2021-2022学年山西省九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年山西省九年级（上）期末数学试卷

1.     下列函数中，是二次函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     图1是某淘宝店新推出的鞋架，可抽象成图2，直线，直线AC和DF被，，所截，如果，，，那么DE的长是(    )

A.  B.  C. 64cm D. 24cm

3.     已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

4.     如图，A，B，C，D都是上的点，，垂足为E，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.     关于反比例函数，下列说法不正确的是(    )

A. 函数图象经过点 B. 函数图象关于原点成中心对称
C. 函数图象分别位于第一、三象限 D. 当时，y随x的增大而增大

6.     如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为(    )

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

7.     若点在二次函数的图象上，则下列各点中，一定在二次函数图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.     一个矩形的长是宽的3倍，若把它的长、宽分别加1后，面积增加了9，求原矩形的长与宽．若设原矩形的宽为x，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.     如图，矩形ABCO的一个顶点是原点，顶点C在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，且，则k的值为(    )

A. 2
B.
C. 4
D.

10. 如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是______.
12. 将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为______.
13. 在一个不透明的布袋中装有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，则布袋中红球的个数大约是______.
14. 二次函数的最大值为，则a的值为______.
15. 如图，将半径为10cm的圆形纸片沿一条弦AB折叠，折叠后弧AB的中点C与圆心O重叠，则弦AB的长度为______

16. 用配方法解方程：
    当岚岚用因式分解法解一元二次方程时，她是这样做的：
    解：原方程可以化简为……第一步
    两边同时除以得……第二步
    系数化为1，得……第三步
    ①岚岚的解法是不正确的，她从第______步开始出现了错误．
    ②请完成这个方程的正确解题过程．
17. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，
    求的度数．
    求的度数．
     

18. 在创建国家卫生文明城市的过程中，海海和华华积极参加志愿者活动，有下列三个志愿者工作岗位供他们选择：
    ①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物分别用，表示；
    ②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传用B表示
    海海从三个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位的概率为______；
    若海海和华华各随机从三个岗位中选取一个报名，请你利用画树状图法或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．
19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点
    求反比例函数和一次函数的解析式．
    请直接写出时，x的取值范围______.
    求原点O到直线AB的距离．

20. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

任务：

如图3，在四边形ABCD中，，，，以A为顶点的，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

21. 如图1是某物体的支架实物图，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中C是支杆PD上一可转动点，，P是中间竖杆BA上的一动点，当点P沿BA滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，PC与BC重合于竖杆BA，经测量，设，竖杆BA的最下端B到地面的距离
    求AB的长．
    当点P运动时，试求出y与x的函数关系式．

22. 综合与实践
    “利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具-三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．
    
    使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把三等分了．
    为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．
    独立思考：
    如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整．
    已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，，垂足为点B，______，EN切半圆O于
    求证：______.
    探究解决：请完成证明过程．
    应用实践：若半圆O的直径为12cm，，求BE的长度．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为
    
    求n的值和抛物线的解析式．
    已知P是抛物线上位于直线BC下方的一动点不与点B，C重合，设点P的横坐标为当a为何值时，的面积最大，并求出其最大值．
    在抛物线上是否存在点M，使是以BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：A、，是反比例函数，故A不符合题意；
B、，是二次函数，故B符合题意；
C、是一次函数，故C不符合题意；
D、，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：
根据二次函数的定义判断即可．
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】D 

【解析】解：直线，
，
，，，
，

故选：
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
 

3.【答案】C 

【解析】解：根据题意得且，
解得且
故选：
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

4.【答案】B 

【解析】解：连接OC，
，OA为半径，
，，
，
，
，
，
，
故选：
根据垂径定理和，可以得到，，从而可以得到，再根据，即可得到的度数，然后根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系，即可得到的度数．
本题考查垂径定理、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

5.【答案】C 

【解析】A.当时，代入反比例函数得，，正确，故本选项不符合题意；
B.反比例函数的图象可知，两个分支关于原点成中心对称，正确，故本选项不符合题意；
C.，图象位于第二、四象限，错误，故本选项符合题意；
D.，在第二、四象限内y随x增大而增大，所以当时，y随x的增大而增大，正确，故本选项不符合题意；
故选：
依据反比例图象的性质作答．
本题考查了反比例函数图象的性质：①当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．②当时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
 

6.【答案】A 

【解析】解：将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，
，
，
是等边三角形，
，
，，

故选：
由旋转的性质及可得是等边三角形，从而，则由计算即可得出答案．
本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

7.【答案】A 

【解析】解：点在二次函数的图象上，
，
，
A、把代入，可得：，符合题意；
B、把代入，可得：，不符合题意；
C、把代入，可得：，不符合题意；
D、把代入，可得：，不符合题意；
故选：
把点代入，得出关于a，c的关系，再代入即可判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：图象上的点的坐标代入解析式成立．
 

8.【答案】C 

【解析】解：设原长方形的宽为x，则原长方形的长为3x，增加长、宽后的长方形的长为，宽为，
依题意得：
故选：
设原长方形的宽为x，则原长方形的长为3x，增加长、宽后的长方形的长为，宽为3x，根据长方形的面积增加了24，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】D 

【解析】解：作轴于D，轴于E，
顶点C在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，
，，
矩形OABC中，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
故选：
根据三角形相似的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可求得．
本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解本题的关键是求出三角形相似．
 

