2021-2022学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷

1.     下列图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.     下列事件中，属于不可能事件的是(    )

A. 射击运动员射击一次，命中靶心
B. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天
D. 经过红绿灯路口，遇到绿灯

3.     下列函数中，其图象经过点的反比例函数关系式是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     如图，转盘的A扇形、B扇形和C扇形的圆心角分别为、、，让转盘自由转动1次，指针落在A区域的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

5.     如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，，，，(    )

A. 7
B.
C. 8
D.

6.     如图，AB为的切线，点A为切点，OB交于点C，点D在上，连接AD、CD，OA，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是R，它的外切正六边形的边长为(    )

A.
B.
C.
D. 6R

8.     若点、、都是反比例函数的图象上的点，并且，则下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.     若反比例函数的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在圆中半径弦AB，且弦，则图中阴影部分面积为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，DE与BC交于点F，连接下列结论不一定正确的是(    )
     

A.  B.  C.  D.

12. 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在点与点之间不包括这两点，对称轴为直线有下列结论：
    ①；②；③；④若点，在抛物线上，则其中正确结论的个数是(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

13. 已知的半径为10，直线AB与相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是______.
14. 在一个暗箱里放有m个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，推算m的值大约是______.
15. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为______.
16. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，与x轴的一个交点为，则方程的解为______.

17. 如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若，，则的面积是______.

18. 如图，已知点，，，若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．
    直接写出点D的坐标______；
    将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为______.

19. 电影“长津湖”的热映，让今年国庆节多了几分英雄气．现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有．游戏规则是：在一枚均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有，否则磊磊获胜．
    用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果；
    你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由．
20. 如图，直线交x轴于点B，交y轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接OC、
    求k的值；
    求的面积；
    根据图象直接写出时，x的取值范围．

21. 如图，，AC与BD的交点为E，
    求证：∽；
    如果，，求AC，CD的长．
     
22. 如图，AC是的直径，PA、PB是的切线，切点分别是点A、
    如图1，若，求的度数．
    如图2，若M是劣弧AB上一点，，，求AP的长．
     
23. 如图，点O为矩形ABCD内部一点，过点O作交AB于点E，交CD于点F，过点O作交AD于点G，交BC于点H，设，，，
    的取值范围是：______；
    矩形BCFE的周长等于______；
    若矩形ABCD的面积为42，x的值为______；
    求矩形OFCH的面积S的取值范围．

24. 如图1，在平面直角坐标系中，，，将绕点B逆时针方向旋转得到
    求AB的长；
    当旋转角时，如图1，AB与CD交于点F，求的度数；
    当旋转角时，如图2，连接OD，求OD的长．
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接AC、动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒.
    
    求b、c的值.
    在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
    在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
 

2.【答案】B 

【解析】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；
B、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件，符合题意；
C、班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件，符合题意；
D、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
故选：
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】A 

【解析】解：在反比例函数图象上，
，
故选：
根据反比例函数求解．
本题考查求反比例函数解析式，解题关键是掌握反比例函数中
 

4.【答案】C 

【解析】解：转盘的A扇形、B扇形和C扇形的圆心角分别为、、，
让转盘自由转动1次，指针落在A区域的概率为：，
故选：
求出A区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
此题考查几何概率的求法，事件所表示的区域的面积与总面积的值，就是事件发生的概率．
 

5.【答案】D 

【解析】解：直线，
，即，

故选：
根据平行线分线段成比例定理得到，即，然后利用比例性质求DF的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

6.【答案】B 

【解析】

【分析】
此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】
解：为圆O的切线，
，即，
，
，

故选  

7.【答案】A 

【解析】解：如图，，

所以，，
所以，外切六边形的边长
故选：
求出，然后解直角三角形求出AD，再根据边长计算即可得解．
本题考查了正多边形和圆，主要利用了解直角三角形，熟记正多边形的性质并求出切点与相邻的顶点所对的圆心角的度数是解题的关键．
 

8.【答案】B 

【解析】解：，
反比例函数图象位于二、四象限，如图在每个象限内，y随x的增大而增大，

，

故选
首先确定反比例函数的系数与0的大小关系，然后根据题意画出图形，再根据其增减性解答即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征.
 

