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2021-2022学年上海市青浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析）
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这是一份2021-2022学年上海市青浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析），共17页。试卷主要包含了l2于点A等内容，欢迎下载使用。
下列图形，一定相似的是( )
A. 两个直角三角形B. 两个等腰三角形C. 两个等边三角形D. 两个菱形
如图，已知AB//CD//EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F.如果AC：CE=2：3，BD=4，那么BF等于( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
在Rt△ABC中，∠C=90∘，那么ctA等于( )
A. ACBCB. ACABC. BCACD. BCAB
如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE//AC的是( )
A. ADDB=BECE
B. BDAD=BEEC
C. ADAB=CEBE
D. BDBA=DEAC
如果a=−2b(a、b均为非零向量)，那么下列结论错误的是( )
A. |a|=2|b|B. a//bC. a+2b=0D. a与b方向相同
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定正确的是( )
A. EAAB=AFBC
B. EAAB=FDAF
C. AFBC=EACD
D. EAEB=AFAD
已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，b=3，那么c=______.
计算：3a−2(a−2b)=______.
如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______.
二次函数y=−x2−x−1的图象有最______点．(填“高”或“低”)
若将抛物线y=x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式是______.
如果抛物线y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，且a≠0)在对称轴左侧的部分是下降的，那么a ______0.(填“<”或“>”)
在△ABC中，∠C=90∘，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC=______.
如图，点G为等边三角形ABC的重心，联结GA，如果AG=2，那么BC=______.
如图，如果小华沿坡度为1:3的坡面由A到B行走了8米，那么他实际上升的高度为______米．
如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为______.
如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=32，AF=2BF，那么GB=______.
如图，一次函数y=ax+b(a<0,b>0)的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90∘后，与x轴相交于点C，我们将图象过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y=−kx+k(k>0)的关联二次函数是y=mx2+2mx+c(m≠0)，那么这个一次函数的解析式为______.
计算：|sin45∘−1|+2cs30∘−(tan60∘)0−(ct60∘)−1.
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE、BD相交于点F，BF=3DF.
(1)求AE：ED的值；
(2)如果DC=a，EA=b，试用a、b表示向量CF.
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4，tanC=14.
(1)求AB的长；
(2)求点C到直线AB的距离．
如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口C(AC//BD)处测得教学楼顶部D的仰角为27∘，教学楼底部B的俯角为13∘，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=20米．求教学楼BD(BD⊥AB)的高度．(精确到0.1米)(参考数据：sin13∘≈0.22，cs13∘≈0.97，tan13∘≈0.23，sin27∘≈0.45，cs27∘≈0.89，tan27∘≈0.51)
已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点E，∠ABD=∠CBD，DC2=DE⋅DB.
(1)求证：△AEB∽△DEC；
(2)求证：BC⋅AD=CE⋅BD.
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为点D.
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)联结BC、BD，求∠CBD的正切值；
(3)若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．
在四边形ABCD中，AD//BC，AB=5，AD=2，DC=25，tan∠ABC=2(如图).点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF=∠DCB.
(1)求线段BC的长；
(2)当FB=FE时，求线段BF的长；
(3)当点E在线段AD的延长线上时，设DE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故A选项不符合题意；
B.两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故B选项不符合题意；
C.两个等边三角形的对应角一定相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故C选项符合题意；
D.两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故D选项不符合题意；
故选：C.
根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
本题考查了相似图形，熟悉各种图形的性质是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵AC：CE=2：3，
∴AC：AE=2：5，
∵AB//CD//EF，
∴ACAE=BDBF，
∴BF=AE⋅BDAC=52×4=10，
故选：C.
根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理．
3.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，那么ctA=ACBC，
故选：A.
根据锐角三角函数的余切定义判断即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的概念是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.因为ADDB=ECBE，所以DE//AC，故A不符合题意；
B.因为BDAD=BECE，所以DE//AC，故B符合题意；
C.因为ADAB=CEBC，所以DE//AC，故C不符合题意；
D.因为BDAB=BEBC，所以DE//AC，故D不符合题意；
故选：B.
根据平行线分线段成比例判断即可．
本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知并结合图形去分析是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵a=−2b，
∴|a|=2|b|；a//b；a+2b=0；a与b的方向相反，
故A，B，C正确，D错误，
故选：D.
根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．
本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∴△EAF∽△EAB，
∴EAEB=AFBC，AFBC=EAEB，
∴A、C不符合题意；
D符合题意；
∵AB//CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴AECD=AFFD，
∵AB=CD，
∴AEAB=AFFD，
∴B不符合题意；
故选：D.
由四边形ABCD是平行四边形，推得AB=CD，AD//BC，AB//CD，得△EAF∽△EAB，△AEF∽△CDF，推比例线段即可判断是否符合题意．
本题考查了三角形相似的判定和性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例，掌握由平行推相似的方法，等量代换是解题关键．
7.【答案】9
【解析】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，
∴b2=ac，
即32=1×c，
∴c=9.
故答案为：9.
根据比例中项的定义可得b2=ac，从而易求b.
本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义．
8.【答案】a+4b
【解析】解：3a−2(a−2b)=3a−2a+4b=a+4b，
故答案为：a+4b.
根据平面向量的加法法则计算即可．
本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．
9.【答案】2：3
【解析】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的对应高的比为：2：3，
故答案为：2：3.
根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案．
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键．
10.【答案】高
【解析】解：∵二次函数y=−x2−x−1，a=−1，
∴该函数图象开口向下，函数有最大值，图象有最高点，
故答案为：高．
根据二次函数的性质即可得到答案．
本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11.【答案】y=x2−2
【解析】解：∵抛物线y=x2向下平移2个单位的顶点坐标为(0,−2)，
∴所得抛物线的表达式为：y=x2−2.
故答案为：y=x2−2.
求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．
12.【答案】>
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是下降的，
∴抛物线开口向上，
∴a>0.
故答案为：>.
由抛物线在对称轴左侧的部分是上升的可得出抛物线开口向下，进而即可得出a>0，此题得解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记二次函数的性质是解题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：在△ABC中，∠C=90∘，tan∠A=2，AC=3，
∴BC=ACtan∠A=3×2=6，
故答案为：6.
根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
14.【答案】23
【解析】解：延长AG交BC于H，如图，
∵点G为等边三角形ABC的重心，
∴BH=CH，AG=2GH，
∴GH=12AG=1，
∴AH=AG+GH=3，
∵△ABC为等边三角形，AH为中线，
∴AH⊥BC，∠B=60∘，
∴BH=33AH=3，
∴BC=2BH=23.
故答案为：23.
延长AG交BC于H，如图，利用三角形的重心性质得到BH=CH，GH=12AG=1，再利用等边三角形的性质得到AH⊥BC，∠B=60∘，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BH，从而得到BC的长．
本题考查了三角形的重心：重三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了等边三角形的性质．
15.【答案】4
【解析】解：设斜坡AB的坡角为α，
∵斜坡AB的坡度为1：3，
∴tanα=13=33，
∴α=30∘，
∴他实际上升的高度=12AB=12×8=4，
故答案为：4.
根据斜坡AB的坡度求出坡角，根据含30∘角的直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念、坡度与坡角之间的关系是解题的关键．
16.【答案】1010
【解析】解：过点B作BD⊥AO，垂足为D，
由题意得：
AB=2，OB=22+22=22，AO=42+22=25，
∵△ABO的面积=12AO⋅BD=12×2×2，
∴BD=255，
在Rt△BOD中，sin∠AOB=BDOB=25522=1010，
故答案为：1010.
要求sin∠AOB的值，想到把∠AOB放在直角三角形中，所以过点B作BD⊥AO，垂足为D，然后利用等面积法求出BD即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】2−2
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴△AFE∽△BFG，
∴AFBF=AEBG，
∵AF=2BF，
∴AE=2BG，
设BG=a，则AE=2a，
∵CE平分∠DCB，EF平分∠AEC，
∴∠DCE=∠ECB，∠AEF=∠CEF，
∵AD//CG，
∴∠AEF=∠G，∠DEC=∠ECG，
∴∠CEF=∠G，∠DEC=∠DCB，
∴CD=DE=AB=32，CE=CG=2CD=2×32=6，
∴a+2a+32=6，
∴a=2−2，
∴GB=2−2.