10.【答案】B 

【解析】解：，，，
，，
图中阴影部分面积，
故选：
解直角三角形得到AB，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．
 

11.【答案】9 

【解析】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，，
解得，，
故答案为：
根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为，即
故答案为：
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

13.【答案】13个 

【解析】解：一个不透明的布袋中装有红球、白球共20个，其中摸到红球的频率稳定在，
布袋中红球的个数大约是个；
故答案为：13个．
用总球的个数乘以摸到红球的频率即可得出答案．
本题考查了利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
为函数最大值，
，
解得
故答案为：
将二次函数解析式化为顶点式求解．
本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握求二次函数最值的方法，将二次函数解析式化为顶点式求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接OC交AB于点D，连接OA，

折叠后弧AB的中点C与圆心O重叠，
，，
，
在中，，
，
，
弦AB的长度为，
故答案为：
连接OC交AB于点D，连接OA，根据轴对称的性质可得，，再根据垂径定理可得，然后利用勾股定理求出AD，从而求出AB的长．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，翻折变换折叠问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】二 

【解析】解：配方，得，即，
由此可得，
解得，；
①二；
②正确的解答过程如下：
原方程可以化简为，
移项，得，
因式分解，得，
由此可得或，
解得，
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
①根据等式的基本性质即可判断；
②利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

17.【答案】解：，
，
，
；
，
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理，同圆或等圆中圆心角，弧，弦之间的关系．
先根据圆周角定理得到，则，然后根据三角形内角和计算的度数；
先根据圆周角定理得到，然后计算即可．  

18.【答案】 

【解析】解：恰好选择清理类岗位的概率为；
故答案为：；

根据题意画图如下：

共有9中等可能的情况数，其中他们恰好都选择同一个岗位的有3种，
则他们恰好都选择同一个岗位的概率是
直接利用概率公式求解即可；
根据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果数，再找出海海和华华都选择同一个岗位的结果数，然后根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
 

19.【答案】或 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点也在反比例函数的图象上，
，即
把点，点代入一次函数中，得，
解得
一次函数的解析式为
时，x的取值范围是或；
故答案为：或
过点O作于点M，令直线AB与x轴、y轴的交点分别为C、
直线AB解析式为，
点为，D点为，
是等腰直角三角形，，
，
既是的平分线也是CD边的中线，
，O到直线AB的距离为
根据待定系数法，可得函数解析式；
根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解，可得答案．
求得C、D的坐标，即可得出是等腰直角三角形，，即可得出，OM既是的平分线也是CD边的中线，即可根据求得结果．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

20.【答案】解：成立．
证明：将绕点A顺时针旋转得到，
≌，，，，，
，
、B、E三点共线，
，
，
，，
≌，
，
 

【解析】根据旋转的性质得到≌，，，，，推出M、B、E三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：当P运动到点A时，PC与BC重合于竖杆BA，
由题意可得：；
过点C作于点E，如图，

，，

，，
∽

，
，
整理得：
与x的函数关系式为： 

【解析】当P运动到点A时，PC与BC重合于竖杆BA，则；
过点C作于点E，利用等腰三角形的三线合一可得，利用∽得出比例式，将式子与数值代入，整理后即可得出结论．
本题是实际问题的应用，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用已知条件用含x，y的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，，垂足为点B，，EN切半圆O于
求证：EB，EO将三等分．
故答案为：；EB，EO将三等分．
证明：
，，，
≌，

，
是的切线．
、EN都是的切线，
，
，
，EO将三等分．
如图，连OF，延长BC与EN相交于点H，

由，知
是的切线，
，
，
半径，
由勾股定理得，在中，
，，

∽，
，
即，

根据题目条件写出已知、求证即可．
通过两组全等即可得：
画出标准的图形辅助，延长BC与EN相交于点H，与均为含角的直角三角形，根据其边长关系求解即可．
本题考查切线的性质与三角形全等、相似的知识点，熟练使用含角的直角三角形的边长比例关系可帮助快速解题．
 

23.【答案】解：对于，
令，则，
令，解得，
当时，，
故点A、B、C的坐标分别为，；
将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得，
解得，
抛物线的表达式为；
如图，过点P作y轴的平行线交AB于点H，连接BP，CP，

设点P的坐标为，则点，
则的面积，
，
的面积存在最大值，
当时，的面积的最大值为64；
存在，理由如下：
①当点B为直角顶点时，如图，过点B作交抛物线于点M，分别过点M和点C作y轴的垂线，垂足分别为N，D，

，，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
点M在抛物线上，
，解得舍或，
，，

②当点C为直角顶点时，如图，过点C作交抛物线于点，过点作y轴的垂线，过点C作x轴的垂线CE，

由①知，
，
，
，
设点的横坐标为m，则，
，解得或舍，

综上可知，存在点M，使是以BC为直角边的直角三角形，此时或 

【解析】用待定系数法即可求解；
由的面积，即可求解；
根据题意，需要分两种情况：①当点B为直角顶点时，过点B作交抛物线于点M，分别过点M和点C作y轴的垂线，垂足分别为N，D，由此可得是等腰直角三角形，设出点M的横坐标，代入函数解析式即可；②当点C为直角顶点时，过点C作交抛物线于点，过点作y轴的垂线，过点C作x轴的垂线CE，设点的横坐标为m，则，代入函数解析式即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏．