2021-2022学年辽宁省鞍山市九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年辽宁省鞍山市九年级（上）期末数学试卷

1.     下列四个图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.     已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D.

3.     如图，将绕点O逆时针旋转得到，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4.     将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位得到的抛物线解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

5.     已知，在圆中圆心角度数为，半径为10，则这个圆心角所对的扇形面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.     已知，点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.     二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为(    )

A.  B. ， C. ， D. ，

8.     如图，在中，，点D为BC边上一点，将为直线AD翻折得到，与BC边交于点E，若，点E为CD中点，，则AB的长为(    )

A.  B. 6 C.  D.

9.     方程的根是______.
10. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，作的位似图形，使它与相似比为2，若点A的坐标为，则位似图形上与点A对应的点的坐标为______.
11. 某工厂生产一款零件的成本为500元，经过两年的技术创新，现在生产这款零件的成本为405元，求该款零件成本平均每年的下降率是多少？设该款零件成本平均每年的下降率为x，可列方程为______.
12. 如图，为的外接圆，，，则直径长为______.

13. 《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步.问句中容方几何.”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为______ .

14. 如图，A，B两点在x轴上，点P为反比例函数图象上一点，连接PO，PA，PB，且PB与反比例函数的图象交于点N，若，，的面积为2，则k的值为______.

15. 如图，在正方形ABCD中，点E为CD边中点，连接AE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，BE，且CF与BE交于点H，连接DH，则下列结论：①；②；③；④∽；其中正确的是______填序号即可

16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B左侧，直线经过点A；当时，直线分别与y轴，抛物线交于，两点；当时，直线分别与y轴，抛物线交于，两点；…；当为正整数时，直线分别与y轴，抛物线交于，两点，则线段长为______用含n的代数式表示

17. 用适当的方法解方程
    ；
     
18. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，且，两点分别与B，C两点对应，延长BC与边交于点E，求的度数．

19. 如图，在一块长60m、宽30m的矩形地面内，修筑一横两竖三条道路，横、竖道路的宽度相同，余下的地面铺草坪，要使草坪面积达到，求道路的宽．

20. 按要求完成下列问题：
    在平面直角坐标系中，描出二次函数图象的顶点，图象与x轴，y轴交点，并画出二次函数的图象不必列表；
    已知一次函数，当时，自变量x的取值范围为，请直接写出一次函数的表达式．

21. 如图，在中，点D为BC边上一点，连接AD，点H为AD中点，延长BH交AC边于点E，求证：

22. 如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于，两点：
    求反比例函数的函数表达式；
    点C为x轴负半轴上一点，直线AC与y轴交于点D，且，求的面积．

23. 如图，在平行四边形ABCD中，点O为AD边上一点，以O为圆心，OA为半径作恰好经过点B，与AD边交于点E，CD边所在直线与相切，切点为H，连接AH，EH，若；
    求证：CB为切线；
    若，求半径．

24. 某经销商以140元/件的价格购进一款服装，若以300元/件的价格出售，每周可售出300件，该经销商在“元旦”之前购进若干该款服装准备在“元旦”黄金周进行降价促销，若销售单价每降低1元，则每周可多售出5件，且“元旦”黄金周的销售量不超过500件；设“元旦”黄金周该款服装售价为x元/件，销售利润为y元．
    求y与x之间的函数关系式；
    当售价为多少元/件时，“元旦”黄金周的销售利润最大，最大利润为多少元？
25. 基本模型：如图1，AD与BC交于点O，且，求证：∽；
    模型应用：如图2，在中，点D为BC边上一点，连接AD，点E为线段AD上一点，连接CE，若，，求的值；
    综合应用：在的条件下，若，CE平分，，，求AD的长．
     
26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴于A，B两点点A在点B左侧，交y轴的正半轴于点
    若；
    ①求抛物线的解析式；
    ②点P为y轴上一动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转得到线段，若恰好落在抛物线上，求P点坐标；
    点Q为抛物线上一动点，其横坐标为n，直线BQ交y轴于点E，连接QC，当时，请直接写出n的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
 