故答案为：2−2.
证明△AFE∽△BFG，得AE=2BG，设BG=a，则AE=2a，根据平行线的性质和角平分线的定义可得CD=DE=AB=32，CE=CG=2CD=2×32=6，从而得结论．
本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质和判定的运用，解答时运用角平分线的定义和平行线得等腰是本题的关键．
18.【答案】y=−3x+3
【解析】解：对y=−kx+k，当x=0时，y=k，当y=0时，x=1，
∴A(1,0)，B(0,k)，
∴C(−k,0)，
将A、B、C的坐标代入y=mx2+2mx+c得，
m+2m+c=0c=kmk2+2mk+c=0，解得：m=0k=0c=0或m=−1k=3c=3或m=13k=−1c=−1，
∵m≠0，k>0，
∴m=−1，k=3，c=3，
∴一次函数的解析式为y=−3x+3，
故答案为：y=−3x+3.
先由直线y=−kx+k求得点A和点B的坐标，然后求得点C的坐标，最后将点A、B、C的坐标分别代入函数y=mx2+2mx+c中求得m、k、c的值，即可得到一次函数的解析式．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的解析式、旋转的特征，解题的关键是会求点B经过逆时针旋转90∘后的点的坐标．
19.【答案】解：|sin45∘−1|+2cs30∘−(tan60∘)0−(ct60∘)−1
=|22−1|+2×32−1−(33)−1
=1−22+3−1−3
=−22.
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△BCF∽△DEF，
∴BCED=BFDF，
∵BF=3DF，
∴BFDF=3.
∴BCED=3，
∴ADED=3.
∴AE：ED=2；
(2)∵AE：ED=2：1，
∴DE=12EA.
∵EA=b，
∴DE=12b，
∵CE=DE−DC，
∴CE=12b−a，
∵AD//BC，
∴CFCE=BFBD，
∵BF=3DF，
∴BFBD=34.
∴CFCE=34.
∴CF=34CE，
∴CF=34(12b−a)=38b−34a.
【解析】(1)由平行四边形的性质得AD//BC，从而△BCF∽△DEF，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得AE：ED的值；
(2)先求出BFBD=34.再利用向量的加法可得答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平面向量，解决本题的关键是理解平面向量．
21.【答案】解：(1)∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H.
∵AB=AD，
∴BH=HD=12BD=2.
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=4.
∴HC=HD+CD=6.
∵tanC=14=AHCH，
∴AH=32.
∴AB=BH2+AH2
=22+(32)2
=52.
(2)过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G.
∵sinB=AHAB=CGBC，
∴3252=CG8.
∴CG=245.
∴点C到直线AB的距离为245.
【解析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．另(2)亦可通过计算△ABC的面积求解．
(1)过点A作AH⊥BD，垂足为点H.先算HD、AH，再算AB；
(2)过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G.可利用sinB计算CG.
22.【答案】解：如图，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，
由题意，得∠DCH=27∘，∠HCB=13∘，AB=CH=20(米).
在Rt△DHC中，
∵tan∠DCH=DHCH，
∴DH=tan27∘×20≈10.2(米)，
在Rt△HCB中，
∵tan∠HCB=HBCH，
∴BH=tan13∘×20≈4.6(米)，
∴BD=HD+HB≈10.2+4.6=14.8(米).
答：教学楼BD的高度约为14.8米．
【解析】过点C作CH⊥BD，垂足为点H，根据锐角三角函数即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
23.【答案】证明：(1)∵DC2=DE⋅DB，
∴DCDE=DBDC，
∵∠CDE=∠BDC，
∴△DCE∽△DBC，
∴∠DCE=∠DBC，
∵∠ABD=∠DBC，
∴∠DCE=∠ABD，
∵∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△DEC；
(2)∵△AEB∽△DEC，
∴AEEB=DEEC，
∵∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∴∠ADE=∠BCE，
∵∠ABD=∠DBC，
∴△BDA∽△BCE，
∴BDBC=DACE，
∴BC⋅AD=CE⋅BD.
