2021-2022学年山西省朔州市山阴县九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年山西省朔州市山阴县九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了第四象限B. 图象必经过点等内容，欢迎下载使用。

已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,3)，则下列的点在该反比例函数图象上的是( )
A. (−1,6)B. (−3,2)C. (−3,−2)D. (23,−9)
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，则tanA的值是( )
A. 35
B. 34
C. 53
D. 43
用配方法解方程x2−6x−5=0时，配方结果正确的是( )
A. (x−3)2=4B. (x−6)2=41C. (x+3)2=14D. (x−3)2=14
如图，直线a，b，c截直线e和f，a//b//c，ABBC=25，则下列结论中，正确的是( )
A. DFDE=72
B. EFDE=32
C. BECF=25
D. DFEF=53
已知反比例函数y=−3x，则下列描述不正确的是( )
A. 图象位于第二、第四象限B. 图象必经过点(−3,1)
C. 图象不可能与坐标轴相交D. y随x的增大而增大
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．已知木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO是( )
A. 134mB. 152mC. 301.5mD. 315m
如图，某飞机于空中A处(探测的目标C的正上方)，此时飞机的飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角∠DAB=30∘.则飞机A与指挥台B的距离是( )
A. 12002米B. 12003米C. 2400米D. 12005米
如图，在学习完概率后，同学们要确定如图1所示的图钉顶尖触地的概率．他们采用分组的方法，在相同的情况下，抛掷图钉，根据抛掷的次数和顶尖触地的频率绘制了图2的频率统计图，根据频率统计图可知，下列说法中，正确的是( )
A. 由于图钉只能顶尖触地和顶尖朝上，因此抛掷一枚图钉时，顶尖朝上的概率是0.5
B. 抛掷3次，一定有1次顶尖触地
C. 抛掷一枚图钉，顶尖触地的概率是0.46
D. 抛掷100次，顶尖触地的次数一定是46次
如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是( )
A. (6,0)B. (7,0)C. (6,1)D. (7,1)
如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠A=60∘，点O是对角线BD的中点．如图在点O处放置一个含60∘角的三角板OMN，把这个三角板绕点O旋转，斜边ON与边AD交于点F，直角边OM与边DC交于点E，若∠MON=60∘，则四边形OEDF的面积是( )
A. 随着三角板OMN的位置的变化而变化B. 163
C. 83D. 43
已知，△ABC中，∠A是锐角，sinA=12，则∠A的度数是______.
如图，A，B两点在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OB交AC于点E，若△OAE的面积是5，则四边形CDBE的面积是______.
一个不透明的袋中装有4个球，分别标有数字1，2，3，4，这些球除标有的数字不同外其余都完全相同．把袋中的球摇匀后，随机一次性摸出两个球，这两个球上的数字分别作为一个两位数的十位上的数字和个位上的数字，则这个两位数能被3整除的概率是______.
如图，△ABO中，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，边AB与⊙O相切于点A，把△ABO绕点A逆时针旋转得到△AB′O′，点O的对应点O′恰好落在⊙O上，则sin∠B′AB的值是______.
如图，正方形ABCD的边长为12cm，点M和N在对角线BD上，且BN=NM=MD，连接AM并延长交DC于点E，连接EN并延长交AB于点F，则线段BF的长为______cm.
(1)解方程：(3x−2)2=4x(3x−2)；
(2)计算：sin−230∘−2cs245∘+48sin60∘.
