高中数学湘教版（2019）必修 第一册第3章 函数的概念与性质3.1 函数课前预习ppt课件

第2课时　函数的概念(二)

知识点1　同一个函数

两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对于每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等．也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数．

定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．

1．给出下列两组函数，其中表示同一函数的是________．(填序号)

①f(x)＝x，g(x)＝；

②f(x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1．

[答案]　②

知识点2　常见函数的值域

2.函数f(x)＝x2＋1的值域为________．

[1，＋∞)　[∵f(x)＝x2＋1≥1，∴f(x)的值域为[1，＋∞)．]

类型1　同一个函数的判断

【例1】　(多选题)下列各组函数是同一个函数的是(　　)

A．f(x)＝与g(x)＝x

B．f(x)＝x与g(x)＝

C．f(x)＝x0与g(x)＝

D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1

CD　[对于A，f(x)＝＝－x与g(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一个函数．

对于B，g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一个函数．

对于C，f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一个函数．

对于D，f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一个函数．故选CD．]

同一个函数的判断应注意的3点

(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．

(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．

(3)在化简解析式时，必须是等价变形．

1．下列各组函数：

①f(x)＝，g(x)＝x－1；

②f(x)＝，g(x)＝；

③f(x)＝·，g(x)＝；

④f(x)＝，g(x)＝x＋3；

⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．

其中表示同一个函数的是________．(填上所有正确的序号)

③⑤　[①不是同一个函数，定义域不同，

f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R.

②不是同一个函数，对应关系不同，

f(x)＝，g(x)＝.

③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．

④不是同一个函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.

⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．]

类型2　求函数的值域

【例2】　求下列函数的值域：

(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；

(2)y＝＋1；

(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]；

(4)y＝.

结合不同的函数类型及函数的图象特征，思考选用哪种方式求最值.

[解]　(1)∵y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，

∴y∈{3,5,7,9,11}．

∴函数的值域为{3,5,7,9,11}．

(2)∵≥0，∴＋1≥1．∴函数的值域为[1，＋∞)．

(3)配方得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5]，画函数图象如图所示，由图知，2≤y≤11，即函数的值域为[2,11]．

(4)∵y＝＝＝3＋≠3，

∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．

求函数值域的方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．

(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．

(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．

(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．

2．求下列函数的值域：

(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；

(2)y＝x＋.

[解]　(1)∵x∈[－5，－2]在对称轴x＝－1的左侧，

∴x∈[－5，－2]时，抛物线上升．

∴当x＝－5时，ymin＝－12，当x＝－2时，ymax＝3.

∴y＝－x2－2x＋3的值域是[－12,3]．

(2)法一：设u＝，则u≥0，∴x＝.

∴y＝＋u＝(u＋1)2.

∵u≥0，∴y≥，

∴y＝x＋的值域为.

法二：∵2x－1≥0，

∴x≥.

而当x增大时y也增大，∴y≥，

∴y＝x＋的值域为.

1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．(－1,1) B．[0,1]

C．{1} D．[－1,1]

C　[要使函数有意义，则有，解得1≤x≤1，即x＝1．故函数f(x)的定义域为{1}，故选C．]

2．下列函数中，与函数y＝x是同一个函数的是(　　)

A．y＝()2 B．y＝

C．y＝|x| D．y＝

D　[函数y＝x的定义域为R；y＝()2的定义域为[0，＋∞)；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝＝x，且定义域为R.故选D．]

3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(　　)

A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}

C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}

A　[当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}．]

4．将函数y＝的定义域用区间表示为________．

(－∞，0)∪(0,1]　[由

解得x≤1且x≠0，

用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]

5．函数f(x)＝的值域为________．

(－∞，－3)∪(－3，＋∞)　[f(x)＝＝＝－3＋≠－3，

∴函数的值域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞)．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．如何判断两个函数是否是同一个函数？

[提示]　判定两个函数是否是同一个函数时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．

2．求函数值域的常用方法有哪些？

[提示]　(1)观察法； (2)配方法；(3)分离常数法；(4)换元法．