【解析】(1)根据已知条件先证明△DCE∽△DBC，可得∠DCE=∠DBC，进而可以证明结论；
(2)结合(1)的结论证明△AED∽△BEC，可得∠ADE=∠BCE，再证明△BDA∽△BCE，进而可得结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDA∽△BCE.
24.【答案】解：(1)将A(−1,0)、B(3,0)代入y=x2+bx+c，
得1−b+c=09+3b+c=0，
解得：b=−2c=−3，
所以抛物线的表达式为y=x2−2x−3.
当x=0时，y=−3.
∴点C的坐标为(0,−3).
(2)∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴点D的坐标为(1,−4).
∵B(3,0)、C(0,−3)、D(1,−4)，
∴BC=32，DC=2，BD=25.
∴BC2+DC2=18+2=20=DB2.
∴∠BCD=90∘.
∴tan∠CBD=DCBC=232=13.
(3)∵tan∠ACO=AOOC=13，
∴∠ACO=∠CBD.
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45∘.
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC.
即：∠ACB=∠DBO.
∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧．
(i)当ACCB=DBBP时，
∴1032=25BP.
∴BP=6.
∴P(−3,0).
(ii)当ACCB=BPDB时，
∴1032=BP25.
∴BP=103.
∴P(−13,0).
综上，点P的坐标为(−3,0)或(−13,0).
【解析】(1)由待定系数法可求出抛物线的解析式，当x=0时，可求出点C的坐标；
(2)证出∠BCD=90∘.由锐角三角函数的定义可得出答案；
(3)证出∠ACB=∠DBO.分两种情况，由相似三角形的判定与性质可得出BP的长，则可得出答案．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G.
∴AH//DG，
∵AD//BC，
∴四边形AHGD是矩形，
∴AD=HG=2，AH=DG，
在Rt△ABH中，
tan∠ABC=2，AB=5，
∴AHBH=2，
∴AH=2BH，
∵AH2+BH2=AB2，
∴(2BH)2+BH2=(5)2，
∴BH=1，
∴AH=2，
∴DG=2，
在Rt△DGC中，
DC=25，
∴CG=DC2−DG2=(25)2−22=4，
∴BC=BH+HG+GC=1+2+4=7；
(2)如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，
∴AH//EM，
∵AD//BC，
∴四边形AHME是矩形，
∴EM=AH=2，
在Rt△DGC中，DG=2，CG=4，
∴tan∠DCB=DGCG=12，
∵FB=FE，
∴∠FEB=∠FBE.
∵∠FEB=∠DCB，
∴∠FBE=∠DCB，
∴tan∠FBE=12.
∴EMBM=12，
∴BM=4，
在Rt△EFM中，FM2+EM2=FE2，
∴(4−FB)2+22=FB2，
∴BF=52；
(3)如图2，过点E作EN//DC，交BC的延长线于点N.
∵DE//CN，
∴四边形DCNE是平行四边形，
∴DE=CN，∠DCB=∠ENB，
∵∠FEB=∠DCB，
∴∠FEB=∠ENB，
又∵∠EBF=∠NBE，
∴△BEF∽△BNE，
∴BFBE=BEBN，
∴BE2=BF⋅BN，
过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，
则四边形DGQE是矩形，
∴EQ=DG=2，
∴BQ=x+3.
∴BE2=QE2+BQ2=(x+3)2+22=x2+6x+13，
∴y(7+x)=x2+6x+13.
