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2021-2022学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析）
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这是一份2021-2022学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析），共22页。试卷主要包含了【答案】C，【答案】D，【答案】32，【答案】5+12，【答案】34，【答案】45等内容，欢迎下载使用。
如果ab=23，且b是a和c的比例中项，那么bc等于( )
A. 34B. 43C. 32D. 23
在比例尺为1：5000的地图上，如果A、B两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是( )
A. 50000米B. 5000米C. 500米D. 50米
已知c为非零向量，a=2c，b=−3c，那么下列结论中，不正确的是( )
A. |a|=23|b|B. a=−32bC. 3a+2b=0D. a//b
如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是( )
A. CD=AB⋅tanB
B. CD=AD⋅ctA
C. CD=AC⋅sinB
D. CD=BC⋅csA
把抛物线y=(x−1)2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为( )
A. y=(x−1)2+5B. y=(x−1)2+1C. y=(x+1)2+3D. y=(x−3)2+3
下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是( )
A.
B.
C.
D.
已知点B在线段AC上，AB=2BC，那么AC：AB的比值是______.
如果x−yy的值是黄金分割数，那么xy的值为______.
计算：sin230∘+cs245∘=______.
在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果ACBC=34，那么sinA的值是______.
已知二次函数y=13x2+x−1，当x=−3时，函数y的值是______.
据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y万吨，如果2019年至2021年蔬菜产重的年平均增长率为x(x>0)，那么y关于x的函数解析式为______.
如果抛物线y=x2+2x+m−1的顶点在x轴上，那么m的值是______.
已知△ABC的两条中线AD、BE相交于点F，如果AF=10，那么AD的长为______.
如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD为3米，路基高为1米，斜坡AB的坡度=1：1.5，那么路基的下底宽BC是______米．
如图，已知一张三角形纸片ABC，AB=5，BC=2，AC=4，点M在AC边上．如果过点M剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM=x，那么x的取值范围是______.
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P在CD边上，连接AP.如果将△ADP沿直线AP翻折，点D恰好落在线段BC上，那么S△ADPS四边形ABCP的值为______.
如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y=x2+bx(b>0)的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b的值为______.
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6.
(1)求tanB的值；
(2)延长BC至点D，连接AD，如果∠ADB=30∘，求CD的长．
如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF=2DF，BF交AC于点E，又AF=14BC.
(1)设AB=a，AD=b，用向量a、b表示向量BF=______，AC=______.
(2)如果∠ABC=90∘，AD=3，AB=4，求BE的长．
在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象的顶点为A(−1,2)，且经过B(−3,0).
(1)求二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
如图，小杰在湖边高出水面MN约10m的平台A处发现一架无人机停留在湖面上空的点P处，该无人机在湖中的倒影为点P′，小杰在A处测得点P的仰角为45∘，点P′的俯角为60∘，求该无人机离湖面的高度(结果保留根号).
如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一直线上，连接BD交AC边于点F.
(1)如果∠ABD=∠CAD，求证：BF2=DF⋅DB；
(2)如果AF=2FC，S四边形ABCD=18，求S△DCE的值．
已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)，顶点为点D.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)连接BD、CD，试判断△BCD与△AOC是否相似，并证明你的结论；
(3)抛物线上是否存在点P，使得∠PAC=45∘，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针方向旋转n∘(0(1)求证：CE=EF；
(2)连接CF，如果DPCF=13，求∠ABP的正切值；
(3)连接AF，如果AF=22AB，求n的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵ab=23，b是a和c的比例中项，
即a：b=b：c，
∴bc=ab=23.
故选：D.
根据比例中项的概念可得a：b=b：c，则可求得b：c值．
本题考查了比例线段，熟练掌握在线段a，b，c中，若b2=ac，则b是a，c的比例中项是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：设甲乙两地的实际距离为x厘米，
根据题意得，1：5000=10：x，
解得x=50000，
50000厘米=500米．
即甲乙两地的实际距离为500米．
故选：C.
根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离．要注意统一单位．
本题考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换．
3.【答案】B
【解析】解：∵a=2c，b=−3c，
∴|a|=23|b|，a=−23b，
故A正确，B错误；
∵a=2c，b=−3c，
∴3a+2b=6c−6c=0，
故C正确；
∵a=2c，b=−3c，
∴a=−23b，
∴a//b，
故D正确，
故选：B.
根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．
本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵CD是斜边AB边上的高，
∴△ACD、△BCD都是直角三角形．
在Rt△ACD中，
∵CD=sinA⋅AC=tanA⋅AD=ADctA，故选项B不正确；
在Rt△BCD中，
∵CD=sinB⋅BC=tanB⋅BD，故选项A、C不正确．
在Rt△ABC中，
∵∠A+∠B=90∘，
∴csA=sinB.
∴CD=sinB⋅BC=csA⋅BC，故选项D正确．
故选：D.
利用直角三角形的边角间关系，计算得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：把抛物线y=(x−1)2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为：y=(x−1+2)2+3，即y=(x+1)2+3，
故选：C.
