甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题（Word版附答案）

兰州一中2022­2023-1学期期中考试试题

高三数学（理）

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120

分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知集合，，，则(  )

A． B． C． D．

2．已知，，(i为虚数单位)，则(  )

A． B．1 C． D．3

3．已知是上的偶函数，是上的奇函数，它们的部分图像如图，则的图像大致是(  )

A．B．   C． D．

4．已知等差数列的前项和为，且，，则(  )

A． B． C． D．

5．已知x、y都是实数，那么“”的充分必要条件是(  )．

A． B． C． D．

6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为(  )

A． B． C． D．

7．设x，y满足约束条件，则的最小值为(  )

A． B． C． D．

8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则，，的大小关系为(  )

A． B． C．         D．

9．设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是(  )

A．                          B．为奇函数

C．在上为减函数 D．的一个周期为8

10．已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为(  )

A． B． C． D．

11．已知双曲线（）的左､右焦点分别为，，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P若的面积为，则该双曲线的离心率为(  )

A． B． C．3 D．

12．已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A．      B．    C．     D．

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用数字作答）

14．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．

15．已知是上的奇函数，是在上无零点的偶函数，，当时，，则使得的解集是________

16．已知，，且，则最小值为________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

（一）必考题：共五小题，每题12分，共60分。

17．已知函数.

（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；

（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域.

18．在中，，，分别为角，，的对边，且.

（1）求角；

（2）若的面积为，边上的高，求，.

19．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，(万元)；当年产量不小于万件时，（万元）.已知每件产品售价为元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)

（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(取).

20．已知函数.

（1）求曲线在点(1，)处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）已如函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围.

21．已知函数.

（1）若函数的图象在处的切线为，求的极值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分。

22．在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）已知点，直线交曲线于，两点，求的值.

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集为R，求的取值范围.

兰州一中2022­2023-1学期期中考试试题答案

高三数学（理）

参考答案：

BCCAB CCDCA BB

1．B

解：因为，，，所以

所以

故选：B

2．C

，

利用复数相等的充分必要条件可得：.

故选：C.

3．C

【详解】又是上的偶函数，是上的奇函数，

∴ ，，

∴

∴ 函数为奇函数，其图象关于原点对称，A,B错，

由图可得当时，，，

∴ ，D错，

故选：C.

4．A

【详解】因为，所以；

又因为，所以.

所以，解得.

故选：A

5．B

【详解】对于A，，故“”是“”的充分不必要条件，不符合题意；

对于B，，即“”是“”的充要条件，符合题意；

对于C，由得，或，，不能推出，由也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，不符合题意；

对于D，由，不能推出，由也不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要条件，不符合题意；

故选：B.

6．C

【详解】圆锥底面周长为，

所以圆锥的底面半径，圆锥的高，

所以圆锥的体积为，

由祖暅原理，该几何体的体积也为.

故选：C

7．C

【详解】作出可行域，如图所示，

目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，

转化为，令，则，

作出直线并平移使它经过可行域的点，经过时，

所以，解得，所以.

此时取得最小值，即．

故选：C.

8．D

【详解】依题意得，，

当时，，

因为，所以在上单调递增，

又在上单调递增，所以在上单调递增，

，即，

故选：D

9．C

【详解】由题设，，则关于对称，

所以，即，

则，即，

由，则关于对称，

所以，即，

综上，，则，

故，即易知的周期为8，D正确；

，A正确；

由，而为奇函数，故为奇函数，B正确；

由时递增，则时递增，显然C错误.

故选：C

10．A

【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，

即当时，函数的最小值为；

当时，，

要使得函数的最小值为，

则满足解得．

故选：A．

11．B

【详解】解：设过右焦点且与渐近线垂直的直线为l，

则直线l的方程为.

由，

得，，

即.

则的面积为，

∴，

∴，

∴.

故选：B

12．B

【详解】解：函数的定义域为，

且，所以为奇函数，

又与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，

若不等式对任意实数恒成立，

则，即对任意实数恒成立，

所以对于任意实数恒成立，

即任意实数恒成立，

因为函数在上单调递增，所以，则有最小值，

若对任意实数恒成立，所以．

即的取值范围为．

故选：B．

13．10

【详解】①丙选择一名男生和一名女生：.

②丙选择两名男子：.

所以不同的安排方法种数是：10种.

故答案为：10.

14．

【详解】解：因为，，所以，

因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，

所以且，

解得且，所以的取值范围为，

故答案为：

15．【详解】令，则，当时，，故在上单调递减，

又是奇函数，是偶函数，

故是奇函数，在上单调递减，

又，可得，

故在上小于0，由，得或，解得或.

故答案为：.

16．

【详解】解：因为，，且，即，

所以

，

当且仅当，即，、时取等号；

故答案为：

17．（Ⅰ）最小正周期，[]（k∈Z）．（Ⅱ）[0，3]．

【详解】（Ⅰ）函数1﹣cos（2x）．

所以函数的最小正周期为，

令（k∈Z），整理得（k∈Z），

所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）＝2cos（2x）+1的图象，

由于x∈，所以，故，所以0≤g（x）≤3，故函数的值域为[0，3]．

18．（1）；（2），.

【详解】解：（1）因为，所以，

所以，即.

由余弦定理可得，

因为，所以.

（2）由正弦定理可得.

因为的面积为，所以，解得.

由余弦定理可得，

则.

19．（1）；（2）当年产量万件时，年利润最大，最大年利润为万元.

【详解】（1）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元，

由题意可得，当时，；

当时，；

所以；

（2）由（1）可得，当，，

当且仅当时，等号成立；

当时，，则，

所以，当时，，即函数单调递增；当时， ，即函数单调递减；

所以当时，取得最大值；

综上，当时，取得最大值万元；

即当年产量为时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是万元.

20．（Ⅰ）；（Ⅱ）在（0，）递增，在递减；（Ⅲ）.

【详解】（Ⅰ）∵，定义域是，

∴，，，

故切线方程为，即；

（Ⅱ）由（Ⅰ），

令，解得，令，解得，

故在（0，）递增，在递减；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得的极大值是，

即的最大值是，

∵，∴，

令，解得或，

若，，不等式恒成立，

则时，恒成立，

①当即时，在上单调递增，

此时，令，得；

②当时，即时，在递减，在递增，

此时，

令，解得，不符合题意；

③当即时，在递减，

故，

令，解得，不符合题意

综上，实数的取值范围是．

21．（1）的极大值为，不存在极小值；（2）.

【详解】（1），

由题意可得：，解得：

此时函数，

函数的图象在处的切线为成立

所以，，

由可得，由可得，

所以在上单调递增，在 上单调递减.

所以的极大值为，不存在极小值.

由可得

分离可得：

令

令

所以在上单调递增

存在唯一的，使得

当时，，即，

当时，，即，

故在上单调递减，在上单调递增.

，

由于，得，

再对两边取对数可得：

所以，

所以

即实数的取值范围

【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法

22．（1）曲线的普通方程，的直角坐标方程（2）

【详解】(1)已知曲线:(为参数),

则曲线的普通方程,

直线的极坐标方程为,

则的直角坐标方程;

(2)直线的参数方程为(为参数)

代入曲线:,

化简得,

设,对应的参数分别为,,

则,,

所以.

【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查直线参数方程的应用,难度不大.

23．（1）；（2）

【分析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；

（2）由绝对值三角不等式可得，从而得或，进而可得解.

【详解】（1）当时，原不等式可化为

解得 所以不等式的解集为

（2）由题意可得, 当时取等号.

或， 即或

【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及绝对值三角不等式求最值，属于基础题.