2022-2023学年河南省豫西名校高二上学期开学考试数学试题含解析

2022-2023学年河南省豫西名校高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据交集的定义，可得答案.

【详解】．

故选：D.

2．（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的运算法则，准确化简，即可求解.

【详解】由向量的运算法则，可得

．

故选：A.

3．（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据诱导公式、差角的正弦公式求解.

【详解】

．故A，C，D错误.

故选：B.

4．若，则（       ）

A．5 B． C． D．13

【答案】C

【分析】利用复数的四则运算、共轭复数以及复数的模长公式求解.

【详解】因为，所以，

所以

，故A，B，D错误.

故选：C.

5．某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度y（单位：度）与昼夜温差x（单位：℃，）近似满足函数模型．当温差为30℃时，成熟后甜瓜的甜度约为（参考数据：）（       ）

A．14.4 B．14.6 C．14.8 D．15.1

【答案】C

【分析】根据题意，当时，结合对数的运算性质，即可求解.

【详解】由题意，当时，可得．

故选：C.

6．已知m，n为两条不同的直线，与为两个不同的平面，则下列说法错误的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】根据空间直线，平面，平行和垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可.

【详解】对于A, 若，根据线线平行性质定理，则.故A正确.

对于B，由线面垂直的判定定理可得.故B正确.

对于C，根据平行的传递性可知，若，则，故C正确.

对于D，n与的位置关系不确定，D错误.

故选：D.

7．若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意转化为不等式在上有实数解，结合函数的单调性，求得，即可求解.

【详解】由不等式在上有实数解，

等价于不等式在上有实数解，

因为函数在上单调递减，在单调递增，

又由，

所以，所以，即实数的取值范围是.

故选：A.

8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，利用正弦定理求得，得到，再结合余弦定理，即可求解.

【详解】因为，由正弦定理得，

又因为，所以，可得，所以，

由余弦定理得，所以．

故选：A.

9．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识；为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷．这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下：

则下列说法错误的是（       ）

A．讲座后问卷答题的正确率的中位数为87.5%

B．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%

C．讲座后问卷答题的正确率的第75百分位数为95%

D．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后问卷答题的正确率的标准差

【答案】D

【分析】根据图表中的数据信息，集合中位数、众数、百分位数，以及数据的波动性，逐项判定，即可求解.

【详解】根据这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的图表，可得：

讲座后问卷答题的正确率的中位数为，A正确．

讲座后问卷答题的正确率的众数为85%，B正确．

讲座后问卷答题的正确率的第75百分位数为95%，C正确．

讲座前问卷答题正确率的数据波动大于讲座后问卷答题正确率的数据波动，故讲座前的标准差也应该大于讲座后的标准差，D错误．

故选：D.

10．在正方体中，E是棱BC的中点，F在棱上，且，O是正方形ABCD的中心，则异面直线与EF所成角的余弦值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取棱的中点，连接，，，，，易证四边形是平行四边形，则为异面直线与EF所成角，设，则可求出，，，利用余弦定理即可求出的余弦值.

【详解】如图，取棱的中点，连接，，，，．

由题意知：，，，，，

所以，，

所以四边形是平行四边形，则，，

故是异面直线与所成的角（或补角）．

设，则，，，

所以，，，

故．

故选：A.

11．已知奇函数的定义域为，，当时，，则（       ）

A．-3 B．3 C．-2 D．2

【答案】D

【分析】利用赋值法以及奇函数的性质、函数的周期性进行求解.

【详解】因为，所以，即，

又当时，，则，所以．

所以当时，，

因为是奇函数，所以，

又，所以，

所以，即，即函数的周期为6，

所以．故A，B，C错误.

故选：D.

12．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢3局者胜，分出胜负即停止比赛.已知前3局每局甲赢的概率为，之后每局甲赢的概率为，每局比赛没有平局，则打完第5局比赛结束的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得前3局甲赢2局，剩下2局乙赢，或前3局甲赢1局，第4局甲赢，剩下2局乙赢，再根据概率的乘法公式求解即可

【详解】打完第5局比赛结束，则前4局甲、乙两位同学各赢2局.分两种情况：

①前3局甲赢2局，剩下2局乙赢，概率为；

②前3局甲赢1局，第4局甲赢，剩下2局乙赢，概率为.

故打完第5局比赛结束的概率为.

故选：B

二、填空题

13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______．

【答案】15

【分析】利用正弦定理求解即可.

【详解】因为，，，

由正弦定理，得．

故答案为：15.

14．请写出一个能够说明“若复数，则”是假命题的复数：______．

【答案】i （答案不唯一，符合（，且）即可）．

【分析】利用复数的概念、运算进行求解判断.

【详解】若，（，且），则

，但，

故“若复数，则”是假命题.

故答案为：i（答案不唯一）.