2.【答案】B 

【解析】解：由题意可知：，
，
故选：
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
 

3.【答案】C 

【解析】解：将绕点O逆时针旋转得到，
，
，
，
故选：
根据旋转的性质得到，根据角的和差即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，熟记性质并求出是解题的关键．
 

4.【答案】B 

【解析】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度后得到抛物线的解析式为：，
即
故选：
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

5.【答案】D 

【解析】解：扇形的面积为：，
故选：
直接利用扇形面积公式计算即可．
此题主要考查了扇形的面积公式：设圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，则熟记公式是解题的关键．
 

6.【答案】B 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，开口向上，
，

故选：
由抛物线开口向上可得离对称轴距离越近的点的纵坐标越大，进而求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质．
 

7.【答案】D 

【解析】解：抛物线经过点，
为方程的解，
抛物线对称轴为直线，
抛物线经过点，
为方程的解，
故选：
由抛物线经过及抛物线对称轴为直线可得抛物线经过点，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

8.【答案】A 

【解析】解：由折叠可知：，，，
，
，
，
，
∽，
，
点E为CD中点，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，

故选：
由折叠性质可得，，，证明∽，设，，对应边成比例可得，列出方程求出x的值，进而可以解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
 

9.【答案】， 

【解析】

【分析】
先提公因式，再化为两个一元一次方程即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
【解答】
解：，
或，
，，
故答案为，  

10.【答案】或 

【解析】解：以原点O为位似中心，作的位似图形，使它与相似比为2，点A的坐标为，
位似图形上与点A对应的点的坐标为：或
故答案为：或
直接利用位似图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设平均每次降低成本的百分数是
第一次降价后的价格为：元，第二次降价后的价格是：元，
，
故答案为：
由等量关系：原来成本价平均每次降低成本的百分数现在的成本，即可得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．掌握“变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为“是解决问题的关键．
 

12.【答案】4 

【解析】解：连接OA、OB，如图所示：
则，
，
是等边三角形，
，
直径长为4，
故答案为：
连接OA、OB，如图所示：根据圆周角定理得到，推出是等边三角形，求得，于是得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、勾股定理；熟练掌握圆周角定理，由勾股定理求出AB是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设正方形CDEF边长为x，则，
由的两条直角边的长分别为5和12可知，，，
四边形CDEF是正方形，
，
，
又，
∽，
，
，
解得
故答案为：
设正方形边长为x，用∽，对应边成比例列方程即可求解；
本题考查正方形性质及相似三角形对应边成比例，关键是根据三角形相似列方程．
 

14.【答案】4 

【解析】解：作于Q，于M，
，
设，则，，
，
，
，
的面积为2，
，即，
，
，
，，
，，
，
，
点P、点N在反比例函数图象上，
，
，
故答案为：
作于Q，于M，则，设，则，，根据等腰三角形的性质得出，则，根据三角形中位线定理得到，，即可得到，根据反比例函数系数k的几何意义得出，解得
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，表示出点的坐标是解题的关键．
 

15.【答案】①②③ 

【解析】解：点E为CD边中点，
，
又，，
≌，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，故①正确；
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，，，
，
，故②正确；
过点H作，交CD于N，

，∽，
，
，
，，
，
，
，
，故③正确；
，，
，
与不相似，故④错误，
故答案为：①②③．
由“SAS”可证≌，≌，可得，由余角的性质可证，故①正确；设，则，由相似三角形的性质和勾股定理分别求出HE，FH的长，可得，故②正确；由相似三角形的性质分别求出的值，的值，可得，故③正确；分别求出，的值，可判断与不相似，故④错误，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：令，则
解得：，
点A在点B左侧，
，

直线经过点A，
，

直线的解析式为
当为正整数时，直线为
令，则，
，

，
解得：，，

过点作轴于点C，如图，

则，，

由勾股定理得：
，
，

故答案为：
利用已知条件求出点A坐标，进而表示出点的坐标；将直线与抛物线解析式联立求出坐标，过点作轴于点C，利用勾股定理求得线段与的长，则，则结论可求．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与一次函数的交点，抛物线上点的坐标在特征，一次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，二次函数的性质，勾股定理，将直线与抛物线解析式联立求出坐标是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
，
，
则，
 

