高中数学湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合说课课件ppt

第2课时　表示集合的方法

知识点1　列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来表示集合的方法叫作列举法．

1．方程x2＝4的解集用列举法表示为(　　)

A．{(－2,2)} B．{－2,2}

C．{－2} D．{2}

B　[由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．]

知识点2　描述法

(1)定义：把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，叫作描述法．

(2)书写方法：通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件．

例如，所有偶数的集合表示为E＝{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．

1．(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？

(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？

[提示]　(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.

(2){x|x<5，x∈R}．

用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集，区分的关键是代表元素．如{x|x>3，x∈R}是数集，{(x，y)|y＝x＋1}是点集．

2.(1)用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　)

A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}

C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}

(2)用描述法表示不等式4x－5<7的解集为________．

(1)C　(2){x|x<3}　[(1)该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，选C．

(2)用描述法可表示为{x|x<3}．]

知识点3　区间及有关概念

(1)一般区间的表示

设a，b∈R，且a<b，规定如下：

(2)特殊区间的表示

2.(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？

(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？

[提示]　(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．

(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．

3.用区间表示下列集合：

(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；

(2){x|x>1}用区间表示为________．

(1)[10,100]　(2)(1，＋∞)　[结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]

类型1　用列举法表示集合

【例1】　用列举法表示下列给定的集合：

(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；

(2)小于8的质数组成的集合B；

(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；

(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．

[解]　(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．

(2)小于8的质数有2,3,5,7，

所以B＝{2,3,5,7}．

(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，

所以C＝.

(4)由得

所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，

所以D＝{(1,4)}．

用列举法表示集合的3个步骤

(1)求出集合的元素．

(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．

(3)用大括号括起来．

提醒：大括号“{　}”含有“所有”“全体”的含义，因此实数集R不能表示成{R}．

1．用列举法表示下列集合：

(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；

(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；

(3)方程组的解组成的集合B；

(4)15的正约数组成的集合N.

[解]　(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1,0,1,2，故A＝{－2，－1,0,1,2}．

(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，

∴M＝{2,3}．

(3)解得

∴B＝{(3,2)}．

(4)15的正约数有1,3,5,15，故N＝{1,3,5,15}．

类型2　用描述法表示集合

【例2】　用描述法表示下列集合：

(1)比1大又比10小的实数组成的集合；

(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；

(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．

[解]　(1){x∈R|1<x<10}．

(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．

(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．

描述法表示集合的2个步骤

提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．

2．用描述法表示下列集合：

(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；

(2)抛物线y＝x2－4上的点组成的集合；

(3)使函数y＝有意义的实数x组成的集合．

[解]　(1){(x，y)|x∈R，y＝0}．

(2){(x，y)|y＝x2－4}．

(3){x|x≠1}．

类型3　表示集合的方法的综合应用

【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．

明确集合A的含义，由此转化成代数问题，即方程解的个数问题.

[解]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；

(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．

综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．

1．本题因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程，而分为k＝0和k≠0两种情况进行讨论，从而做到不重不漏．

2．解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．

3．若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．(用集合表示)

　[当a＝0时，方程有实数解x＝－1，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝1－4a≤0，解得a≥.

故实数a的取值范围为.]

类型4　区间的应用

【例4】　把下列数集用区间表示：

(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；

(3){x|－1<x<1}．

[解]　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．

(2){x|x<0}＝(－∞，0)．

(3){x|－1<x<1}＝(－1,1)．

用区间表示数集的方法

(1)区间左端点值小于右端点值．

(2)区间两端点之间用“，”隔开．

(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．

(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．

4．已知区间(a2＋a＋1,7]，则实数a的取值范围是________．

(－3,2)　[由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，

解得－3<a<2，

所以实数a的取值范围是(－3,2)．]

1．集合{x∈N|x－3<2}的另一种表示法是(　　)

A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}

C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}

A　[{x∈N|x－3<2}＝{x∈N|x<5}＝{0,1,2,3,4}．故选A．]

2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　)

A．{x|－3<x<11，x∈Z}

B．{x|－3<x<11}

C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N}

D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}

D　[由题意可知，满足题设条件的只有选项D，故选D．]

3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　)

A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}

C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}

D　[由得∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．]

4．大于－2小于3的整数用列举法表示为________；用描述法表示为________．

{－1,0,1,2}　{x|－2<x<3，且x∈Z}　[大于－2小于3的整数为－1,0,1,2，故用列举法表示为{－1,0,1,2}，用描述法表示为{x|－2<x<3，且x∈Z}．]

5．用区间表示下列数集：

(1){x|x≥1}＝________；

(2){x|2<x≤4}＝________.

[答案]　(1)[1，＋∞)　(2)(2,4]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？

[提示]　列举法和描述法．

2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含义有什么不同？

[提示]　(1)前两个集合为数集，后一个集合为点集；

(2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自变量x的取值组成的集合；

{y|y＝x＋1，x∈R}表示因变量y的取值组成的集合；

{(x，y)|y＝x＋1}表示函数y＝x＋1上的点(x，y)组成的集合．

3．区间可以表示任何集合吗？区间[a，b]中a，b满足什么条件？

[提示]　区间不能表示所有集合；区间[a，b]中a，b满足a，b∈R且a<b.