根据函数图像平移“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象的几何变换，要求熟练掌握函数图像平移的规律：左加右减，上加下减．
6.【答案】A
【解析】解：设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：AB=12+12=2，AC=22+22=22，BC=12+32=10，
A.三角形的三边的长度分别为：22+42=25，2，4，
∵22=2，422=2，2510=2，
∴22=422=2510，所以与格点△ABC相似，故本选项符合题意；
B.三角形的三边的长度分别为：2，12+32=10，32+32=32，
∵22=2，1022=52，3210=355，
∴22≠1022≠3210，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
C.三角形的三边的长度分别为：12+12=2，12+22=5，3，
∵22=1，522=104，310=31010，
∴22≠522≠310，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
D.三角形的三边的长度分别为：12+12=2，32+32=32，22+42=25，
∵22=1，3222=32，2510=2，
∴22≠3222≠2510，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
故选：A.
设小正方形的边长是1，先求出△ABC的三边长，再分别求出每个选项中三角形的三边的长度，求出对应的边的比值，看看是否相等，再根据相似三角形的判定定理判定即可．
本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．
7.【答案】32
【解析】解：如图，设BC=k，则AB=2BC=2k，
∵点B在线段AC上，
∴AC=AB+BC=2k+k=3k，
∴AC：AB=3k：2k=3：2.
故答案为：32.
设BC=k，则AB=2BC=2k，根据线段和的定义得出AC=AB+BC=3k，即可求出AC：AB的比值．
本题考查了比例线段，熟知各线段之间的关系是解答此题的关键．
8.【答案】5+12
【解析】解：∵x−yy的值是黄金分割数，
∴x−yy=5−12，
∴2x−2y=(5−1)y，
∴2x=(5+1)y，
∴xy=5+12，
故答案为：5+12.
由黄金分割的定义得x−yy=5−12，则2x=(5+1)y，即可得出答案．
本题考查了黄金分割，熟记黄金分割值是解题的关键．
9.【答案】34
【解析】解：原式=(12)2+(22)2
=14+24
=34
故答案为：34.
由特殊锐角三角函数值，代入计算即可．
本题考查特殊角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．
10.【答案】45
【解析】解：由于在Rt△ABC中，∠C=90∘，ACBC=34，
可设AC=3k，则BC=4k，
由勾股定理可得，AB=AC2+BC2=5k，
∴sinA=BCAB=45，
故答案为：45.
根据题意设AC=3k，则BC=4k，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：把x=−3代入y=13x2+x−1得y=13×9−3−1=−1，
故答案为：−1.
将x=−3代入解析式求解即可．
本题考查求函数的值，将x的值代入求解．
12.【答案】y=100(1+x)2(x>0)
【解析】解：由题意得，y=100(1+x)2(x>0).
故答案为：y=100(1+x)2(x>0).
2019到2021是两年时间，2019年蔬菜产量为100万吨，所以y=100(1+x)2(x>0).
本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握求平均变化率的方法．
13.【答案】2
【解析】解：∵y=x2+2x+m−1=(x+1)2+m−2，
∴抛物线顶点坐标为(−1,m−2)，
当抛物线顶点落在x轴上时，m−2=0，
∴m=2.
故答案为：2.
将抛物线解析式化为顶点式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握配方法求二次函数顶点式．
14.【答案】15
【解析】解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点F，
∴点F是△ABC的重心，
∴AF：FD=2：1，
∴AD=32AF=32×10=15.
故答案为：15.
先根据三角形的重心的定义得出点F是△ABC的重心，再利用重心的性质得出AD=32AF，即可求解．
本题考查了三角形的重心的定义及性质，重心是三角形三边中线的交点．掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
则四边形AEFD为矩形，
∴EF=AD=3米，AE=DF=1米，
∵坡AB的坡度=1：1.5，
∴BE=1.5米，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴FC=BE=1.5米，
∴BC=BE+EF+FC=1.5+3+1.5=6(米)，
故答案为：6.
过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据矩形的性质求出EF，根据坡度的概念求出BE、FC，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
16.【答案】3≤x<4
【解析】解：如图所示，过M作MD//AB交BC于点D或ME//BC交AB于点E，则△MCD∽△ACB或△AME∽△ACB，
此时0如图所示，过M作∠AMF=∠B交AB于点F，则△AMF∽△ABC，
此时0如图所示，过M作∠CMG=∠CBA交BC于点G，则△CMG∽△CBA，
此时，△CMG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2=CM×CA，即22=CM×4，
∴CM=1，AM=3，
∴此时，3≤AM<4；
综上所述，x的取值范围是3≤x<4.
故答案为：3≤x<4.
依据相似三角形的对应边成比例，即可得到x的取值范围．
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
17.【答案】513
【解析】解：如图：
∵将△ADP沿直线AP翻折，点D恰好落在线段BC上的D′点，
∴AD′=AD=BC=5，PD=PD′，∠AD′P=∠D=90∘，
在Rt△ABD′中，BD′=AD′2−AB2=52−32=4，
∴CD′=BC−BD′=5−4=1，
设CP=x，则PD=PD′=3−x，
在Rt△CPD′中，CD′2+CP2=PD′2，
∴12+x2=(3−x)2，
解得x=43，
∴CP=43，PD=53，
∴S△ADP=12AD⋅PD=12×5×53=256，
S四边形ABCP=S矩形ABCD−S△ADP=3×5−256=656，
∴S△ADPS四边形ABCP=256656=513，
故答案为：513.