如图，利用标杆BE测量建筑物CD的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，AC=28m，点A，E，D在同一直线上，点B在AC上．求该建筑物CD的高度．
如图，有甲，乙两个转盘，甲转盘平均分成3等份，分别涂上红色、白色和蓝色，乙转盘平均分成两等份，分别涂上红色和白色，现在同时用力转动甲、乙两个转盘，两个指针只要有一个指针停在分界线上时，重新转动两个转盘，直到指针停在涂色的扇形区域．用列表或画树状图的方法，求两个指针都停在白色区域的概率．
某粮库需要把晾晒场上的1500吨玉米入库封存．
(1)直接写出入库所需要的时间d(单位：天)与入库平均速度v(单位：吨/天)的函数关系式(不必写出v的取值范围)；
(2)已知粮库有职工50名，每天最多可入库300吨玉米．
①预计玉米入库最快可在几天内完成？
②粮库职工每天以最多的量把玉米入库，连续工作3天后，天气预报说未来几天会下雨，粮库决定次日把剩下的玉米全部入库，求至少需要增加多少职工？
如图，为了测量甲楼CD的高度，由于甲楼的底部D不能直接到达，于是，测量人员在乙楼的顶部A测得甲楼的顶C的仰角是65∘，底部D的俯角是45∘，已知乙楼AB的高度是12米，求甲楼CD的高度．(参考数据：sin65∘≈0.91，cs65∘≈0.42，tan65∘≈2.14，结果精确到0.1米)
某商店购进一种冬季取暖的“小太阳”取暖器，每台进价为40元．这种取暖器的销售价为每台52元时，每周可售出180台．经调查发现，销售定价每增加1元时，每周的销售量将减少10台，若商店准备把这种取暖器销售价定为每台x元(x≥52)，每周的销售获利为y元．
(1)求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)，并求出销售定价为多少时，这一周销售“小太阳”取暖器获利最大；
(2)若该商店在某周销售这种“小太阳”取暖器获利2000元，求x的值．
综合与实践
问题情境：
在数学课上老师出了这样一道题：如图1，在△ABC中AB=AC=6，∠BAC=30∘，求BC的长．
探究发现：
(1)如图2，勤奋小组经过思考后，发现：把△ABC绕点A顺时针旋转90∘得到△ADE，连接BD，BE，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求BC的长；
探究拓展：
(2)如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把△ABC绕点A顺时针旋转120∘后得到△ADE，连接BD，CE交于点F，交AB于点G，请你判断四边形ADFC的形状并证明；
(3)奇异小组的同学把图3中的△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF，发现AF的长度在不断变化，直接写出AF的最大值和最小值．
综合与探究
如图，抛物线y=34x2−154x+3与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C.
(1)求点A，B和C的坐标；
(2)点E是直线BC上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当EF=OC时，求点E的横坐标；
(3)点P从点B出发沿BC以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时，点Q从点O出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，一点到达，两点同时停止运动．连接PQ，当△BPQ是等腰三角形时，请直接写出运动的时间．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,3)，
∴k=2×3=6.
A、−1×6=−6≠6，故选项A不符合题意，
B、−3×2=−6≠6，故选项B不符合题意，
C、−3×(−2)=6，故选项C符合题意，
D、23×(−9)=−6≠6，故选项，D不符合题意，
故选：C.
由点A在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
2.【答案】D
【解析】解：∵AC=3，BC=4，∠C=90∘，
∴tanA=BCAC=43，
故选：D.
根据锐角三角函数的定义得出tanA=BCAC，再代入求出答案即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可．
【解答】
解：∵x2−6x−5=0，
∴x2−6x=5，
则x2−6x+9=5+9，即(x−3)2=14，
故选D.
4.【答案】A
【解析】解：∵a//b//c，ABBC=25，
∴DEEF=ABBC=25，
∴DFDE=72，EFDE=52，DFEF=75，故选项A正确，符合题意，选项B、D不正确，不符合题意；
连接AF，交BE于H，
∵BE//CF，
∴△ABH∽△ACF，
∴BHCF=ABAC=27，
BECF=25，
∴选项C不正确，不符合题意；
故选：A.
根据平行线分线段成比例定理即可解答本题．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A.∵k=−3<0，
∴图象位于第二、第四象限，
故A正确，不符合题意；
B.∵−3×1=−3=k，
∴图象必经过点(−3,1)，
故B正确，不符合题意；
C.∵x≠0，
∴y≠0，
∴图象不可能与坐标轴相交，
故C正确，不符合题意；
D.∵k=−3<0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，
故D错误，符合题意．
故选：D.
根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的应用，解答时要了解：同一时刻物高和影长成正比．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】
解：∵BF//ED，
∴∠BAO=∠EDF，
又∵∠AOB=∠DFE=90∘，
∴△ABO∽△DEF，
∴BO：EF=OA：FD，
∴BO：2=201：3，
∴BO=134m，
答：金字塔的高度BO是134m，
故选：A.
7.【答案】C
【解析】解：由题意可知：∠B=30∘，
在Rt△ABC中，sinB=ACAB，
∴AB=ACsin30∘=120012=2400(m)，
答：飞机A与指挥台B的距离约为2400m，
故选：C.
由题意得到∠B=30∘，再利用锐角三角函数定义求出AB的长即可．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和正弦函数的定义是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵从一枚图钉被抛起后钉尖触地频率随抛掷次数变化趋势图可看出数据都集中在46.0%.
∴一枚图钉被抛起后钉尖触地的概率估计值是0.46.
故选：C.
从频率分布直方图上可以看出，数值都集中在46.0%，所以可看出一枚图钉被抛起后钉尖触地的概率估计值．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】B
【解析】解：如图所示：P点即为位似中心坐标为：(7,0).
