2021学年第6章 图形的相似综合与测试精练

这是一份2021学年第6章 图形的相似综合与测试精练，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第6章 图形的相似--【课后培优训练】

一、选择题
1、已知，则x的值为（ ）
A. -1 B. -1或1 C. -1或 D.
2、如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）

A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
3、如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果AD＝2，BD＝6，那么AC的长为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

（3题） （4题） （5题）
4、如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是（　　）
A．b2＝ac B．b2＝ce C．be＝ac D．bd＝ae
5、如图，在中，，点在边上，，为边上一点，当时，
的值为　　
A. B. C. D.
6、如图，在中，D、E分别是边、上的点，与相交于点F，若E为的中点，，则的值是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．2

（6题） （7题） （8题）
7、如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（　　）
A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）
8、如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点、、点在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为　　
A． B． C． D．

9、如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（ ）

A．6 B． C．10 D．


10、如图，直线m∥n，AB⊥m，AB＝2，点P是AB中点，点C、D分别是直线m、n上两个动点（不与点A、B重合），且满足PC⊥PD，设AC＝x，BD＝y，则y与x的函数图象是（ ）
A.B. C. D.
二、填空题
11、如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，直线l4与l5相交于点G，如果AG＝2，GB＝1，BC＝5，那么的值等于____．

（11题） （13题） （14题）
12、已知：在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D在边AB上，点E在边AC上，AD＝2，当AE＝________时，△ABC和△ADE相似．
13、如图，矩形ABCD，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当DP＝　 　时，△ADP与△BCP相似．
14、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，分别交AD、AC于点E、F，如果AB＝7，AC＝5，那么CF＝___．
15、如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为　 　．

（15题） （16题）
16、如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为　 　．
17、如图所示，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12cm，AB＝6cm，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（s）表示时间（0≤x≤6），那么当x＝　 　s时，以P，O，Q为顶点的三角形与△AOB相似？


18、如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，联结EG交AC于点H，如果H是AC的中点，那么的值等于____．

19、如图，△ABC中，BD是中线，AE是高，BD交AE于点F，FG∥AB，交BE于点G，若AE＝BD，DF＝5，GB＝，则BF＝____．

20、如图，在矩形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、AD上点，且∠FEG＝90°，EG＝6，GF与AC交于点M，若＝，则MF＝___．

三、解答题
21、已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE∥AC，＝．
（1）求证：DF∥BC；
（2）如果DF＝2，BE＝4，求的值．





22、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．
（1）求证：CE•AD＝DE2；
（2）求证：．





23、如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、．
求证：（1）；
（2）．








24、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点E，过点E作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：△AME~△ABC；
（2）求证：；
（3）若AD=5，BC=7，求MN的长．





25、如图，在平面直角坐标系中，已知点A、点B的坐标分别为（﹣1，0）和（5，0），点C在y轴的正半轴上，且CO＝4OA，CM是△ABC的中线．
（1）求直线CM的表达式；
（2）点Q是射线CM上一个动点，当△QMB与△COM相似时，求点Q的坐标．




26、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且，连接并延长AF，分别交BE于点G，交BC的延长线于点H．
（1）求证：；
（2）连接EH，若，求证．




27、已知：如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为边AD上一点（且不与A、D两点重合），联结BF交AC于点E，射线BF与射线CD交于点G，设AF＝x，S△EGC＝y．
（1）当BF⊥AC时，求AF的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）过点D作DH⊥BG，垂足为点H，当＝时，求S△EGC的值


28、如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜5
（1）用含t的代数式表示AP；
（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；
（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，求t的值．









29、如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点P为第一象限内抛物线上一点，射线OP与线段BC交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC，当∠OAC＋∠ODC＝180°时，求点P的坐标；
（3）过点B作BE⊥x轴交射线OP于点E，当BDE为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．







第6章 图形的相似--【课后培优训练】
--2021-2022学年苏科版九年级数学下册（解析)
一、选择题
1、已知，则x的值为（ ）
A. -1 B. -1或1 C. -1或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当时，
∵，，，
；
当时，
．
故选C．

2、如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）

A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴＝，
∴a＝2b．
故选：B．

3、如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果AD＝2，BD＝6，那么AC的长为（　　）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】先证明，列出，进而即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠C=90°，
又∵∠A=∠A，
∴，
∴，即：，
∴AC=4（负值舍去），
故选A．