∴y=x2+6x+137+x(0【解析】(1)如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G.根据矩形的性质得到AD=HG=2，AH=DG，解直角三角形即可得到结论；
(2)如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，根据矩形的性质得到EM=AH=2，解直角三角形即可得到结论；
(3)如图2，过点E作EN//DC，交BC的延长线于点N.根据平行四边形的性质得到DE=CN，∠DCB=∠ENB，根据相似三角形的性质得到BE2=BF⋅BN，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，根据矩形的性质得到EQ=DG=2，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了四边形综合题，梯形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
下列图形，一定相似的是( )
A. 两个直角三角形B. 两个等腰三角形C. 两个等边三角形D. 两个菱形
如图，已知AB//CD//EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F.如果AC：CE=2：3，BD=4，那么BF等于( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
在Rt△ABC中，∠C=90∘，那么ctA等于( )
A. ACBCB. ACABC. BCACD. BCAB
如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE//AC的是( )
A. ADDB=BECE
B. BDAD=BEEC
C. ADAB=CEBE
D. BDBA=DEAC
如果a=−2b(a、b均为非零向量)，那么下列结论错误的是( )
A. |a|=2|b|B. a//bC. a+2b=0D. a与b方向相同
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定正确的是( )
A. EAAB=AFBC
B. EAAB=FDAF
C. AFBC=EACD
D. EAEB=AFAD
已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，b=3，那么c=______.
计算：3a−2(a−2b)=______.
如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______.
二次函数y=−x2−x−1的图象有最______点．(填“高”或“低”)
若将抛物线y=x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式是______.
如果抛物线y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，且a≠0)在对称轴左侧的部分是下降的，那么a ______0.(填“<”或“>”)
在△ABC中，∠C=90∘，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC=______.
如图，点G为等边三角形ABC的重心，联结GA，如果AG=2，那么BC=______.
如图，如果小华沿坡度为1:3的坡面由A到B行走了8米，那么他实际上升的高度为______米．
如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为______.
如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=32，AF=2BF，那么GB=______.
如图，一次函数y=ax+b(a<0,b>0)的图象与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90∘后，与x轴相交于点C，我们将图象过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y=−kx+k(k>0)的关联二次函数是y=mx2+2mx+c(m≠0)，那么这个一次函数的解析式为______.
计算：|sin45∘−1|+2cs30∘−(tan60∘)0−(ct60∘)−1.
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE、BD相交于点F，BF=3DF.
(1)求AE：ED的值；
(2)如果DC=a，EA=b，试用a、b表示向量CF.
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4，tanC=14.
(1)求AB的长；
(2)求点C到直线AB的距离．
如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口C(AC//BD)处测得教学楼顶部D的仰角为27∘，教学楼底部B的俯角为13∘，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=20米．求教学楼BD(BD⊥AB)的高度．(精确到0.1米)(参考数据：sin13∘≈0.22，cs13∘≈0.97，tan13∘≈0.23，sin27∘≈0.45，cs27∘≈0.89，tan27∘≈0.51)
已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点E，∠ABD=∠CBD，DC2=DE⋅DB.
(1)求证：△AEB∽△DEC；
(2)求证：BC⋅AD=CE⋅BD.
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为点D.
(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)联结BC、BD，求∠CBD的正切值；
(3)若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．
在四边形ABCD中，AD//BC，AB=5，AD=2，DC=25，tan∠ABC=2(如图).点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF=∠DCB.
(1)求线段BC的长；
(2)当FB=FE时，求线段BF的长；
(3)当点E在线段AD的延长线上时，设DE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故A选项不符合题意；
B.两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故B选项不符合题意；
C.两个等边三角形的对应角一定相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故C选项符合题意；
D.两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故D选项不符合题意；
故选：C.
根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
本题考查了相似图形，熟悉各种图形的性质是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵AC：CE=2：3，
∴AC：AE=2：5，
∵AB//CD//EF，
∴ACAE=BDBF，
∴BF=AE⋅BDAC=52×4=10，
故选：C.
根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理．
3.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，那么ctA=ACBC，
故选：A.
根据锐角三角函数的余切定义判断即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的概念是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.因为ADDB=ECBE，所以DE//AC，故A不符合题意；
B.因为BDAD=BECE，所以DE//AC，故B符合题意；
C.因为ADAB=CEBC，所以DE//AC，故C不符合题意；
D.因为BDAB=BEBC，所以DE//AC，故D不符合题意；
故选：B.