故选：B.
直接利用位似图形的性质连接对应点，进而得出位似中心的位置．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：过点O作OG//BC于G.
∵菱形ABCD中，∠A=60∘，
∴∠C=60∘，∠ABC=120∘，∠DBC=∠ABD=∠ADB=∠CDB=60∘，
∴∠DOG=∠DGO=60∘，
∴ODG=60∘，
∴OD=OG=DG，
∵∠EOF=60∘，
∴∠EOF=∠DOG，
∴∠FOD=∠EOG，
∵OD=OG，∠FDO=∠EGO=60∘，
∴△FDO≌△EGO(ASA)，
∴S△FDO=S△EGO，
∴S四边形OEDF=S△FDO+S△DOE
=S△EGO+S△DOE
=S△OOG
=12×(82)2sin60∘
=43.
故选：D.
过点O作OG//BC于G.则△FDO≌△EGO，所以S△FDO=S△EGO，因S四边形OEDF=S△FDO+S△DOE=S△EGO+S△DOE=S△OOG，据此解答即可．
本题考查了菱形的性质，正确运用菱形的性质和全等三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】30∘
【解析】解：∵∠A是锐角，sinA=12，
∴∠A=30∘，
故答案为：30∘.
根据特殊角的三角函数值进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵A，B两点在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OB交AC于点E，
∴S△AOC=S△BOD=12k，
∴S△AOC−S△OCE=S△BOD−S△OCE，
∴S四边形CDBE=S△AOE=5，
故答案为：5.
根据反比例函数系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=12k，即可得到S△AOC−S△OCE=S△BOD−S△OCE，即S四边形CDBE=S△AOE=5.
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．
13.【答案】13
【解析】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的结果，其中这个两位数能被3整除的有4种情况，
则这个两位数能被3整除的概率为412=13.
故答案为：13.
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】32
【解析】解：由旋转得OA=O′A，∠OAB=∠O′AB′，
∴OA=O′A=OO′，
∴△OO′A是等边三角形，
∴∠O′AO=60∘，
∵边AB与⊙O相切于点A，
∴∠OAB=∠O′AB′=90∘，
∴∠B′AB=60∘，
∴sin∠B′AB=32.
故答案为：32.
由旋转得OA=O′A，则OA=O′A=OO′，△OO′A是等边三角形，可得∠O′AO=60∘，根据切线的性质以及旋转的性质得∠OAB=∠O′AB′=90∘，可得∠B′AB=60∘，根据特殊角的三角函数值即可求解．
此题考查圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质，锐角三角函数．
15.【答案】3
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，
∴∠MAB=∠MED，∠MDE=∠MBA，
∴△MAB∽△MED，
∴ABDE=BMDM，
∵BN=NM=MD，AB=12cm，
∴12DE=21，
∴DE=6(cm)，
同理△NBF∽△NDE，
∴BFDE=BNDN，即BF6=12，
∴BF=3(cm).
故答案为：3.
根据四边形ABCD是正方形，证明△MAB∽△MED，有ABDE=BMDM，即12DE=21，可得DE=6cm，同理△NBF∽△NDE，BFDE=BNDN，即BF6=12，即得BF=3cm.
本题考查正方形中的相似三角形，解题的关键是根据相似三角形对应边成比例列方程解决问题．
16.【答案】解：(1)移项得：(3x−2)2−4x(3x−2)=0，
分解得：(3x−2)(3x−2−4x)=0，
所以(3x−2)=0或(3x−2−4x)=0，
所以，x1=23，x2=−2；
(2)原式=(12)−2−2×(22)2+43×32
=4−2×12+4×32
=4−1+6
=9.
【解析】(1)方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
(2)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，实数的运算，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握方程的解法及运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴∠EBA=∠DCA=90∘，
∵∠A=∠A，
∴△EBA∽△DCA，
∴BECD=ABAC，
∵BE=1.2，AB=1.6，AC=28，
∴1.2CD=1.628，
∴CD=21，
∴该建筑物CD的高度是21m.
【解析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】解：设“白色”用“白”表示，“红色”用“红”表示，“蓝色”用“蓝”表示．
根据题意，列表如下：
根据表格可知，共有6种等可能的结果，其中，指针都停在白色区域的结果只有1种，为(白，白)，
P(两个指针都停在白色区域)=16.
【解析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出两个指针都停在白色区域的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)由题意可得，
d=1500v，
即入库所需要的时间d(单位：天)与入库平均速度v(单位：吨/天)的函数关系式是d=1500v；
(2)①把v=300代入d=1500v中，得d=1500300=5.