根据折叠性质，用勾股定理列方程，求出CP和PD的长度，即可得到S△ADP=256和S四边形ABCP=656，从而可得答案．
本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质及熟练运用勾股定理．
18.【答案】2
【解析】解：设抛物线y=x2+bx与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，
∴A(0,0)，B(−b,0)，D(−b2,−b24)，
∵抛物线y=x2+bx对应的“特征三角形”是等腰直角三角形，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴b2=2(b24+b416)，
解得：b=±2，
∵b>0，
∴b=2.
故答案为：2.
根据抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形建立方程求解即可．
本题考查抛物线与x轴的交点和抛物线的“特征三角形”的特点，关键是利用“特征三角形”是等腰直角三角形建立等量关系．
19.【答案】解：(1)过点A作AE⊥BC，垂足为E.
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BE=CE=12BC=3.
在Rt△ABE中，
∵AE=AB2−BE2
=52−32
=4，
∴tanB=AEBE=43；
(2)在Rt△ADE中，
∵∠ADB=30∘，AE=4，tan∠ADB=AEDE，
∴DE=AEtan∠ADB=4tan30∘=433=43.
∴CD=DE−CE
=43−3.
【解析】(1)过点A作AE⊥BC，垂足为E.先利用等腰三角形的性质求出BE，再利用勾股定理求出AE，最后在Rt△ABE中求出tanB的值；
(2)先利用直角三角形的边角间关系求出DE，再利用线段的和差关系求出CD.
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)23b−a；83b+a
(2)∵AF=14BC，
∴AF//BC，AF=14BC，
∴∠BAF=∠ABC=90∘，∠AFB=∠CBE，
∵AD=3，AF=2DF，
∴AF=2，
∴BC=8，
在Rt△ABF中，
BF=AF2+AB2=25，
又∵AFAB=ABBC=12，
∴△ABF∽△BCA，
∴∠ABF=∠BCA，
∴△ABF∽△ECB，
∴AFBE=BFBC，
∴2BE=258，
∴BE=855.
【解析】解：(1)∵AF=2DF，
∴AF=23AD，
∵AD=b，
∴AF=23b，
∴BF=AF−AB
=23b−a，
∵AF=14BC，
∴BC=4AF=83b，
∴AC=BC+AB
=83b+a，
故答案为：23b−a；83b+a；
(2)见答案．
(1)根据平面向量的加减运算法则即可求解；
(2)先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF=∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应边成比例得出比例式求解即可．
本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△ABF∽△ECB是解第(2)问的关键．
21.【答案】解：(1)∵二次函数图象的顶点为A(−1,2)，
∴设二次函数解析式为y=a(x+1)2+2a≠0，
把点B(−3,0)代入二次函数解析式，得：
0=a(−3+1)2+2，
解得：a=−12，
∴二次函数解析式为y=−12(x+1)2+2，即y=−12x2−x+32；
(2)令y=0，得x2+2x−3=0，
解方程得：x1=−3，x2=1，
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(−3,0)和(1,0)，
∴二次函数图象上的点(−3,0)向右平移3个单位后经过坐标原点，
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4,0).
【解析】(1)根据顶点坐标，利用顶点式即可求出二次函数的解析式；
(2)由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及函数图象的平移．
22.【答案】解：如图，作点P关于湖面MN的对称点P′，过点A作AB//MN交PP′于点B，
连接AP，AP′，则∠BAP=45∘，∠BAP′=60∘，BC=AM=10m，
在Rt△ABP中，∠BAP=45∘，∠ABP=90∘，
∴AB=BP，
在Rt△ABP′中，∠BAP′=60∘，∠ABP′=90∘，
∴BP′=3AB，
由对称可知，PC=P′C，
即BP+BC=BP′−BC，
设AB=x，则BP=x，BP′=3x，
∴x+10=3x−10，
解得x=103+10，
∴PC=BP+BC
=(103+20)m，
答：该无人机离湖面的高度为(103+20)m.
【解析】作点P关于湖面MN的对称点P′，通过作垂线构造直角三角形，在两个直角三角形中，由边角关系求出AB，进而求出CP即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠DCE=∠ACB=60∘，
∵∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACD=60∘，
又∵∠ABD=∠CAD，
∴△ABF≌△CAD(ASA)，
∴BF=AD，
∵∠ADF=∠BDA，∠ABD=∠CAD，
∴△ADF∽△BDA，
∴ADBD=DFAD，
∴AD2=DF⋅BD，
∴BF2=DF⋅BD；
(2)∵∠ACD=60∘，
∴∠ACD=∠BAC，
∴AB//CD，
∴△DCF∽△BAF，
∴DCAB=CFAF=DFBF=12，
∴S△DCFS△BAF=(CFAF)2=14，S△DCFS△ADF=12，S△DCFS△BCF=12，
设S△DCF=x，则S△ADF=S△BCF=2x，S△ABF=4x，
∵S四边形ABCD=18，
∴x+2x+2x+4x=18，
解得x=2，
∴S△ABF=8，S△BCF=4，
∴S△ABC=S△ABF+S△BCF=8+4=12，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴△ABC∽△DCE，
∴S△ABCS△DCE=(ABDC)2=4，
∴S△DCE=14S△ABC=14×12=3.
