高中数学湘教版（2019）必修 第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式2.1 相等关系与不等关系教案配套ppt课件

第2课时　不等式的性质

知识点　不等式的基本性质

性质1：(对称性)a>b⇔b<a.

性质2：(传递性)a>b，b>c⇒a>c.

性质3：(可加性)a>b⇒a＋c>b＋c.

推论1：a＋b>c⇒a>c－b.

推论2：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.

性质4：(可乘性)a>b，c>0⇒ac>bc.

a>b，c<0⇒ac<bc.

推论3：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.

推论4：a>b>0⇒an>bn(n∈N＋)．

性质5：(开方法则)a>b>0⇒>(n∈N＋)．

性质6：a>b且ab>0⇒<.

a>b且ab<0⇒>.

(1)在性质2中，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递；

(2)在性质4中，要特别注意“乘数c”的符号；

(3)在推论3中，不但要求两个不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否则结论不一定成立；

(4)在推论4中，若忽略n∈N＋，则有可能得出错误的结论．

1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？

[提示]　a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立．

2.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？

[提示]　不一定．如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2.

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立． (　　)

(2)同向不等式具有可加性和可乘性． (　　)

(3)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数． (　　)

(4)当x>－3时，一定有<－.  (　　)

(5)若a>b，则<.(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×

2.若a>b，则下列各式正确的是(　　)

A．a－2>b－2　　　 B．2－a>2－b

C．－2a>－2b D．a2>b2

A　[∵a>b，∴a－2>b－2，故选A．]

类型1　利用不等式性质判断命题真假

【例1】　对于实数a，b，c，下列命题中为真命题的是(　　)

A．若a＞b，则ac2＞bc2

B．若a＞b＞0，则＞

C．若a＜b＜0，则＞

D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0

D　[法一：∵c2≥0，

∴c＝0时，

有ac2＝bc2，故A为假命题；

由a＞b＞0，有ab＞0⇒＞⇒＞，

故B为假命题；

⇒＞，

故C为假命题；

⇒ab＜0.

∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．

法二：特殊值排除法．

取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．

取a＝2，b＝1，则＝，＝1，有＜，故B错．

取a＝－2，b＝－1，

则＝，＝2，有＜，故C错．]

利用不等式性质判断命题真假的注意点

(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．

(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

1．(多选题)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　)

A．|a|>|b|　　　　 B．b<a

C．a＋b<ab D．a2<b2

BCD　[∵<<0，∴b<a<0.

∴|b|>|a|，a＋b<ab，a2<b2.

故选BCD．]

类型2　利用不等式性质证明简单不等式

【例2】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.

[证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.

又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.

∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.

两边同乘以，

得＜.

又e＜0，∴＞.

利用不等式的性质证明不等式的注意事项

(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．

(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．

2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.

[证明]　∵a>b，c>0，

∴ac>bc.

又∵e>f，

∴e＋ac>f＋bc，

∴e－bc>f－ac，即f－ac<e－bc.

类型3　不等式性质的应用

【例3】　已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．

结合字母a，b的组合形式，思考应用不等式基本性质的哪一条解决问题.

[解]　因为1＜a＜4,2＜b＜8，

所以－8＜－b＜－2.

所以1－8＜a－b＜4－2，

即－7＜a－b＜2.

又因为＜＜，

所以＜＜＝2，

即＜＜2.

求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.

3．已知－2<a≤3,1≤b<2，试求下列代数式的取值范围．

(1)a＋b；

(2)2a－3b.

[解]　(1)－1<a＋b<5.

(2)由－2<a≤3得－4<2a≤6，  ①

由1≤b<2得－6<－3b≤－3，  ②

由①＋②得，－10<2a－3b≤3.

1．(多选题)若a＞b，c＞d，则下列不等关系中一定成立的是(　　)

A．a＋c＞b＋d B．a＋d＞b＋c

C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d

[答案]　ACD

2．与a>b等价的不等式是(　　)

A．|a|>|b| B．a2>b2

C．>1 D．a3>b3

D　[可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D．]

3．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2

C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax

B　[∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.故选B．]

4．设x>1，－1<y<0，试将x，y，－y按从大到小的顺序排列如下：________.

x>－y>y　[∵－1<y<0，∴0<－y<1，

∴x>－y>y.]

5．已知60<x<84,28<y<33，则x－y的取值范围为________，的取值范围为________．

{x－y|27<x－y<56}　　[∵28<y<33，∴－33<－y<－28.又∵60<x<84，∴27<x－y<56.

由28<y<33，得<<，即<<3.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．等式的性质有哪些？

[提示]　(1)如果a＝b，那么b＝a.

(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.

(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.

(4)如果a＝b，那么ac＝bc.

(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.

2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？

[提示]　不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相除，在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘．

3．对不等式变形时，要注意什么？

[提示]　对不等式的每一次变形，都要有相应的性质为依据，否则，变形就是错误的．