根据平行线分线段成比例判断即可．
本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知并结合图形去分析是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵a=−2b，
∴|a|=2|b|；a//b；a+2b=0；a与b的方向相反，
故A，B，C正确，D错误，
故选：D.
根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．
本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∴△EAF∽△EAB，
∴EAEB=AFBC，AFBC=EAEB，
∴A、C不符合题意；
D符合题意；
∵AB//CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴AECD=AFFD，
∵AB=CD，
∴AEAB=AFFD，
∴B不符合题意；
故选：D.
由四边形ABCD是平行四边形，推得AB=CD，AD//BC，AB//CD，得△EAF∽△EAB，△AEF∽△CDF，推比例线段即可判断是否符合题意．
本题考查了三角形相似的判定和性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例，掌握由平行推相似的方法，等量代换是解题关键．
7.【答案】9
【解析】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，
∴b2=ac，
即32=1×c，
∴c=9.
故答案为：9.
根据比例中项的定义可得b2=ac，从而易求b.
本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义．
8.【答案】a+4b
【解析】解：3a−2(a−2b)=3a−2a+4b=a+4b，
故答案为：a+4b.
根据平面向量的加法法则计算即可．
本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．
9.【答案】2：3
【解析】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的对应高的比为：2：3，
故答案为：2：3.
根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案．
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键．
10.【答案】高
【解析】解：∵二次函数y=−x2−x−1，a=−1，
∴该函数图象开口向下，函数有最大值，图象有最高点，
故答案为：高．
根据二次函数的性质即可得到答案．
本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11.【答案】y=x2−2
【解析】解：∵抛物线y=x2向下平移2个单位的顶点坐标为(0,−2)，
∴所得抛物线的表达式为：y=x2−2.
故答案为：y=x2−2.
求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．
12.【答案】>
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是下降的，
∴抛物线开口向上，
∴a>0.
故答案为：>.
由抛物线在对称轴左侧的部分是上升的可得出抛物线开口向下，进而即可得出a>0，此题得解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记二次函数的性质是解题的关键．
13.【答案】6
【解析】解：在△ABC中，∠C=90∘，tan∠A=2，AC=3，
∴BC=ACtan∠A=3×2=6，
故答案为：6.
根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
14.【答案】23
【解析】解：延长AG交BC于H，如图，
∵点G为等边三角形ABC的重心，
∴BH=CH，AG=2GH，
∴GH=12AG=1，
∴AH=AG+GH=3，
∵△ABC为等边三角形，AH为中线，
∴AH⊥BC，∠B=60∘，
∴BH=33AH=3，
∴BC=2BH=23.
故答案为：23.
延长AG交BC于H，如图，利用三角形的重心性质得到BH=CH，GH=12AG=1，再利用等边三角形的性质得到AH⊥BC，∠B=60∘，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BH，从而得到BC的长．
本题考查了三角形的重心：重三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了等边三角形的性质．
15.【答案】4
【解析】解：设斜坡AB的坡角为α，
∵斜坡AB的坡度为1：3，
∴tanα=13=33，
∴α=30∘，
∴他实际上升的高度=12AB=12×8=4，
故答案为：4.
根据斜坡AB的坡度求出坡角，根据含30∘角的直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念、坡度与坡角之间的关系是解题的关键．
16.【答案】1010
【解析】解：过点B作BD⊥AO，垂足为D，
由题意得：
AB=2，OB=22+22=22，AO=42+22=25，
∵△ABO的面积=12AO⋅BD=12×2×2，
∴BD=255，
在Rt△BOD中，sin∠AOB=BDOB=25522=1010，
故答案为：1010.
要求sin∠AOB的值，想到把∠AOB放在直角三角形中，所以过点B作BD⊥AO，垂足为D，然后利用等面积法求出BD即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】2−2
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴△AFE∽△BFG，
∴AFBF=AEBG，
∵AF=2BF，
∴AE=2BG，
设BG=a，则AE=2a，
∵CE平分∠DCB，EF平分∠AEC，
∴∠DCE=∠ECB，∠AEF=∠CEF，
∵AD//CG，
∴∠AEF=∠G，∠DEC=∠ECG，
∴∠CEF=∠G，∠DEC=∠DCB，
∴CD=DE=AB=32，CE=CG=2CD=2×32=6，
∴a+2a+32=6，
∴a=2−2，
∴GB=2−2.