【解析】(1)先证明△ABF≌△CAD(ASA)，由全等三角形的性质可得出BF=AD，再证明△ADF∽△BDA，由相似三角形的性质得出ADBD=DFAD，则可得出结论；
(2)先证明△DCF∽△BAF，由相似三角形的性质得出DCAB=CFAF=DFBF=12，设S△DCF=x，则S△ADF=S△BCF=2x，S△ABF=4x，由四边形ABCD的面积可得出x+2x+2x+4x=18，求出x=2，求出三角形ABC的面积，再证明△ABC∽△DCE，由相似三角形的性质得出S△ABCS△DCE=(ABDC)2=4，进而可得出结论．
本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△DCF∽△BAF是解题的关键．
24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，
∴a−b+c=09a+3b+c=0c=3，
∴a=−1b=2c=3，
∴y=−x2+2x+3，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点D坐标为(1,4)；
(2)相似，理由如下：
∵A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)，D(1,4)，
∴BC=32，CD=2，BD=25，
∴BD2=CD2+BC2，
∴∠BCD=90∘，
∴tan∠CBD=CDBC=13，
∵OC=3，OA=1，
∴tan∠ACO=13，
∴∠ACO=∠CBD，
∵∠BCD=∠AOC=90∘，
∴△ACO∽△DBC；
(3)存在，理由如下：
设AP与y轴交于点E，过E点作EF⊥AC交于点F，
∵∠CAP=45∘，
∴EF=AF，
在Rt△ACO中，tan∠ACO=13，
∴13=EFCF，
设EF=x，则CF=3x，AF=x，
∴AC=4x，
∵AO=1，CO=3，
∴AC=10，
∴4x=10，
∴x=104，
∴CE=10x=52，
∴EO=3−52=12，
∴E(0,12)，
设直线AE的解析式为y=kx+tk≠0，
∴t=12−k+t=0，
∴t=12k=12，
∴y=12x+12，
联立y=12x+12y=−x2+2x+3，
解得x=−1(舍)或x=52，
∴P(52,74).
【解析】(1)将点A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，即可求解；
(2)先判断△BCD是直角三角形，在Rt△BCD中求tan∠CBD=CDBC=13，在Rt△ACO中，tan∠ACO=13，可得∠ACO=∠CBD，即可证明△ACO∽△DBC；
(3)设AP与y轴交于点E，过E点作EF⊥AC交于点F，则EF=AF，在Rt△ACO中，tan∠ACO=13=EFCF，设EF=x，则CF=3x，AF=x，则AC=4x=10，求得x=104，则可求CE=10x=52，EO=12，所以E(0,12)，即可求出直线AE的解析式为y=12x+12，联立y=12x+12y=−x2+2x+3，可求P(52,74).
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质，直角三角形三角函数的应用是解题的关键．
25.【答案】解：(1)证明：如图1，
作DG⊥CE于G，
∵CE⊥PB，
∴∠DGC=∠BEC=90∘，
∴∠CBE+∠BCE=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90∘，BC=CD，
∴∠BCE+∠DCG=90∘，
∴∠CBE=∠DCG，
∴△BCE≌△CDG(AAS)，
∴DG=CE，
∵CE⊥PB，DF⊥PB，DG⊥CE，
∴∠GEF=∠DFE=∠DGE=90∘，
∴四边形EFDG是矩形，
∴EF=DG，
∴CE=CF；
(2)如图2，
设∠ABP=α，设PD=a，则CF=3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠BCD=∠BAD=90∘，
∵AP=AD，
∴AB=AP，
∴∠APB=∠ABP=α，
∴∠BAP=180∘−∠ABP−∠APB=180∘−2α，
∴∠PAD=∠PAB−∠BAD=90∘−2α，
∵AP=AD，
∴∠APD=∠ADP=180∘−∠PAD2=45∘+α，
∴∠FPD=∠APD−∠APB=45∘，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴EG=DF=22PD=22a，
由(1)得：EF=CE，
∴△EFC也是等腰直角三角形，
∴DG=EF=CE=22CF=322a，
∴CG=CE−EG=322a−22a=2a，
∴tan∠CDG=CGDG=23，
同理(1)可证：∠BCE=∠ABP=α，
∵∠BCE=∠CDG，
∴∠ABP=∠CDG，
∴tan∠ABP=23；
(3)如图3，
连接AF，CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠CAD=45∘，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CFE=45∘，
∴∠CFE=∠BAC，
∴点A、B、C、F共圆，
∴∠AFC+∠ABC=180∘，
∵∠ABC=90∘，
∴∠AFC=90∘，
∵AF=22AB，AB=22AC，
∴AFAC=12，
即：cs∠CAF=12，
∴∠CAF=60∘，
∴∠DAF=∠CAF−∠DAC=60∘−45∘=15∘，
由(2)得：△PFD是等腰直角三角形，
∴FD=FP，
∵AP=AD，
∴AF是PD的垂直平分线，
∴∠PAD=2∠DAF=30∘.
