2021-2022学年辽宁省大连市庄河市九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年辽宁省大连市庄河市九年级（上）期末数学试卷

1.     下列图形中既是轴对称又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     一元二次方程的根是(    )

A.  B. ，
C.  D.

3.     把二次函数配方成顶点式为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     如图，是的外接圆，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.     一个不透明的袋子里装有5个小球，它们除分别标有的数字1，2，3，4，5不同外，其他完全相同，任意从袋子中摸出一球，则摸出的球所标数字为奇数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.     如图，已知AB为的直径，点C在上，，过点C的切线PC与AB的延长线相交于点P，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.     如图，在中，，，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点C、A、在一条直线上，那么旋转角等于(    )

A.  B.  C.  D.

9.     某服装店购进一批衬衫，原计划每件标价200元，由于疫情影响，该店决定对这批衬衫全部降价销售，设每次降价的百分率相同，经过连续两次降价后．每件销售162元，设每次降价的百分率为x，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知，函数与²在同一直角坐标系中的大致图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______.
12. 若抛物线经过点，，则其对称轴是直线______.
13. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是______.
14. 如图，在中，弦AB的长为，圆心O到AB的距离为1cm，的半径是______.

15. 已知二次函数为常数的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是_______________.
16. 如图，AB为直径，点C为圆上一点，连接AC、BC，过点C作于点D，，，，当时，y与x的函数解析式为______.

17. 计算：
18. 解方程：
    ；
     
19. 已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且，Q是CD的中点．
    求证：∽

20. 为纪念中国共产党成立100周年，某校举办班级歌咏比赛，歌曲有《没有共产党就没有新中国》记为、《我和我的祖国》记为、《唱支山歌给党听》记为比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片上，洗匀后正面朝下放在桌面上．
    班文艺委员先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九班文艺委员从中随机抽取一张卡片，确定各自的参赛曲目后，再进行歌咏比赛．
    九班文艺委员抽中歌曲《没有共产党就没有新中国》的概率是______；
    请用列表法或画树形图法，求九班文艺委员和九班文艺委员抽中同一首歌的概率．
21. 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域面积等于²，则这个矩形的边长多少米？
22. AB是的直径，AC是的弦，点D为上一点，点D平分劣弧连接
    如图1，求证：；
    如图2，过点D作的切线DE，交AC的延长线于点E，若，，求线段AE的长．
     
23. 在今年举办的东京奥运会上，杨倩在女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款，“小黄鸭“发卡在电商平台上爆单，某电商销售一段时间后，发现该发卡每天的销售量单位：个和售价单价单位：元满足一次函数关系如图所示，其中
    求y与x的函数关系；
    若该种发卡的成本为每件2元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？

24. 如图，在四边形ABCD中，，，，，点P从点B出发，沿的路径匀速运动到点C停止，过点P作于点Q，设点P运动的路程为x，线段PQ的长为
    ______；
    当时，y与x的函数关系式是______；
    设的面积为S，求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
     
25. 如图，已知四边形ABCD中，，，AC是的平分线，且以点C为中心，将线段AC旋转到CE处，使点A的对应点E恰好落在线段AB的延长线上．
    求证：；
    连接DE，若，
    ①请直接写出的度数______；
    ②求的值．
     
26. 已知函数，其中为常数，该函数的图象记为
    当时．
    ①若点在图象G上，则n的值为______；
    ②当时，求该函数的最小值．
    当时，直线交函数于点P，交函数图象G于点Q，若为等腰直角三角形，求m的值；
    若直线与坐标轴交于A，B两点，把线段AB绕原点O逆时针旋转，若线段AB与图象G有两个公共点，请直接写出m的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，正确把握相关定义是解决问题的关键．
 

2.【答案】B 

【解析】解：，
，，
故选：
两边直接开平方即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

3.【答案】B 

【解析】解：
故选：
由于二次项系数是1，直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
本题考查了二次函数解析式的三种形式：
一般式：、b、c为常数；
顶点式：；
交点式与x轴：
 

4.【答案】B 

【解析】解：，
，
故选：
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得答案．
本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，是一道基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：由题意可得，摸出的球所标数字为奇数的概率是
故选：
直接根据概率公式计算即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解题的关键是找到五个数字1，2，3，4，5中有三个奇数1，3，
 

6.【答案】B 

【解析】解：，
，
，
是的切线，
，
，
故选：
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形我觉得性质得到，根据切线的性质得到，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

7.【答案】C 

【解析】解：A、当时，，不经过原点，故本选项错误；
B、当时，，不经过原点，故本选项错误；
C、当时，，经过原点，故本选项正确．
D、当时，，不经过原点，故本选项错误；
故选：
将代入各选项进行判断即可．
本题考查了一次函数图象、反比例函数图象及二次函数图象上点的坐标特征，注意代入判断，难度一般．
 

8.【答案】B 

【解析】解：，，
，
由旋转的性质可知，，
，
，
故选：
根据三角形内角和定理求出的度数，根据旋转变换的性质求出，得到的度数即可．
本题考查的是旋转变换的性质、三角形内角和定理的应用，旋转变换的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
 

9.【答案】B 

【解析】解：设每次降价的百分率为x，
根据题意，得
故选：
根据“经过连续两次降价后，每件售价为162元“可以列出相应的方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】A 