【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

18.【答案】解：设BE与交于F，
将绕点A逆时针旋转得到，
，，
，
，
 

【解析】设BE与交于F，根据旋转的性质得到，，求得，根据平角的定义即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：设道路的宽为x m，则草坪的长和宽分别是和，
根据题意列方程得：，
，
，，
当，，符合题意，
当，，，不合题意舍去，
答：道路的宽为 

【解析】把六块草坪拼到一起正好构成一个矩形，设道路的宽为x m，则矩形的长和宽分别是和，根据矩形的面积列出方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据矩形的面积列出方程是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：，
抛物线顶点A坐标为，
把代入得，
解得或，
，，
把代入得，
，
作图如下：

一次函数，当时，自变量x的取值范围为，
一次函数的图象过点，，
，
，
一次函数的表达式为 

【解析】将抛物线解析式化为顶点式求解；
根据题意，结合图象可知一次函数的图象过点，，然后根据待定系数法求得即可．
本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与不等式的关系，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．
 

21.【答案】证明：过D点作交AC于F，如图，
，
，
，
，
点H为AD中点，
，
，
 

【解析】过D点作交AC于F，如图，根据平行线分线段成比例定理，由得到，再证明，从而得到结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
 

22.【答案】解：反比例函数图象过点，
，
，
反比例的函数表达式为；
正比例函数图象与反比例函数图象交于，两点，

，
，
设直线CD为，
把A的坐标代入得，
，
直线CD为，
令，则，
，
，
 

【解析】根据待定系数法即可求得；
根据中心对称的性质得出，根据题意求得直线CD为，即可求得，然后根据即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与正比例函数的对称性，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接OH，OB，
，
，
，
，
边与相切，
，
，
即，
是的半径，
为切线；
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
≌，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
半径为 

【解析】连接OH，OB，根据四边形的内角和定理得到，求得，推出，根据切线的判定定理即可得到结论；
根据平行四边形的性质得到，，求得，，根据全等三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意得，
整理得
，
，
，
，
时，y随x增大而减小，
当时，y取最大值，
即
当售价为260元时，利润最大为60000元． 

【解析】根据利润=每件利润销量求解．
将二次函数化为顶点式求解．
本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握求二次函数最值的方法．
 

25.【答案】证明：，
，，
∽；
解：如图，过点C作交AD的延长线于点F，

，，
∽，
，
，
，
，
；
解：如图，延长CE交AB于点G，过点C作于点H，

，CE平分，
，，
，
，，
，
设，则，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
 

【解析】由，可得，，即可证明∽；
过点C作交AD的延长线于点F，先证明∽，得到，由，得到，则，即可退出；
延长CE交AB于点G，过点C作于点H，由三线合一定理可得，，然后证明，设，则，，则，求出EF的长，从而得到，在中，由勾股定理建立方程可求出x的值，进而可求出DG和AE的长，再由求出AD的长即可．
本题属于三角形综合题，主要考察了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是作出正确的辅助线狗仔中的模型．
 

26.【答案】解：①，
令，则或，
，，
令，则，
，
，
，
，
；
②设，
如图1，当P点在y轴正半轴时，
过B、作x轴垂线，过P点作y轴垂线，两垂线相交于点M、N，
，，
≌，
，，
，，
，
在上，
，
，
，
，
；
如图2，当P点在y轴的负半轴时，
过点作y轴的垂线交于点G，
，，
≌，
，，
，，
，
在上，
，
，
，
，
；
综上所述：P点坐标为或；
点Q为抛物线上一动点，其横坐标为n，
，
设直线BQ的解析式为，
，
，
，
，
，
点在C点下方，
，，
，
，
，
的值为 

【解析】①求出，，，再由，即可求解；
②分两种情况：当P点在y轴正半轴时，过B、作x轴垂线，过P点作y轴垂线，两垂线相交于点M、N，证明≌，可知再由在上，可求；当P点在y轴的负半轴时，过点作y轴的垂线交于点G，证明≌，可知，再由在上，可求
，求出直线BQ的解析式为，则，由，可知E点在C点下方，，，求出
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，构造三角形全等是解题的关键．