【解析】(1)作DG⊥CE于G，证明△BCE≌△CDG，进一步命题得证；
(2)设∠ABP=α，设PD=a，CF=3a，通过角的运算推出∠BPD=45∘，进而计算出EG，CG，EF，DG，进一步求得结果；
(3)连接AF，CF，证得∠AFC=90∘，再证得AF平分∠PAD，进一步求得结果．
本题考查了正方形性质，矩形的判定和性质，锐角三角形函数，确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是通过角的转化，发现特殊角．
如果ab=23，且b是a和c的比例中项，那么bc等于( )
A. 34B. 43C. 32D. 23
在比例尺为1：5000的地图上，如果A、B两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是( )
A. 50000米B. 5000米C. 500米D. 50米
已知c为非零向量，a=2c，b=−3c，那么下列结论中，不正确的是( )
A. |a|=23|b|B. a=−32bC. 3a+2b=0D. a//b
如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是( )
A. CD=AB⋅tanB
B. CD=AD⋅ctA
C. CD=AC⋅sinB
D. CD=BC⋅csA
把抛物线y=(x−1)2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为( )
A. y=(x−1)2+5B. y=(x−1)2+1C. y=(x+1)2+3D. y=(x−3)2+3
下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是( )
A.
B.
C.
D.
已知点B在线段AC上，AB=2BC，那么AC：AB的比值是______.
如果x−yy的值是黄金分割数，那么xy的值为______.
计算：sin230∘+cs245∘=______.
在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果ACBC=34，那么sinA的值是______.
已知二次函数y=13x2+x−1，当x=−3时，函数y的值是______.
据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y万吨，如果2019年至2021年蔬菜产重的年平均增长率为x(x>0)，那么y关于x的函数解析式为______.
如果抛物线y=x2+2x+m−1的顶点在x轴上，那么m的值是______.
已知△ABC的两条中线AD、BE相交于点F，如果AF=10，那么AD的长为______.
如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD为3米，路基高为1米，斜坡AB的坡度=1：1.5，那么路基的下底宽BC是______米．
如图，已知一张三角形纸片ABC，AB=5，BC=2，AC=4，点M在AC边上．如果过点M剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM=x，那么x的取值范围是______.
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P在CD边上，连接AP.如果将△ADP沿直线AP翻折，点D恰好落在线段BC上，那么S△ADPS四边形ABCP的值为______.
如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知y=x2+bx(b>0)的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b的值为______.
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6.
(1)求tanB的值；
(2)延长BC至点D，连接AD，如果∠ADB=30∘，求CD的长．
如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF=2DF，BF交AC于点E，又AF=14BC.
(1)设AB=a，AD=b，用向量a、b表示向量BF=______，AC=______.
(2)如果∠ABC=90∘，AD=3，AB=4，求BE的长．
在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象的顶点为A(−1,2)，且经过B(−3,0).
(1)求二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
如图，小杰在湖边高出水面MN约10m的平台A处发现一架无人机停留在湖面上空的点P处，该无人机在湖中的倒影为点P′，小杰在A处测得点P的仰角为45∘，点P′的俯角为60∘，求该无人机离湖面的高度(结果保留根号).
如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一直线上，连接BD交AC边于点F.
(1)如果∠ABD=∠CAD，求证：BF2=DF⋅DB；
(2)如果AF=2FC，S四边形ABCD=18，求S△DCE的值．
已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)，顶点为点D.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)连接BD、CD，试判断△BCD与△AOC是否相似，并证明你的结论；
(3)抛物线上是否存在点P，使得∠PAC=45∘，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针方向旋转n∘(0
(2)连接CF，如果DPCF=13，求∠ABP的正切值；
(3)连接AF，如果AF=22AB，求n的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵ab=23，b是a和c的比例中项，
即a：b=b：c，
∴bc=ab=23.
故选：D.
根据比例中项的概念可得a：b=b：c，则可求得b：c值．
本题考查了比例线段，熟练掌握在线段a，b，c中，若b2=ac，则b是a，c的比例中项是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：设甲乙两地的实际距离为x厘米，
根据题意得，1：5000=10：x，
解得x=50000，
50000厘米=500米．
即甲乙两地的实际距离为500米．
故选：C.
根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离．要注意统一单位．
本题考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换．
3.【答案】B
【解析】解：∵a=2c，b=−3c，
∴|a|=23|b|，a=−23b，
故A正确，B错误；
∵a=2c，b=−3c，
∴3a+2b=6c−6c=0，
故C正确；
∵a=2c，b=−3c，
∴a=−23b，
∴a//b，
故D正确，
故选：B.
根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．
本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵CD是斜边AB边上的高，
∴△ACD、△BCD都是直角三角形．
在Rt△ACD中，
∵CD=sinA⋅AC=tanA⋅AD=ADctA，故选项B不正确；
在Rt△BCD中，
∵CD=sinB⋅BC=tanB⋅BD，故选项A、C不正确．
在Rt△ABC中，
∵∠A+∠B=90∘，
∴csA=sinB.
∴CD=sinB⋅BC=csA⋅BC，故选项D正确．
故选：D.
利用直角三角形的边角间关系，计算得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：把抛物线y=(x−1)2+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为：y=(x−1+2)2+3，即y=(x+1)2+3，
故选：C.