答：预计玉米入库最快可在5天内完成；
②设需要增加x名职工，
由题意可得：(300÷50)(50+x)≥1500−300×3，
解得x≥50，
答：至少增加50名职工．
【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可以写出入库所需要的时间d(单位：天)与入库平均速度v(单位：吨/天)的函数关系式；
(2)①将v=300代入(1)中的函数关系式，求出相应的d的值即可；
②根据题意，可以得到相应的不等式，然后求解即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式和不等式．
20.【答案】解：过点A作AH⊥CD于点H.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠BDH=∠AHD=∠AHC=90∘.
∴四边形ABDH是矩形．
∴HD=AB=12米，
在Rt△ADH中，∠AHD=90∘，∠HAD=45∘，
tan∠HAD=DHAH，
∴AH=DH=12米，
在Rt△ACH中，∠AHC=90∘，∠HAC=65∘，tan65∘≈2.14，tan∠HAC=CHAH，
∴CH=AHtan∠HAC≈12×2.14=25.68(米)，
∴CD=CH+HD=25.68+12≈37.7(米).
答：甲楼CD的高度约为37.7米．
【解析】过点A作AH⊥CD于点H，在Rt△ABD中求出BD，继而得出AH，在Rt△ACH中求出CE，继而可得出乙楼CD的高度．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，并熟练掌握锐角三角函数的定义．
21.【答案】解：(1)根据题意得：y=(x−40)[180−10(x−52)]=−10x2+1100x−28000，
∴y与x的函数关系式是y=−10x2+1100x−28000，
∵y=−10(x2−110x+2800)=−10(x−55)2+2250，且−10<0，
∴当x=55时，y有最大值，最大值是2250元，
答：y与x的函数关系式是y=−10x2+1100x−28000，销售定价为55元时，这一周销售“小太阳”取暖器获利最大2250元；
(2)把y=2000代入y=−10x2+1100x−28000得：
−10x2+1100x−28000=2000，
解得x1=50，x2=60，
∵x≥52，
∴x=60，
答：该商店在一周销售这种“小太阳”取暖器获利2000元，x的值是60.
【解析】(1)根据总利润=每台利润×销售量可得y与x的函数关系式，由二次函数性质及可得销售定价为55元时，这一周销售“小太阳”取暖器获利最大2250元；
(2)在(1)的函数关系式中，令y=2000得x的一元二次方程，即可解得答案．
本题考查二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据总利润=每台利润×销售量列出y与x的函数关系式．
22.【答案】(1)解：如图2，过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，
∵△ABC绕点A顺时针旋转90∘得到△ADE，AB=AC=6，∠BAC=30∘，
∴∠CAE=∠BAD=90∘，AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC=30∘，DE=BC，
∴∠BAE=∠CAE−∠BAC=60∘，AD=AB=AE=6，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE=AB=6，∠AEB=∠ABE=60∘，
∴∠C=∠ABC=180∘−∠BAC2=75∘，∠AED=∠ADE=180∘−∠DAE2=75∘，
∴∠HBE=∠HEB=180∘−60∘−75∘=45∘，
∴HE=HB，∠H=90∘，
∵∠ABD=∠ADB=45∘，
∴∠BDH=∠ADE−∠ADB=30∘，
∵BD=AD2+AB2=62+62=62，
∴HE=HB=12BD=12×62=32，DH=BD2−BH2=(62)2−(32)2=36，
∴BC=DE=DH−HE=36−32，
∴BC的长是36−32.
