2021学年第5章 三角函数5.4 函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质背景图ppt课件

5.4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质

第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

知识点1　A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响

(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响

(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？

[提示]　∵y＝sin(ωx＋φ)＝sin ω，∴由y＝sin ωx的图象向左(右)平移个单位．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝sin 3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y＝sin.                             (　　)

(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x.                            (　　)

(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin x．                            (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2.把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　)

A．y＝sin x－　　 B．y＝sin x＋

C．y＝sin D．y＝sin

D　[根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin的图象．]

知识点2　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义

3.函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)

A．3π，， B．6π，，

C．3π，3，－ D．6π，3，

B　[y＝sin的周期T＝＝6π，振幅为，初相为.]

4.函数y＝3sin的频率为________，相位为________，初相为________．

　x－　－　[频率为＝，

相位为x－，初相为－.]

类型1　平移变换

【例1】　(1)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　　)

A．y＝sin＋2 B．y＝sin－2

C．y＝sin－2 D．y＝sin＋2

(2)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

(1)D　(2)B　[(1)向左平移个单位长度得y＝sin，再向上平移2个单位长度得y＝sin＋2，故选D．

(2)由y＝sin＝sin4得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B．]

在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点：

1平移之前应先将函数解析式化为同名的函数.

2弄清楚平移的方向，即平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象要清楚.

3左右平移的单位数是针对单一自变量x而言的，不是ωx＋φ中的φ，而是 .

1．为了得到y＝sin的图象，只需将函数y＝cos x的图象向右平移__________个单位长度．

　[y＝sin＝cos＝cos＝cos，

只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即得到y＝sin.]

类型2　振幅变换与伸缩变换

【例2】　已知函数y＝sin＋，该函数的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？(至少用两种不同的方法)

先由y＝sin x平移得到y＝sin，再伸缩得到y＝sin与先伸缩得到y＝sin 2x，再平移得到y＝sin，两次平移的量是否相同？

[解]　法一(先平移后伸缩)：

①把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；

②把函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；

③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；

④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．

法二(先伸缩后平移)：

①把函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象；

②把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；

③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；

④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．

三角函数图象伸缩变换的方法

法一：y＝A1sin ω1xy＝A2sin ω1xy＝A2sin ω2x.

法二：y＝A1sin ω1xy＝A1sin ω2xy＝A2sin ω2x.

2．把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，则f(x)的解析式是(　　)

A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝3sin x

C．f(x)＝3cos x＋3 D．f(x)＝sin 3x

A　[y＝2siny＝3sin

＝3sin＝3cos x．]

类型3　简谐振动模型

【例3】　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．

(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？

(3)经过多长时间小球往复振动一次？

[解]　列表如下：

描点、连线，图象如图所示．

(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.

(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.

在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asinωx＋φ表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.

3．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：

(1)开始时电压；

(2)电压值重复出现一次的时间间隔；

(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．

[解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110 V.

(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.

(3)电压的最大值为220 V，当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．

1．要得到y＝tan x的图象，只需把y＝tan的图象(　　)

A．向左平移个单位　 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

[答案]　D

2．若函数 y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝f(x)的图象，则(　　)

A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝sin 2x

C．f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝－sin 2x

A　[依题意得f(x)＝sin ＝sin＝cos 2x.故选A．]

3．(多选题)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　)

A．该质点的运动周期为0.8 s

B．该质点的振幅为－5 cm

C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大

D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零

AD　[由图可知T＝0.6，∴T＝0.8.振幅A＝5 cm，当t＝0.1 s或0.5 s时，v＝0.故选AD．]

4．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．

　[函数y＝cos xy＝cosx.所以ω＝.]

5．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．

　　[y＝3sin xy＝3sin

y＝3sin，

y＝3sin xy＝3sin

y＝3sin＝3sin.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．你能描述一下由y＝sin x的图象，通过图象变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的变换途径吗？

[提示]　(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．

(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．

2．上述两种途径的变换顺序不同，其中变换的量又分别是多少？

[提示]　若先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位；若先周期变换后相位变换，平移个单位．