根据函数图像平移“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象的几何变换，要求熟练掌握函数图像平移的规律：左加右减，上加下减．
6.【答案】A
【解析】解：设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：AB=12+12=2，AC=22+22=22，BC=12+32=10，
A.三角形的三边的长度分别为：22+42=25，2，4，
∵22=2，422=2，2510=2，
∴22=422=2510，所以与格点△ABC相似，故本选项符合题意；
B.三角形的三边的长度分别为：2，12+32=10，32+32=32，
∵22=2，1022=52，3210=355，
∴22≠1022≠3210，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
C.三角形的三边的长度分别为：12+12=2，12+22=5，3，
∵22=1，522=104，310=31010，
∴22≠522≠310，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
D.三角形的三边的长度分别为：12+12=2，32+32=32，22+42=25，
∵22=1，3222=32，2510=2，
∴22≠3222≠2510，所以与格点△ABC不相似，故本选项不符合题意；
故选：A.
设小正方形的边长是1，先求出△ABC的三边长，再分别求出每个选项中三角形的三边的长度，求出对应的边的比值，看看是否相等，再根据相似三角形的判定定理判定即可．
本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．
7.【答案】32
【解析】解：如图，设BC=k，则AB=2BC=2k，
∵点B在线段AC上，
∴AC=AB+BC=2k+k=3k，
∴AC：AB=3k：2k=3：2.
故答案为：32.
设BC=k，则AB=2BC=2k，根据线段和的定义得出AC=AB+BC=3k，即可求出AC：AB的比值．
本题考查了比例线段，熟知各线段之间的关系是解答此题的关键．
8.【答案】5+12
【解析】解：∵x−yy的值是黄金分割数，
∴x−yy=5−12，
∴2x−2y=(5−1)y，
∴2x=(5+1)y，
∴xy=5+12，
故答案为：5+12.
由黄金分割的定义得x−yy=5−12，则2x=(5+1)y，即可得出答案．
本题考查了黄金分割，熟记黄金分割值是解题的关键．
9.【答案】34
【解析】解：原式=(12)2+(22)2
=14+24
=34
故答案为：34.
由特殊锐角三角函数值，代入计算即可．
本题考查特殊角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．
10.【答案】45
【解析】解：由于在Rt△ABC中，∠C=90∘，ACBC=34，
可设AC=3k，则BC=4k，
由勾股定理可得，AB=AC2+BC2=5k，
∴sinA=BCAB=45，
故答案为：45.
根据题意设AC=3k，则BC=4k，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：把x=−3代入y=13x2+x−1得y=13×9−3−1=−1，
故答案为：−1.
将x=−3代入解析式求解即可．
本题考查求函数的值，将x的值代入求解．
12.【答案】y=100(1+x)2(x>0)
【解析】解：由题意得，y=100(1+x)2(x>0).
故答案为：y=100(1+x)2(x>0).
2019到2021是两年时间，2019年蔬菜产量为100万吨，所以y=100(1+x)2(x>0).
本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握求平均变化率的方法．
13.【答案】2
【解析】解：∵y=x2+2x+m−1=(x+1)2+m−2，
∴抛物线顶点坐标为(−1,m−2)，
当抛物线顶点落在x轴上时，m−2=0，
∴m=2.
故答案为：2.
将抛物线解析式化为顶点式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握配方法求二次函数顶点式．
14.【答案】15
【解析】解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点F，
∴点F是△ABC的重心，
∴AF：FD=2：1，
∴AD=32AF=32×10=15.
故答案为：15.
先根据三角形的重心的定义得出点F是△ABC的重心，再利用重心的性质得出AD=32AF，即可求解．
本题考查了三角形的重心的定义及性质，重心是三角形三边中线的交点．掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
则四边形AEFD为矩形，
∴EF=AD=3米，AE=DF=1米，
∵坡AB的坡度=1：1.5，
∴BE=1.5米，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴FC=BE=1.5米，
∴BC=BE+EF+FC=1.5+3+1.5=6(米)，
故答案为：6.
过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据矩形的性质求出EF，根据坡度的概念求出BE、FC，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
16.【答案】3≤x<4
【解析】解：如图所示，过M作MD//AB交BC于点D或ME//BC交AB于点E，则△MCD∽△ACB或△AME∽△ACB，
此时0
此时0
此时，△CMG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2=CM×CA，即22=CM×4，
∴CM=1，AM=3，
∴此时，3≤AM<4；
综上所述，x的取值范围是3≤x<4.
故答案为：3≤x<4.
依据相似三角形的对应边成比例，即可得到x的取值范围．
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
17.【答案】513
【解析】解：如图：
∵将△ADP沿直线AP翻折，点D恰好落在线段BC上的D′点，
∴AD′=AD=BC=5，PD=PD′，∠AD′P=∠D=90∘，
在Rt△ABD′中，BD′=AD′2−AB2=52−32=4，
∴CD′=BC−BD′=5−4=1，
设CP=x，则PD=PD′=3−x，
在Rt△CPD′中，CD′2+CP2=PD′2，
∴12+x2=(3−x)2，
解得x=43，
∴CP=43，PD=53，
∴S△ADP=12AD⋅PD=12×5×53=256，
S四边形ABCP=S矩形ABCD−S△ADP=3×5−256=656，
∴S△ADPS四边形ABCP=256656=513，
故答案为：513.