(2)解：四边形ADFC是菱形，
证明：如图3，∵△ABC绕点A顺时针旋转120∘得到△ADE，AB=AC，∠BAC=30∘，
∴∠CAE=∠BAD=120∘，AE=AC，AD=AB，∠DAE=∠BAC=30∘，
∴AE=AC=AB=AD，
∴∠ACF=∠AEF=180∘−∠CAE2=30∘，∠ADF=∠ABF=180∘−∠BAD2=30∘，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE=150∘，
∴∠CFD=360∘−∠ACF−∠ADF−∠CAD=150∘，
∴∠ACF+∠CAD=180∘，∠ACF+∠CFD=180∘，
∴FC//AD，FD//AC，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴AD=AC，
∴四边形ADFC是菱形．
(3)解：如图3，作FK⊥AB于点K，连接AF，
∵四边形ADFC是菱形，
∴CF=DF，
∵∠BCF=∠EDF=75∘−30∘=45∘，BC=DE，
∴△BCF≌△EDF(SAS)，
∴BF=EF，
∵AB=AE=6，AF=AF，
∴△BAF≌△EAF(SSS)，
∵∠BAE=120∘−30∘=90∘，
∴∠BAF=∠EAF=45∘，
∵∠AKF=∠BKF=90∘，
∴∠KAF=∠KFA=45∘，
∴AK=FK，
∵∠FBK=30∘，
∴BF=2FK，
∵BK=BF2−FK2=(2FK)2−FK2=3FK，
∵AK+BK=AB=6，
∴FK+3FK=6，
∴FK=33−3，
∴BF=2(33−3)=63−6，
∵AB−BF≤AF≤AB+BF，且AB−BF=6−(63−6)=12−63，AB+BF=6+(63−6)=63，
∴12−63≤AF≤63，
当点F在线段AB的延长线上，如图4，则AF=AB+BF=63，此时AF的值最大，等于63；
当点F在线段AB上，如图5，则AF=AB−BF=12−63，此时AF的值最小，等于12−63，
综上所述，AF的最大值是63，AF的最小值是12−63.
【解析】(1)过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，先证明△AEB是等边三角形，再证明△HBE是等腰直角三角形，并且求得∠BDH=30∘，根据直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理即可求出EH的长和DH的长，进而求出DE的长，再由DE=BC求得BC的长；
(2)四边形ADFC是菱形，先求出∠ACF=∠AEF=30∘，∠ADF=∠ABF=30∘，∠CAD=∠CAE+∠DAE=150∘，则∠CFD=360∘−∠ACF−∠ADF−∠CAD=150∘，可证明FC//AD，FD//AC，则四边形ADFC是平行四边形，而AD=AC，即可证明四边形ADFC是菱形；
(3)作FK⊥AB于点K，连接AF，先证明∠KAF=∠KFA=45∘，则AK=FK，由∠FBK=30∘得BF=2FK，根据勾股定理求得BK=3FK，然后再由FK+3FK=6求出FK的长，即可求出BF的长，再根据两点之间线段最短求出AF的最大值和最小值即可．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、旋转的性质、三角形内角和定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，此题难度较大，属于考试压轴题．
23.【答案】解：(1)把x=0代入y=34x2−154x+3中，
得y=3.
∴点C的坐标是(0,3)，
把y=0代入y=34x2−154x+3中，得34x2−154x+3=0.
解得x1=1，x2=4，
∴点A的坐标是(1,0)，点B的坐标是(4,0)；
(2)设直线BC的解析式是y=kx+3.
∵过点B(4,0)，
∴0=4k+3.
解得k=−34，
∴直线BC的解析式是y=−34x+3，
∵点E是直线BC上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，
∴设点E的坐标是(m,−34m+3)，则点F的坐标是(m,34m2−154m+3)，
∵EF=OC，点C的坐标是(0,3)，
∴|34m2−154m+3−(−34m+3)|=3，
∴34m2−3m=3或34m2−3m=−3，
解得：m1=2+22，m2=2−22，m3=m4=2，
∴点E的横坐标是2+22，2−22和2；
(3)设运动的时间为t秒，则BP=t，BQ=4−t，
①当PB=QB时．
即4−t=t，解得t=2；
②如图1，当PQ=PB时，过点P作PD⊥QB于D，
∵点C的坐标是(0,3)，点B(4,0)，
∴OC=3，OB=4，
∴CB=5，
∵PQ=PB，PD⊥QB，
∴BD=12(4−t)，
∵PD⊥OB，
∴OC//PD，
∴PBBC=BDOB，
∴t5=12(4−t)4，
∴t=2013；
如图2所示：当QP=QB时，
过Q作QE⊥PB于E，
则△BEQ∽△BOC，
∴BQBC=BEOB，
∴4−t5=12t4，
∴t=3213，
综上所述，当t的值2或2013或3213时，△PBQ为等腰三角形．
【解析】(1)把x=0，y=0分别代入y=34x2−154x+3中求出y，x的值即可求得点A，B和C的坐标；
(2)求出直线BC的解析式为y=−34x+3，设点E的坐标是(m,−34m+3)，则点F的坐标是(m,34m2−154m+3)，根据|34m2−154m+3−(−34m+3)|=3解方程求出m即可；
(3)分为PB=QB、PQ=QB、PQ=PB三种情况进行解答即可．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质，等腰三角形到现在，分类讨论是解答问题(3)的关键．
乙
甲
红
白
白
(白，红)
(白，白)
红
(红，红)
(红，白)
蓝
(蓝，红)
(蓝，白)