故答案为：2−2.
证明△AFE∽△BFG，得AE=2BG，设BG=a，则AE=2a，根据平行线的性质和角平分线的定义可得CD=DE=AB=32，CE=CG=2CD=2×32=6，从而得结论．
本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质和判定的运用，解答时运用角平分线的定义和平行线得等腰是本题的关键．
18.【答案】y=−3x+3
【解析】解：对y=−kx+k，当x=0时，y=k，当y=0时，x=1，
∴A(1,0)，B(0,k)，
∴C(−k,0)，
将A、B、C的坐标代入y=mx2+2mx+c得，
m+2m+c=0c=kmk2+2mk+c=0，解得：m=0k=0c=0或m=−1k=3c=3或m=13k=−1c=−1，
∵m≠0，k>0，
∴m=−1，k=3，c=3，
∴一次函数的解析式为y=−3x+3，
故答案为：y=−3x+3.
先由直线y=−kx+k求得点A和点B的坐标，然后求得点C的坐标，最后将点A、B、C的坐标分别代入函数y=mx2+2mx+c中求得m、k、c的值，即可得到一次函数的解析式．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的解析式、旋转的特征，解题的关键是会求点B经过逆时针旋转90∘后的点的坐标．
19.【答案】解：|sin45∘−1|+2cs30∘−(tan60∘)0−(ct60∘)−1
=|22−1|+2×32−1−(33)−1
=1−22+3−1−3
=−22.
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△BCF∽△DEF，
∴BCED=BFDF，
∵BF=3DF，
∴BFDF=3.
∴BCED=3，
∴ADED=3.
∴AE：ED=2；
(2)∵AE：ED=2：1，
∴DE=12EA.
∵EA=b，
∴DE=12b，
∵CE=DE−DC，
∴CE=12b−a，
∵AD//BC，
∴CFCE=BFBD，
∵BF=3DF，
∴BFBD=34.
∴CFCE=34.
∴CF=34CE，
∴CF=34(12b−a)=38b−34a.
【解析】(1)由平行四边形的性质得AD//BC，从而△BCF∽△DEF，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得AE：ED的值；
(2)先求出BFBD=34.再利用向量的加法可得答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平面向量，解决本题的关键是理解平面向量．
21.【答案】解：(1)∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H.
∵AB=AD，
∴BH=HD=12BD=2.
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=4.
∴HC=HD+CD=6.
∵tanC=14=AHCH，
∴AH=32.
∴AB=BH2+AH2
=22+(32)2
=52.
(2)过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G.
∵sinB=AHAB=CGBC，
∴3252=CG8.
∴CG=245.
∴点C到直线AB的距离为245.
【解析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．另(2)亦可通过计算△ABC的面积求解．
(1)过点A作AH⊥BD，垂足为点H.先算HD、AH，再算AB；
(2)过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G.可利用sinB计算CG.
22.【答案】解：如图，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，
由题意，得∠DCH=27∘，∠HCB=13∘，AB=CH=20(米).
在Rt△DHC中，
∵tan∠DCH=DHCH，
∴DH=tan27∘×20≈10.2(米)，
在Rt△HCB中，
∵tan∠HCB=HBCH，
∴BH=tan13∘×20≈4.6(米)，
∴BD=HD+HB≈10.2+4.6=14.8(米).
答：教学楼BD的高度约为14.8米．
【解析】过点C作CH⊥BD，垂足为点H，根据锐角三角函数即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
23.【答案】证明：(1)∵DC2=DE⋅DB，
∴DCDE=DBDC，
∵∠CDE=∠BDC，
∴△DCE∽△DBC，
∴∠DCE=∠DBC，
∵∠ABD=∠DBC，
∴∠DCE=∠ABD，
∵∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△DEC；
(2)∵△AEB∽△DEC，
∴AEEB=DEEC，
∵∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∴∠ADE=∠BCE，
∵∠ABD=∠DBC，
∴△BDA∽△BCE，
∴BDBC=DACE，
∴BC⋅AD=CE⋅BD.