4、如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是（　　）

A．b2＝ac B．b2＝ce C．be＝ac D．bd＝ae
【分析】根据∠CDB＝∠DBA，∠C＝∠BDA＝90°，可判定△CDB∽△DBA，利用对应边成比例，即可判断各选项．
【解答】解：∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠DBA，
又∵∠C＝∠BDA＝90°，∴△CDB∽△DBA，
∴＝＝，即＝＝，
A、b2＝ac，成立，故本选项正确；
B、b2＝ac，不是b2＝ce，故本选项错误；
C、be＝ad，不是be＝ac，故本选项错误；
D、bd＝ec，不是bd＝ae，故本选项错误．
故选：A．

5、如图，在中，，点在边上，，为边上一点，当时，
的值为　　

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过作于，于，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：过作于，于，

，
又，
四边形为矩形，，
，PC=PD，
∵BD:CD=2:5∴CF:BC=5:14
，，
，，
故选：A．
6、如图，在中，D、E分别是边、上的点，与相交于点F，若E为的中点，，则的值是（ ）

A．2.5 B．3 C．4 D．2
【答案】A
【分析】过点E作交AD于G，则EG是△ACD的中位线，△AGE∽△ADC，可以得到，再证明△FGE∽△FDB，得到，即可推出，设，则，，，，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作交AD于G，
∵E是AC的中点，，
∴EG是△ACD的中位线，△AGE∽△ADC，
∴，，∴，
同理可证△FGE∽△FDB，∴，
∵，，∴，
设，则，
∴，，∴，∴，
故选A．


7、如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（　　）
A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）

【答案】C
【解析】如图，连接BF交y轴于P，

∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（-4，4），（2，1），
∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），∴CG=3，
∵BC∥GF，∴，∴GP=1，PC=2，∴点P的坐标为（0，2），选C．

8、如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点、、点在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为　　

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出，得到答案．
【详解】解：正方形中的点的坐标为，，．
正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，即相似比为，
在正方形中有，，，且，
，，即解得，，∴，
又∵，点的坐标为，
故选：A．
9、如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（ ）

A．6 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】过点作于，根据等边三角形，和含角的直角三角形，易证得
，从而求得线段，，，，，，的长度，最后在中利用勾股定理可以求得的长度．
【详解】解：过点作于，在等边中，，，
在中，，，∵，∴，，
∴，∴，
又∵∠A=∠B=60°，∴， ∴，
∴在中，，∴，即，∴，
∵，∴，∴，已知∴，
∴，∴，∴，
在中，，∴，∴，
∴，∴，而,∴，∴，
在中，，∴，即．故选：B．


10、如图，直线m∥n，AB⊥m，AB＝2，点P是AB中点，点C、D分别是直线m、n上两个动点（不与点A、B重合），且满足PC⊥PD，设AC＝x，BD＝y，则y与x的函数图象是（ ）
A.B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意证，根据相似三角形的对应边成比例即可得出与的函数关系式，当时，即可找出图像上的一点．
【详解】是的中点，，，
，，，即，
，，
，，
，，
，即，
，排除A、D选项；
当时，，
该函数图像经过（1，1）点．
故选：B．


二、填空题
11、如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，直线l4与l5相交于点G，如果AG＝2，GB＝1，BC＝5，那么的值等于____．


【答案】
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算，可求得答案．
【详解】解：∵AG＝2，GB＝1，
∴AB＝AG＋BG＝3，
∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
故答案是：．

12、已知：在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D在边AB上，点E在边AC上，AD＝2，当AE＝________时，△ABC和△ADE相似．
【答案】或
【解析】
【分析】若△ADE与△ABC相似时，则或，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．
【详解】解：当时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE===；
当时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE===；
故答案为：或．



13、如图，矩形ABCD，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当DP＝　 　时，△ADP与△BCP相似．

【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
【解答】解：①当△APD∽△PBC时，
，
即，
解得：PD＝1或PD＝4；
②当△PAD∽△PBC时，
，即，
解得：DP＝2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．

14、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，分别交AD、AC于点E、F，如果AB＝7，AC＝5，那么CF＝___．

【答案】
【解析】
【分析】过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M，先证明，可得，再证明DF∥AB，，进而即可求解．
【详解】解：过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M，则∠M=∠BAD，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠M=∠CAD，∴AC=CM=5，
∵AB∥CM，∴，∴，
∵EF是AD的中垂线，∴AF=DF，∴∠CAD=∠ADF，∴∠ADF=∠BAD，
∴DF∥AB，∴，∴CF=．

15、如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为　 　．

【分析】判断出△ABC和△AED相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，DE∥BC，
所以，△ABC∽△AED，
所以，＝，
即＝，
解得h＝1.4m．
故答案为：1.4m．