根据折叠性质，用勾股定理列方程，求出CP和PD的长度，即可得到S△ADP=256和S四边形ABCP=656，从而可得答案．
本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质及熟练运用勾股定理．
18.【答案】2
【解析】解：设抛物线y=x2+bx与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，
∴A(0,0)，B(−b,0)，D(−b2,−b24)，
∵抛物线y=x2+bx对应的“特征三角形”是等腰直角三角形，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴b2=2(b24+b416)，
解得：b=±2，
∵b>0，
∴b=2.
故答案为：2.
根据抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形建立方程求解即可．
本题考查抛物线与x轴的交点和抛物线的“特征三角形”的特点，关键是利用“特征三角形”是等腰直角三角形建立等量关系．
19.【答案】解：(1)过点A作AE⊥BC，垂足为E.
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BE=CE=12BC=3.
在Rt△ABE中，
∵AE=AB2−BE2
=52−32
=4，
∴tanB=AEBE=43；
(2)在Rt△ADE中，
∵∠ADB=30∘，AE=4，tan∠ADB=AEDE，
∴DE=AEtan∠ADB=4tan30∘=433=43.
∴CD=DE−CE
=43−3.
【解析】(1)过点A作AE⊥BC，垂足为E.先利用等腰三角形的性质求出BE，再利用勾股定理求出AE，最后在Rt△ABE中求出tanB的值；
(2)先利用直角三角形的边角间关系求出DE，再利用线段的和差关系求出CD.
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)23b−a；83b+a
(2)∵AF=14BC，
∴AF//BC，AF=14BC，
∴∠BAF=∠ABC=90∘，∠AFB=∠CBE，
∵AD=3，AF=2DF，
∴AF=2，
∴BC=8，
在Rt△ABF中，
BF=AF2+AB2=25，
又∵AFAB=ABBC=12，
∴△ABF∽△BCA，
∴∠ABF=∠BCA，
∴△ABF∽△ECB，
∴AFBE=BFBC，
∴2BE=258，
∴BE=855.
【解析】解：(1)∵AF=2DF，
∴AF=23AD，
∵AD=b，
∴AF=23b，
∴BF=AF−AB
=23b−a，
∵AF=14BC，
∴BC=4AF=83b，
∴AC=BC+AB
=83b+a，
故答案为：23b−a；83b+a；
(2)见答案．
(1)根据平面向量的加减运算法则即可求解；
(2)先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF=∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应边成比例得出比例式求解即可．
本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△ABF∽△ECB是解第(2)问的关键．
21.【答案】解：(1)∵二次函数图象的顶点为A(−1,2)，
∴设二次函数解析式为y=a(x+1)2+2a≠0，
把点B(−3,0)代入二次函数解析式，得：
0=a(−3+1)2+2，
解得：a=−12，
∴二次函数解析式为y=−12(x+1)2+2，即y=−12x2−x+32；
(2)令y=0，得x2+2x−3=0，
解方程得：x1=−3，x2=1，
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(−3,0)和(1,0)，
∴二次函数图象上的点(−3,0)向右平移3个单位后经过坐标原点，
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4,0).
【解析】(1)根据顶点坐标，利用顶点式即可求出二次函数的解析式；
(2)由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及函数图象的平移．
22.【答案】解：如图，作点P关于湖面MN的对称点P′，过点A作AB//MN交PP′于点B，
连接AP，AP′，则∠BAP=45∘，∠BAP′=60∘，BC=AM=10m，
在Rt△ABP中，∠BAP=45∘，∠ABP=90∘，
∴AB=BP，
在Rt△ABP′中，∠BAP′=60∘，∠ABP′=90∘，
∴BP′=3AB，
由对称可知，PC=P′C，
即BP+BC=BP′−BC，
设AB=x，则BP=x，BP′=3x，
∴x+10=3x−10，
解得x=103+10，
∴PC=BP+BC
=(103+20)m，
答：该无人机离湖面的高度为(103+20)m.
【解析】作点P关于湖面MN的对称点P′，通过作垂线构造直角三角形，在两个直角三角形中，由边角关系求出AB，进而求出CP即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠DCE=∠ACB=60∘，
∵∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACD=60∘，
又∵∠ABD=∠CAD，
∴△ABF≌△CAD(ASA)，
∴BF=AD，
∵∠ADF=∠BDA，∠ABD=∠CAD，
∴△ADF∽△BDA，
∴ADBD=DFAD，
∴AD2=DF⋅BD，
∴BF2=DF⋅BD；
(2)∵∠ACD=60∘，
∴∠ACD=∠BAC，
∴AB//CD，
∴△DCF∽△BAF，
∴DCAB=CFAF=DFBF=12，
∴S△DCFS△BAF=(CFAF)2=14，S△DCFS△ADF=12，S△DCFS△BCF=12，
设S△DCF=x，则S△ADF=S△BCF=2x，S△ABF=4x，
∵S四边形ABCD=18，
∴x+2x+2x+4x=18，
解得x=2，
∴S△ABF=8，S△BCF=4，
∴S△ABC=S△ABF+S△BCF=8+4=12，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴△ABC∽△DCE，
∴S△ABCS△DCE=(ABDC)2=4，
∴S△DCE=14S△ABC=14×12=3.