9.【答案】B 

【解析】解：反比例比例函数的图象在其每一象限内，y随x的增大而减小，
，解得
故选：
先根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
 

10.【答案】C 

【解析】解：连接OA，OB，

，，
的面积的面积等底等高的三角形的面积相等，
，
，
是等边三角形，
，
阴影部分的面积，
故选：
连接OA，OB，求出和的面积相等，得出阴影部分的面积=扇形AOB的面积，再求出扇形AOB的面积即可．
本题考查了三角形的面积和扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
 

11.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质及平行线的判定与性质，属于基础题．
由旋转的性质知、，≌，据此得出是等边三角形、，证得，从而得出
【解答】
解：由旋转知、，≌，
，是等边三角形，，
、，
，
，
，
则A、B、D均正确，
故选：  

12.【答案】C 

【解析】解：①由开口可知：，
对称轴，
，
由抛物线与y轴的交点可知：，
，故①正确；
②对称轴，
，
，
，，
，
，故②正确；
③，，
，
，
，
，
，
，故③正确，
④点，在抛物线上，则，
当时，；
当时，；故④错误；
故选：
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：的半径为10，直线L与相交，
圆心到直线AB的距离小于圆的半径，
即；
故答案为：
根据直线AB和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径即可得问题答案．
本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．同时注意圆心到直线的距离应是非负数．
 

14.【答案】12个 

【解析】解：个，
故答案为：12个．
黄球的个数除以它占总数的比例即为球的总数
考查了利用频率估计概率的知识，总体=部分的个数除以它占的比例．
 

15.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点坐标为，
另一个交点的坐标是
故答案为：
反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键熟知反比例函数的图象是中心对称图形．
 

16.【答案】， 

【解析】解：抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线，
则抛物线与x轴的另一个交点为，
方程的解为，，
故答案为：，
根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为且对称轴为直线，得抛物线与x轴的另一个交点为，从得出答案．
本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解是解题的关键．
 

17.【答案】6 

【解析】解：连接DO，EO，

是的内切圆，切点分别为D，E，F，
，，，，，
又，
四边形OECD是矩形，
又，
矩形OECD是正方形，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，，
，
故答案为：
利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了三角形内切圆与内心，正方形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等，得出四边形OECD是正方形是解题关键．
 

18.【答案】或 

【解析】解：；
旋转中心或

故答案为：或
根据点D的位置写出坐标即可；
对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：列表得：

共有36种等可能的结果数；

不公平，理由如下：
由表可知共有36种等可能结果，其中两次朝上的点数之和是3的倍数有12种结果，不是3的倍数的有24种结果，
则明明获胜的概率是，磊磊获胜的概率是，
，
这个游戏规则对明明和磊磊不公平． 

【解析】列表即可得出所有等可能结果；
从表格中得出所有等可能结果，从中找到点数之和等于3的倍数的结果数和不是3的倍数的结果数，求出两者的概率即可判断．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：把代入得：，
即一次函数的表达式为，
把，代入得：，，
解得，，
即，，
把C的坐标代入得：，
解得：；

由可知：，
的面积为；

由图象可知：时，x的取值范围是或 

【解析】把A的坐标代入求出b，即可得出一次函数的表达式，把，代入求出C、D的坐标，把C的坐标代入的，求出k即可；
求出OB，分别求出和的面积，相加即可；
根据C、D的坐标和图象得出即可．
本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用，能求出两函数的解析式是解此题的关键，数形结合思想的应用．
 

21.【答案】证明：，，
∽；
∽，
，
，
，，
，
，
∽，
，
 

【解析】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明∽，∽
根据相似三角形的判定证明即可；
利用相似三角形的性质解答即可．
 

22.【答案】解：，PB是的切线，
，
，
为切线，

，
，
，
；
，，，
，
，
，，
，，
，
，PB是的切线，
，
是等边三角形，
 

【解析】先根据切线长定理得到，则利用等腰三角形的性质得，再根据切线的性质得，于是利用互余计算出，然后根据三角形内角和定理计算的度数．
在弧AC上取一点D，连接AD，BD，利用已知条件和圆的内接四边形的性质即可求出的度数，根据等边三角形的性质健康得到结论．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了切线长定理．
 

23.【答案】 

【解析】解：由题意知，
解得，
故答案为：；
由题知，
故答案为：20；
由题知，
解得或舍去，
故答案为：2；
由题知，
，
，
即
根据边长都大于0，解不等式组即可；
根据周长公式计算即可；
根据矩形面积列方程求解即可；
根据x的取值确定面积的取值范围即可．
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练利用面积公式列方程求解是解题的关键．
 

24.【答案】解：，，
，
，
；

，，
，
，
，
，
；

如图2中，过点D作轴于点H，在DH上取一点T，使得，连接

，，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，，
，
 

【解析】利用勾股定理求解即可；
求出，利用三角形内角和定理求出即可；
如图2中，过点D作轴于点H，在DH上取一点T，使得，连接证明，设，则，，利用勾股定理构建方程求出m，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，，
则，
解得；
由得抛物线表达式为，，，
是等腰直角三角形，
由点P的运动可知，
过点P作轴，垂足为H，

，
则H点坐标为，
又Q点坐标为，
，，，
，，，




，
当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
，，
，
当时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；
存在点M使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，

是等腰直角三角形，，，
，又，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
又，
点M的坐标为，
点M在抛物线上，
，
解得或舍，
点的坐标为 

【解析】利用待定系数法求解即可；
过点P作轴，垂足为H，利用表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明≌，得到，，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．
本题考查二次函数综合，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形面积．