16、如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为　 　．

【解答】
【解析】过点D作DG∥BF交AC于点G，如右图所示，
∵D为BC边的中点，BC＝6，∴BD＝3，
∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴AD==5，
∵BE⊥AD于点E，交AC于F，
∴BE=，
∵AB＝4，BE=，∠AEB＝90°，

设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x-，
∵EF∥DG，
∴△AEF∽△ADG，

解得，x=，

故答案为．

17、如图所示，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12cm，AB＝6cm，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（s）表示时间（0≤x≤6），那么当x＝　 　s时，以P，O，Q为顶点的三角形与△AOB相似？

【分析】分△OPQ∽△OAB与△OPQ∽△OBA两种情况进行分类讨论，由相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵∠POQ＝∠BOA，
∴当△OPQ∽△OAB时，，即，
解得x＝3秒；
当△OPQ∽△OBA，，即，
解得x＝秒．
综上所述，当x＝3秒或秒时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似．
故答案为：或3．

18、如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，联结EG交AC于点H，如果H是AC的中点，那么的值等于____．

【答案】
【解析】
【分析】先证明△AGH∽△ADB，可得∠3＝∠B，GF=DF，再由△AGH∽△ADB，可得，进而即可求解．
【详解】解： 如图，

∵EF⊥AD，∴∠EFG=∠EFD=90°，
∵FG＝FD，EF=EF，∴△DFE≌△GFE，
∴∠5＝∠B＋∠1＝∠4＝∠2＋∠3，
又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠B，∴△AGH∽△ADB，
∵AB＝5，AC＝4，H是AC的中点，∴AH＝2，
∴，而 AD＝AG＋GD，∴，∴，
∵GF=DF，∴＝．
故答案是：．

19、如图，△ABC中，BD是中线，AE是高，BD交AE于点F，FG∥AB，交BE于点G，若AE＝BD，DF＝5，GB＝，则BF＝____．

【答案】．
【分析】
过点D作DH⊥BC于点H，根据已知可得DH∥AE，由BD是中线，得到DH为△CEA中位线，从而由中位线性质可求得DH＝BD＝AE，，所以∠DBH＝30°，设BF＝x，则BD＝5＋x，AE＝5＋x，EF＝x，BE＝，由FG∥AB，得到，从而解出x的值．
【详解】
解：过点D作DH⊥BC于点H．

∵AE是高，∴DH∥AE，
∵BD是中线，即D为AC中点，∴H为BC中点，
∴DH为△CEA中位线，∴DH＝AE，
∵AE＝BD，∴DH＝BD，∴∠DBH＝30°，
设BF＝x，则BD＝5+x，AE＝5+x，∴EF＝x，BE＝．
∵FG∥AB，∴，∴．
整理得x2+6x﹣20＝0，解得x1＝，x2＝（舍去）．
∴BF＝．
故答案为：．

20、如图，在矩形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、AD上点，且∠FEG＝90°，EG＝6，GF与AC交于点M，若＝，则MF＝___．

【答案】
【解析】
【分析】由＝，设AB=3x，则BC=4x，设BE=3y，则CF=4y，根据条件可得△AEG∽△BFE，可得，再由AD∥BC，可得△AGM∽△CFM，由勾股定理可得EF=8，GF=10，由即可求解．
【详解】由＝，设AB=3x，则BC=4x，设BE=3y，则CF=4y
∵∠FEG=90゜，且四边形ABCD为矩形
∴∠AGE+∠AEG=90゜，∠AEG+∠BEF=90゜,∴∠AGE=∠BEF
∴Rt△AEG∽Rt△BFE,∴ ,即
∴，
∵EG=6,∴
∵∠GEF=90゜,∴由勾股定理得：
∵AD∥BC,∴△AGM∽△CFM,∴ ,∴
故答案为：．

三、解答题
21、已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE∥AC，＝．
（1）求证：DF∥BC；
（2）如果DF＝2，BE＝4，求的值．

【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）由DE∥AC可得=，结合条件得=，进而即可得到结论；
（2）先证明四边形DECF是平行四边形，再证明，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，
∴=，
又∵＝．
∴=，
∴DF∥BC；
（2）∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE=DF＝2，
∵BE＝4，∴BC=4+2=6，
∵DF∥BC，∴，∴=．

22、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．
（1）求证：CE•AD＝DE2；
（2）求证：．