【解析】(1)先证明△ABF≌△CAD(ASA)，由全等三角形的性质可得出BF=AD，再证明△ADF∽△BDA，由相似三角形的性质得出ADBD=DFAD，则可得出结论；
(2)先证明△DCF∽△BAF，由相似三角形的性质得出DCAB=CFAF=DFBF=12，设S△DCF=x，则S△ADF=S△BCF=2x，S△ABF=4x，由四边形ABCD的面积可得出x+2x+2x+4x=18，求出x=2，求出三角形ABC的面积，再证明△ABC∽△DCE，由相似三角形的性质得出S△ABCS△DCE=(ABDC)2=4，进而可得出结论．
本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△DCF∽△BAF是解题的关键．
24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，
∴a−b+c=09a+3b+c=0c=3，
∴a=−1b=2c=3，
∴y=−x2+2x+3，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点D坐标为(1,4)；
(2)相似，理由如下：
∵A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)，D(1,4)，
∴BC=32，CD=2，BD=25，
∴BD2=CD2+BC2，
∴∠BCD=90∘，
∴tan∠CBD=CDBC=13，
∵OC=3，OA=1，
∴tan∠ACO=13，
∴∠ACO=∠CBD，
∵∠BCD=∠AOC=90∘，
∴△ACO∽△DBC；
(3)存在，理由如下：
设AP与y轴交于点E，过E点作EF⊥AC交于点F，
∵∠CAP=45∘，
∴EF=AF，
在Rt△ACO中，tan∠ACO=13，
∴13=EFCF，
设EF=x，则CF=3x，AF=x，
∴AC=4x，
∵AO=1，CO=3，
∴AC=10，
∴4x=10，
∴x=104，
∴CE=10x=52，
∴EO=3−52=12，
∴E(0,12)，
设直线AE的解析式为y=kx+tk≠0，
∴t=12−k+t=0，
∴t=12k=12，
∴y=12x+12，
联立y=12x+12y=−x2+2x+3，
解得x=−1(舍)或x=52，
∴P(52,74).
【解析】(1)将点A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，即可求解；
(2)先判断△BCD是直角三角形，在Rt△BCD中求tan∠CBD=CDBC=13，在Rt△ACO中，tan∠ACO=13，可得∠ACO=∠CBD，即可证明△ACO∽△DBC；
(3)设AP与y轴交于点E，过E点作EF⊥AC交于点F，则EF=AF，在Rt△ACO中，tan∠ACO=13=EFCF，设EF=x，则CF=3x，AF=x，则AC=4x=10，求得x=104，则可求CE=10x=52，EO=12，所以E(0,12)，即可求出直线AE的解析式为y=12x+12，联立y=12x+12y=−x2+2x+3，可求P(52,74).
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质，直角三角形三角函数的应用是解题的关键．
25.【答案】解：(1)证明：如图1，
作DG⊥CE于G，
∵CE⊥PB，
∴∠DGC=∠BEC=90∘，
∴∠CBE+∠BCE=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90∘，BC=CD，
∴∠BCE+∠DCG=90∘，
∴∠CBE=∠DCG，
∴△BCE≌△CDG(AAS)，
∴DG=CE，
∵CE⊥PB，DF⊥PB，DG⊥CE，
∴∠GEF=∠DFE=∠DGE=90∘，
∴四边形EFDG是矩形，
∴EF=DG，
∴CE=CF；
(2)如图2，
设∠ABP=α，设PD=a，则CF=3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠BCD=∠BAD=90∘，
∵AP=AD，
∴AB=AP，
∴∠APB=∠ABP=α，
∴∠BAP=180∘−∠ABP−∠APB=180∘−2α，
∴∠PAD=∠PAB−∠BAD=90∘−2α，
∵AP=AD，
∴∠APD=∠ADP=180∘−∠PAD2=45∘+α，
∴∠FPD=∠APD−∠APB=45∘，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴EG=DF=22PD=22a，
由(1)得：EF=CE，
∴△EFC也是等腰直角三角形，
∴DG=EF=CE=22CF=322a，
∴CG=CE−EG=322a−22a=2a，
∴tan∠CDG=CGDG=23，
同理(1)可证：∠BCE=∠ABP=α，
∵∠BCE=∠CDG，
∴∠ABP=∠CDG，
∴tan∠ABP=23；
(3)如图3，
连接AF，CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠CAD=45∘，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CFE=45∘，
∴∠CFE=∠BAC，
∴点A、B、C、F共圆，
∴∠AFC+∠ABC=180∘，
∵∠ABC=90∘，
∴∠AFC=90∘，
∵AF=22AB，AB=22AC，
∴AFAC=12，
即：cs∠CAF=12，
∴∠CAF=60∘，
∴∠DAF=∠CAF−∠DAC=60∘−45∘=15∘，
由(2)得：△PFD是等腰直角三角形，
∴FD=FP，
∵AP=AD，
∴AF是PD的垂直平分线，
∴∠PAD=2∠DAF=30∘.
【解析】(1)作DG⊥CE于G，证明△BCE≌△CDG，进一步命题得证；
(2)设∠ABP=α，设PD=a，CF=3a，通过角的运算推出∠BPD=45∘，进而计算出EG，CG，EF，DG，进一步求得结果；
(3)连接AF，CF，证得∠AFC=90∘，再证得AF平分∠PAD，进一步求得结果．
本题考查了正方形性质，矩形的判定和性质，锐角三角形函数，确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是通过角的转化，发现特殊角．
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