【解析】解：当时，函数的图象位于一、三象限，的开口向下，交y轴于正半轴，A选项符合；
当时，函数的图象位于二、四象限，的开口向上，交y轴于负半轴，没有符合的选项．
故选：
分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
本题考查了正比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．
 

11.【答案】 

【解析】解：点关于原点的对称点的坐标是
故答案为：
根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
 

12.【答案】 

【解析】解：点、的纵坐标都是5相同，
抛物线的对称轴为直线
故答案为：
根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．
本题考查了二次函数的性质，观察出A、B是对称点是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有4种等可能的结果数，
其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
所以两枚硬币全部正面向上的概率是
故答案为
画树状图展示所有等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了树状图法：通过树状图法展示所有等可能的结果数求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
 

14.【答案】2cm 

【解析】解：过点O作于点D，连接OA，
，，
，
在中，，
故答案为：
过点O作于点D，连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键
 

15.【答案】， 

【解析】

【分析】
关于x的一元二次方程的两实数根就是二次函数为常数的图象与x轴的两个交点的横坐标．
本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程的两实数根．
【解答】
解：二次函数的解析式是为常数，
该抛物线的对称轴是：
又二次函数为常数的图象与x轴的一个交点为，
根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是，
关于x的一元二次方程的两实数根分别是：，
故答案是：，  

16.【答案】 

【解析】解：是直径，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：
证明∽，推出，可得结论．
本题考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
 

17.【答案】解：原式
 

【解析】直接利用完全平方公式以及立方根的性质、二次根式的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了完全平方公式以及立方根的性质、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
解得：，；

，
开方，得，
解得：， 

【解析】先求出的值，再代入公式求出答案即可；
两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，，Q是CD的中点，
，，
，
又，
∽ 

【解析】利用两边及其夹角法即可作出证明．
本题考查了相似三角形的判定，属于基础题，熟练掌握三角形相似的三个判定定理是解答本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：九班文艺委员抽中歌曲《没有共产党就没有新中国》的概率是，
故答案为：；
列表如下：

由表可知，共有9种等可能结果，其中九班文艺委员和九班文艺委员抽中同一首歌的有3种结果，
所以九班文艺委员和九班文艺委员抽中同一首歌的概率为
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设宽为x米，则长为米，
根据题意，得
解得，
答：这个矩形的长为10米，宽为2米． 

【解析】设宽为x米，则长为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．
 

22.【答案】证明：连接AD，

点D平分劣弧
，
，
，
，
；
解：为的切线，
，
为直径，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
 

【解析】由圆周角定理及等腰三角形的性质得出，，证出，由平行线的判定可得出结论；
由勾股定理求出，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
本题了考查圆周角定理，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：设，把和代入可得，
，
解得，，，
所以函数关系式为；
利润，

当时，w最大为900，
答：当定价为5元时，利润最大为900元． 

【解析】设，根据待定系数法可得函数关系式；
根据利润=每件的利润销售量可得二次函数关系式，再根据二次函数的性质可得最大值．
本题考查二次函数的实际应用，利用待定系数法求出关系式是解题关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
故答案为：4；

在中，，
当时，点P在线段AB上，
在中，，，，

故答案为：

如图1中，当时，，

如图2中，当时，

，，
，，
，

如图3中，当时，，

，
综上所述，
在中，解直角三角形求出BD即可；
当时，点P在线段AB上，求出BQ，PQ，可得结论；
分三种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，如图3中，当时，分别利用三角形面积公式求解即可．
本题属于四边形综合题考查了梯形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】 

【解析】证明：在AE上截取AK，使得，连接

平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；

①解：在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；

②解：过点C作交AD于点F，可得

，
，
，
由①可知，
，
，
为等腰直角三角形，
设，则，，
，

在AE上截取AK，使得，连接证明≌，推出，再证明，可得结论；
证明≌，推出，再利用三角形内角和定理，构建方程求出即可；
过点C作交AD于点F，可得证明为等腰直角三角形，设，则，，推出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

26.【答案】5 

【解析】解：当时，，
此时函数图象如图1所示：

①当时，；
，
故答案为：5；
②当时，由图象可知，当时，，
此时函数值最小，
当时，函数的最小值为；
如图2，设PQ交x轴于点H，则点H的坐标为，

①当为等腰直角三角形，，此时，
，
，
则，，
把点代入，得，
解得舍或；
②当为等腰直角三角形，，时，，
或；
，
图象经过定点，
令，则，
图象经过，
把线段AB绕原点O逆时针旋转，
旋转后的A点坐标为，B的坐标为，
设旋转后直线AB的解析式为，
，
，

①当时，如图3，

当时，，
当时，，
当时，，
当时，，此时线段AB与射线，直线交于一点，
当时，，此时线段AB与抛物线相交，但该交点取不到，
时，线段AB与图象G有两个公共点；
②当时，如图4，

当时，，此时线段AB与抛物线相交，但该交点取不到，
当抛物线经过时，，此时线段AB与抛物线有两个交点，线段AB与射线有一个交点，
此时图象G与线段AB有3个交点，
时，线段AB与图象G有两个公共点；
综上所述，满足条件的m的值为：或
①利用待定系数法求出点E的坐标即可；
②画出函数图象，利用函数的性质求解即可；
分两种情形：当为等腰直角三角形，，此时，②当为等腰直角三角形，时，分别求解即可；
旋转后的A点坐标为，B的坐标为，设旋转后直线AB的解析式为，分，，两种情形分别求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．