证明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，
∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC，
∵∠AED＝∠B，∴∠C＝∠AED，∴△ADE∽△DEC，
∴，∴CE•AD＝DE2；
（2）∵△ADE∽△DEC，∴，
∴，∴

23、如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、．
求证：（1）；
（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由题意可得，，，即可证；
（2）由，可得，即可证，进而可证．
【详解】证明：（1）等腰和等腰，
，，
，，，
，，
，且，
∴
（2）∵
，且
∴，
,



24、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点E，过点E作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：△AME~△ABC；
（2）求证：；
（3）若AD=5，BC=7，求MN的长．

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）
【解析】
【分析】（1）利用相似三角形的判定定理直接证明即可
（2）利用平行线分线段成比例定理，再证明，，根据三角形相似的性质即可解答．
（3）结合（2）的结论将AD=5，BC=7，代入即可求得MN的长
【详解】（1）, ，
（2）∵,
,
, ,
E是MN的中点，ME=NE=
,,

,
（3）结合（2）的结论，
,,
,

25、如图，在平面直角坐标系中，已知点A、点B的坐标分别为（﹣1，0）和（5，0），点C在y轴的正半轴上，且CO＝4OA，CM是△ABC的中线．
（1）求直线CM的表达式；
（2）点Q是射线CM上一个动点，当△QMB与△COM相似时，求点Q的坐标．

【答案】（1）y＝−2x＋4；（2）（，−）或（5，−6）
【解析】
【分析】（1）根据点A、B的坐标和CO＝4OA可以推知点C的坐标，结合CM是△ABC的中线求得点M的坐标，利用待定系数法确定函数关系式；
（2）求出OM的长，再利用勾股定理列式求出CM，令y＝0，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，得到OB的长度，再求出BM，然后分：①∠BQM＝90°时，△COM△BQM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，过点Q作QD⊥x轴于D，解直角三角形求出BD、QD，然后求出OD，从而写出点Q的坐标；②∠MBQ＝90°时，△COM △QBM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，再写出点Q的坐标．
【详解】解：（1）∵点A的坐标分别为（−1，0），∴OA＝1．
又∵CO＝4OA，∴CO＝4，则C（0，4）．
又∵点B的坐标为（5，0），CM是△ABC的中线，∴M（2，0）．
设直线CM的表达式为y＝kx＋b（k≠0），则
，解得，则直线CM的表达式为：y＝−2x＋4；
（2）∵OM＝2，OC＝4，∴CM＝＝2，
∵点B的坐标为（5，0），∴OB＝5，∴BM＝OB−OM＝5−2＝3，
如图，①∠BQM＝90°时，△COM△BQM，
∴，即，解得BQ＝，
过点Q作QD⊥x轴于D，
则BD＝BQ•cos∠QBM＝×=，QD＝BQ•sin∠QBM＝×=，
∴OD＝OB−BD＝5−＝，∴点Q的坐标为（，−）；
②∠MBQ＝90°时，△COM△QBM，
∴，即，解得BQ＝6，
∴点Q的坐标为（5，−6）．
综上所述，点Q的坐标为（，−）或（5，−6）．


26、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且，连接并延长AF，分别交BE于点G，交BC的延长线于点H．
（1）求证：；
（2）连接EH，若，求证．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由“”可证，可得，由余角的性质可得结论；
（2）过点作于，可证四边形是矩形，可得，通过证明，可得结论．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴，，
在和中，，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴；
（2）如图，过点E作于M，

∵，，∴，
∵，，∴四边形ABME是矩形，∴，∴，
∵，∴，，∴，
∴，∴，∴．

27、已知：如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为边AD上一点（且不与A、D两点重合），联结BF交AC于点E，射线BF与射线CD交于点G，设AF＝x，S△EGC＝y．
（1）当BF⊥AC时，求AF的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）过点D作DH⊥BG，垂足为点H，当＝时，求S△EGC的值

【答案】（1）；（2）（0＜x＜6）；（3）27
【解析】
【分析】（1）证明△BAC∽△AFB，推出，可得结论．
（2）由题意S△ABE＝，证明△ABE∽△CGE，推出＝（ ）2，由此可得结论．
（3）过点D作DH⊥BG于H．证明△BAF∽△DHF，推出，由此构建方程求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∠BAF＝∠ABC＝90°，
∵AC⊥BF，∴∠AEF＝90°，
∴∠BAC＋∠EAF＝90°，∠EAF＋∠AFB＝90°，∴∠BAC＝∠AFB，
∴△BAC∽△AFB，∴，∴，∴AF＝；
（2）∵AF∥BC，∴，
∴S△ABE＝，
∵AB∥DG，∴，∴，∴DG＝，
∴CG＝CD＋DG＝，
∵AB∥CG，∴△ABE∽△CGE，∴＝（ ）2，
∴， ∴（0＜x＜6）；
（3）过点D作DH⊥BG于H．

