2023重庆市八中高三上学期高考适应性月考卷（三）数学试题含答案

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重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（三）

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.集合满足，则集合中的元素个数为（    ）

A.2    B.3    C.4    D.5
2.复数的虚部为（    ）

A.    B.    C.    D.

3.圆关于直线对称后的圆的方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

4.如图所示，平行四边形的对角线相交于点，若，则等于（    ）

A.1    B.    C.    D.

5.已知，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则椭圆的长轴长为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知数列满足，则（    ）

A.    B.    C.    D.

8.函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数.对，均有，则（    ）

A.575    B.598    C.621    D.624
二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小題给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知函数，曲线关于点中心对称，则（    ）

A.将该函数向左平移个单位得到一个奇函数

B.在上单调递增

C.在上只有一个极值点

D.曲线关于直线对称

10.等差数列的前项和为，若.则下列结论正确的有（    ）

A.

B.

C.数列是递减数列

D.使的的最大值为15

11.已知点为圆为圆心）上的动点，点为直线上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A.若直线平分圆的周长，则

B.点到直线的最大距离为

C.若圆上至少有三个点到直线的距离为，则

D.若，过点作圆的两条切线，切点为，当最小时，则直线的方程为

12.已知点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，若的最小值为1，点，则下列结论正确的是（    ）

A.抛物线的方程为

B.的最小值为

C.点在抛物线上，且满足，则

D.过作两条直线分别交抛物线（㫒于点）于两点，若点到距离均为，则直线的方程为

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）

13.已知函数的导数为，且满足，则__________.

14.重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是__________.

15.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针后得到点，向量为向量在向量上的投影向量，则__________.

16.记为等差数列的前项和，若，数列满足，当最大时，的值为__________.

四､解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

在①；②；，这三个条件中任选一个，补充

在下面的横线上，并加以解答.

已知的内角所对的边分别是，若__________.

（1）求角；

（2）若，且的面积为，求的周长.

18.（本小题满分12分）

已知数列和的前项和分别为，且.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，设数列的前项和为，证明：.

19.（本小题满分12分）

多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x，和年销售额y，的数据（i=1，2，…，12），该团队建立了两个函数模型：①②，其中均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图2

令，计算得如下数据：

（1）设和的相关系数为和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；

（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；

（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投人量是多少亿元？

附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

②参考数据：.

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，.

（1）求证：；

（2）若平面与平面所成的角为，求三棱锥的体积

21.（本小题满分12分）

已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线交于点.

（1）求的方程；

（2）设是与在第一鲧限的公共点，作直线与的两支分别交于点，便得.

（i）求证：直线过定点；

（ii）过作于.是否存在定点，使得为定值？如果有，请求出点的坐标；如果没韦，请说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若存在使，求的取值范围；

（2）若存在两个零点，证明：.

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重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（三）

数学

1-8DAACBCDC

9.BC    10.AC    11.ABD    12.ABD

13.    14.    15.    16.

19.（1）

则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好

（2）（i）先建立关于的线性回归方程.

由，得，即.

由于

所以关于的线性回归方程为，

所以，则.

（ii）下一年销售额需达到80亿元，即，代入得，，

又

所以