和性质即可求解．
【解答】
解：如图：

以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意设二次函数解析式为：，
把代入，得：
，
所以二次函数解析式为：，
当时，
解得
所以水面的宽度为
故答案为  

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点C作，连接DE，

，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：
由勾股定理的逆定理可得，可得，由平行线的性质和锐角三角函数可求解．
本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
 

15.【答案】解：原方程化为：，

，

， 

【解析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为1；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
 

16.【答案】解：原式


当，时，
原式
 

【解析】根据整式的加减法则进行化简，再把值代入化简后的整式计算即可求解．
本题考查了整式的加减-化简求值、二次根式乘法，解决本题的关键是数值要代入化简后的整式．
 

17.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表可知，共有4种等可能结果，其中小红和小丽恰好被抽到参加集训的有1种结果，
所以小红和小丽恰好被抽到参加集训的概率为，
故答案为：；
列表如下：

由表知，共有12种等可能结果，其中抽到小明和小聪的有2种结果，
抽到小明和小聪的概率为
列表得出所有等可能结果，从中找到小红和小丽恰好被抽到参加集训的结果数，再根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到小明和小聪恰好被抽到参加集训的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：如图1，三角形DEF即为所求；

如图2，点E，F即为所求． 

【解析】根据网格即可在图1的方格中作出与相似的最小格点三角形；
根据网格，在图2中在线AC上找到点E，F即可．
本题考查了作图-相似变换，解决本题的关键是掌握相似变换．
 

19.【答案】解：设米，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
米
答：立柱BH的长约为米． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．
设米，由三角函数得出，得出，求出，由得出方程，解方程求出x，即可得出结果．
 

20.【答案】解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：AB的长为 

【解析】设，则，根据花圃ABCD的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合BC的长不超过墙的长度，即可确定AB的长．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】证明：

，
不论m为不为0的何值时，，
，
方程总有实数根；
解方程得，，
，，
方程有两个不相等的正整数根，
或2，不合题意，
 

【解析】求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键．
 

22.【答案】证明：、BE是的高，
，
，
∽；
解：点D是BC的中点，，
，
在中，
，，
，
，
∽，
，
，
，
 

【解析】根据相似三角形的判定即可证明结论；
根据垂直平分线的性质可得，由∽，可得，再根据勾股定理即可求出AB的长；
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明∽
 

23.【答案】解：，，，

，


线段CD的长为；

过点P作，垂足为H，如图1所示．
由题可知，，
则，
，
，
，
，

∽
，
，
，
；

由运动知，，则
，且，
①当时，如图2，
∽，
，
，
；

②当时，如图
∽，
，
，
，
当t为3或时，与相似． 

【解析】利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．
过点P作，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式，即可解决问题；
先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分与两种情况，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
函数的对称轴为直线，
故答案为：
，
抛物线顶点坐标为，
抛物线开口向上，
，顶点为图象最低点N，
，
直线与抛物线交点为最高点M，
把代入代入得，
，
，
，
，
，
或时，，
抛物线经过定点，，
当时，抛物线开口向上，
当顶点落在PQ上时满足题意，
，
解得，

当时，抛物线开口向下，
抛物线经过定点，
抛物线不经过点P，
当抛物线经过点Q时，将代入得，
解得，

或
当时，，即抛物线开口向下，点在点上方，
点A到对称轴距离小于等于点B到对称轴距离，
抛物线对称轴为直线，
时，取最大值，
直线关于对称轴对称后为直线，
，

，
，

将抛物线解析式化为顶点式求解．
根据抛物线顶点坐标及x的取值范围可得顶点为图象最低点N，最高点，由点M的纵坐标为求解．
通过二次函数解析式可得抛物线经过定点，然后分类讨论与求解．
由时，恒成立可得抛物线开口向下，则时，取最大值，直线关于对称轴为直线，所以，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合方法求解．