∵＝，DC＝4∴DH＝，
∵∠BAF＝∠DHF＝90°，∠AFB＝∠DFH，∴△BAF∽△DHF，∴，
∴，解得x＝2或58（舍弃），经检验x＝2是方程的根，
∴S△GCE＝＝27．

28、如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜5
（1）用含t的代数式表示AP；
（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；
（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，求t的值．


【答案】（1）10-2t；（2）或；（3）或
【解析】
【分析】（1）作DH⊥AB于H，得矩形DHBC，则CD=BH=8cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的长，从而可得AP；
（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；
（3）分∠QMB=90゜和∠MQB=90゜两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t的值．
【详解】（1）如图，作DH⊥AB于H

则四边形DHBC矩形,∴CD=BH=8cm，DH=BC=6cm,∴AH=AB-BH=16-8=8(cm)
在Rt△ADH中，由勾股定理得
∵DP=2tcm,∴AP=AD-DP=(10-2t)cm
（2）①当△APQ∽△ADB时,则有 ,∴ ,解得：
②当△APQ∽△ABD时,则有 ,∴ ,解得：
综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；

（3）①当∠QMB=90゜时，△QMB为直角三角形
如图，过点P作PN⊥AB于N，DH⊥AB于H,∴∠PNQ=∠BHD
∵∠QMB=90゜∴∠PQN+∠DBH=90゜
∵∠PQN+∠QPN=90゜∴∠QPN=∠DBH
∴△PNQ∽△BHD∴ 即4QN=3PN
∵PN∥DH∴△APN∽△ADH
∴，
∴，
∴
由4QN=3PN得： ,解得：
②当∠MQB=90゜时，△QMB为直角三角形，如图

则PQ∥DH,∴△APQ∽△ADH,∴
∴,即 ,解得：
综上所述，当或时，△QMB是直角三角形．

29、如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点P为第一象限内抛物线上一点，射线OP与线段BC交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC，当∠OAC＋∠ODC＝180°时，求点P的坐标；
（3）过点B作BE⊥x轴交射线OP于点E，当BDE为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．

【答案】（1）；（2）(，)；（3）(，)，(，)
【分析】（1）先求出B，C坐标，代入得到方程组，故可求解；
（2）先得到OA＝2，OC＝OB＝，AB＝，根据∠OAC＋∠ODC＝180°，证明△BOD∽△BCA，得到，求出BD，作DF⊥x轴于点F，由等腰直角三角形的象征得到，故可得到D点坐标，故可求出直线OD解析式，联立即可求出P点坐标；
（3）设直线OP解析式为，表示出D（，），E（6，6p），根据勾股定理得到BD2=，DE2=，BE2=36p2，根据等腰三角形的性质分情况讨论，得到方程进行求解．
【详解】解：（1）∵直线与x轴y轴分别交点于B，C，
令x=0，y=6，∴C（，）
令y=0，=0，解得x=6,∴ B（，），
抛物线经过点 B，C
代入B（，），C（，）得 解得
∴抛物线的解析式为．
（2）由（1），知，
∴时，，解得，, ∴ A（，），
又B（，），C（，）， ∴OA＝2，OC＝OB＝，AB＝，
如图∵OC＝OB＝∴∠1＝45°，BC＝
∵∠OAC＋∠ODC＝180°，∠ODB＋∠ODC＝180°, ∴∠OAC＝∠ODB，又∠1＝∠1，
∴△BOD∽△BCA , ∴ ∴，∴，
作DF⊥x轴于点F，∴△BDF是等腰直角三角形
则，∴，D（，）

设直线OD解析式为，代入D（，）,则，∴, ∴直线OD解析式为，
令，解得，（舍去）
代入得，∴P（，）
（3）设直线OP解析式为，
当时，解得x=,∴D（，）
∵过点B作BE⊥x轴交射线OP于点E，∴E（6，6p）
∵B（6，0）, ∴BD2=，DE2=，BE2=36p2
①BD=DE时，则=
解得p=1或p=-1（舍）,∴D（，）
②BD=BE时，则=36p2
解得p=-1或p=--1（舍）,∴D（，）
③DE=BE时，则=36p2,解得p=0（舍）
综上，（，），（，）．