【解析】(1)根据已知条件先证明△DCE∽△DBC，可得∠DCE=∠DBC，进而可以证明结论；
(2)结合(1)的结论证明△AED∽△BEC，可得∠ADE=∠BCE，再证明△BDA∽△BCE，进而可得结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDA∽△BCE.
24.【答案】解：(1)将A(−1,0)、B(3,0)代入y=x2+bx+c，
得1−b+c=09+3b+c=0，
解得：b=−2c=−3，
所以抛物线的表达式为y=x2−2x−3.
当x=0时，y=−3.
∴点C的坐标为(0,−3).
(2)∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴点D的坐标为(1,−4).
∵B(3,0)、C(0,−3)、D(1,−4)，
∴BC=32，DC=2，BD=25.
∴BC2+DC2=18+2=20=DB2.
∴∠BCD=90∘.
∴tan∠CBD=DCBC=232=13.
(3)∵tan∠ACO=AOOC=13，
∴∠ACO=∠CBD.
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45∘.
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC.
即：∠ACB=∠DBO.
∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧．
(i)当ACCB=DBBP时，
∴1032=25BP.
∴BP=6.
∴P(−3,0).
(ii)当ACCB=BPDB时，
∴1032=BP25.
∴BP=103.
∴P(−13,0).
综上，点P的坐标为(−3,0)或(−13,0).
【解析】(1)由待定系数法可求出抛物线的解析式，当x=0时，可求出点C的坐标；
(2)证出∠BCD=90∘.由锐角三角函数的定义可得出答案；
(3)证出∠ACB=∠DBO.分两种情况，由相似三角形的判定与性质可得出BP的长，则可得出答案．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G.
∴AH//DG，
∵AD//BC，
∴四边形AHGD是矩形，
∴AD=HG=2，AH=DG，
在Rt△ABH中，
tan∠ABC=2，AB=5，
∴AHBH=2，
∴AH=2BH，
∵AH2+BH2=AB2，
∴(2BH)2+BH2=(5)2，
∴BH=1，
∴AH=2，
∴DG=2，
在Rt△DGC中，
DC=25，
∴CG=DC2−DG2=(25)2−22=4，
∴BC=BH+HG+GC=1+2+4=7；
(2)如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，
∴AH//EM，
∵AD//BC，
∴四边形AHME是矩形，
∴EM=AH=2，
在Rt△DGC中，DG=2，CG=4，
∴tan∠DCB=DGCG=12，
∵FB=FE，
∴∠FEB=∠FBE.
∵∠FEB=∠DCB，
∴∠FBE=∠DCB，
∴tan∠FBE=12.
∴EMBM=12，
∴BM=4，
在Rt△EFM中，FM2+EM2=FE2，
∴(4−FB)2+22=FB2，
∴BF=52；
(3)如图2，过点E作EN//DC，交BC的延长线于点N.
∵DE//CN，
∴四边形DCNE是平行四边形，
∴DE=CN，∠DCB=∠ENB，
∵∠FEB=∠DCB，
∴∠FEB=∠ENB，
又∵∠EBF=∠NBE，
∴△BEF∽△BNE，
∴BFBE=BEBN，
∴BE2=BF⋅BN，
过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，
则四边形DGQE是矩形，
∴EQ=DG=2，
∴BQ=x+3.
∴BE2=QE2+BQ2=(x+3)2+22=x2+6x+13，
∴y(7+x)=x2+6x+13.
∴y=x2+6x+137+x(0
(2)如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，根据矩形的性质得到EM=AH=2，解直角三角形即可得到结论；
(3)如图2，过点E作EN//DC，交BC的延长线于点N.根据平行四边形的性质得到DE=CN，∠DCB=∠ENB，根据相似三角形的性质得到BE2=BF⋅BN，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，根据矩形的性质得到EQ=DG=2，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了四边形综合题，梯形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
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