必修 第一册4.4 函数与方程课文内容ppt课件

课后素养落实(三十四)　方程的根与函数的零点

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：

则函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有(　　)

A．1个 B．2个　　　

C．3个　　　 D．4个

B　[结合题意可知f(1)·f(2)<0，f(4)·f(5)<0，故f(x)在[1,6]上至少有2个零点．]

2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)

A．(1，＋∞) B．

C． D．

B　[由f(x)＝2x－，得

f＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，

∴f·f(1)<0.

∴零点所在区间为.]

3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)

A．，0 B．－2,0

C． D．0

D　[当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D．]

4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点(　　)

A．至多有一个 B．有一个或两个

C．有且仅有一个 D．一个也没有

C　[若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．]

5．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(b，c)和(c，＋∞)内 B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(a，b)和(b，c)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

C　[∵a<b<c，

∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，

f(b)＝(b－c)(b－a)<0，

f(c)＝(c－a)(c－b)>0，

∴f(x)的零点分别位于(a，b)和(b，c)内．]

二、填空题

6．函数f(x)＝的零点是________．

1　[令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1．]

7．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.

2　[令f(x)＝ln x＋x－4，

且f(x)在(0，＋∞)上递增，

∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0，

∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.]

8．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2－2x(x≥0)，则函数f(x)的零点有________个．

3　[当x≥0时，由f(x)＝0得x＝0或x＝2；

又f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝0.

故f(x)在R上的零点有3个．]

三、解答题

9．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．

[解]　法一(图象法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．

在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．

由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，

即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．

法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，

f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，

∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，

又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．

10．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．

(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；

(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．

[解]　(1)－1和－3是函数f(x)的两个零点，故－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根．

则

解得k＝－2.

(2)函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根．

∴

则－4≤k≤－，且α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k2－10k－6在－4≤k≤－上单调递减，∴α2＋β2在区间上的最大值是18，最小值是.

1．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是(　　)

A．a>0 B．a≤0

C．a≥0 D．a<0

B　[由题意可知方程x2＋a＝0有解，∴a≤0，故选B．]

2．函数f(x)＝|x2－4x|－a恰好有四个不同零点，则a的值可以是(　　)

A．a>4 B．4

C．0<a<4 D．0

C　[由|x2－4x|－a＝0得

得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.]

3．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．

a＜b＜c　[画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，

观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.]

4．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.

(1)若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的零点为________；

(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，则b的取值范围为________．

(1)1和3　(2)(4，＋∞)　[(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.

(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．

需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.

故b的取值范围为(4，＋∞)．]

关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时：

(1)方程有一个正解和一个负解；

(2)方程的两个解都大于1．

[解]　令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1．

(1)当方程有一个正解和一个负解时，f(x)对应的草图可能如图①，②所示．

图①　　　　　　　　　图②

因此f(x)＝0有一个正解和一个负解等价于或解得0<a<1．

所以当0<a<1时，方程有一个正解和一个负解．

(2)当方程的两个解都大于1时，f(x)对应的草图可能如图③，④所示．

图③　　　　　　　　图④

因此f(x)＝0的两个解都大于1等价于或解得a∈∅.

所以不存在实数a使方程的两个解都大于1．