15．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是______．

【答案】

【分析】设，则，，则可求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积，即可求出答案.

【详解】设，则，

因为，所以，

则圆柱的侧面积，

圆锥的侧面积，

故．

故答案为：.

16．将函数的图像向左平移个单位长度后得到偶函数的图像，则的最小值是______．

【答案】

【分析】利用三角函数的图像变换以及奇偶性的性质求解.

【详解】由题意，得，

因为为偶函数，所以，，

解得，，又，

所以当时，取得最小值．

故答案为：.

三、解答题

17．已知A，B，C三点的坐标分别为，，，是否存在实数m，使得A，B，C三点能构成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，请说明理由．

【答案】存在；m的取值集合为．

【分析】假设存在，再通过分类讨论以及利用平面向量处理垂直问题进行求解.

【详解】存在实数m，理由如下：

由题意，得，

，

．

若A为直角，则，得．

若B为直角，则，得．

若C为直角，则，

，所以方程无解．

故m的取值集合为．

18．某校为了保障体艺节顺利举办，从高一、高二两个年级的同学中挑选了志愿者60人，人数如下表所示：

(1)从所有志愿者中任意抽取一人，求抽到的这人是女同学的概率；

(2)用等比例分层随机抽样的方法从所有的女志愿者中按年级抽取六人，再从这六人中随机抽取两人接受记者采访，求这两人中恰有一人来自高一年级的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先确定高一高二的总人数与女同学的人数，再由古典概型的概率公式求解即可；

（2）先由分层抽样确定高一高二抽取的人数，再用列举法用古典概型的概率公式求解即可；

【详解】(1)高一年级志愿者有人，其中女同学12人，

高二年级志愿者有人，其中女同学24人.

故抽到的这人是女同学的概率.

(2)在高一年级中抽取的志愿者的人数为2，在高二年级中抽取的志愿者的人数为4.

记从高一年级中抽取的志愿者为a，b，从高二年级中抽取的志愿者为A，B，C，D，

样本空间，共15个样本点.

设事件“这两人中恰有一人来自高一年级”，则，共8个样本点.

故所求概率为.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，E为AP的中点．

(1)证明：平面PBC．

(2)求四棱锥外接球的表面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设BP的中点为F，连接EF，CF．证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面PBC；

（2）作，垂足为G，作于点H，垂足为H，设AB的中点为O，连接EO，BE，CO，DO，求得，且，得到外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.

【详解】(1)证明；如图所示，设BP的中点为F，连接EF，CF．

∵E为AP的中点，∴，且，

∴，且，

∴四边形CDEF为平行四边形，∴，

∵平面PBC，平面PBC，

∴平面PBC．

(2)解：作，垂足为G，作于点H，垂足为H，

设AB的中点为O，连接EO，BE，CO，DO，

∵，，∴，∴，且，

∴四边形DCGH为平行四边形，∴，

∴，∴，

同理可得，

∵E为AP的中点，∴，∴，

∴四棱锥外接球的球心为O，半径为2，

∴四棱锥外接球的表面积为．

20．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)若，求周长的最小值；

(2)若，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意结合正弦定理求得，再由，结合基本不等式，求得的最小值，即可求解；

（2）由余弦定理和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.

【详解】(1)解：因为，由正弦定理得，解得，

又因为，则，

当且仅当，即时，等号成立，

所以周长的最小值为．

(2)解：由余弦定理，可得，即，

当且仅当时，等号成立，所以．

故面积的最大值为．

21．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，分别是棱，的中点．

(1)证明：平面平面．

(2)若，，求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，先证明平面，再证明即可证得结果；

（2）连接，，作，垂足为，证明平面，进而根据等体积法求解即可.

【详解】(1)证明：连接．因为四边形是菱形，所以．

由直四棱柱的定义可知平面，平面，

所以．

因为平面，平面，且，

所以平面．

由直四棱柱的定义可知，．

因为分别是棱，的中点，

所以，，

所以四边形是平行四边形，则．

所以平面．

因为平面，

所以平面平面.

(2)解：连接，，作，垂足为，

因为平面，平面，

所以，

因为平面，平面，，

所以平面．

因为，，所以．

因为的面积，

所以三棱锥的体积．

设点到平面的距离为 ，因为，所以，，所以的面积．

则三棱锥的体积．

因为，所以，解得．

所以点到平面的距离为

22．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个50元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个100元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面的柱状图．以这50台这种机器更换的易损零件数对应的频率代替每台机器更换的易损零件数对应的概率，记x表示2台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

(1)若，求y与x的函数解析式；

(2)求这2台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于22的概率；

(3)假设这50台机器在购机的同时每台都购买10个易损零件，或每台都购买11个易损零件，或每台都购买12个易损零件，分别计算这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，如果该公司最终决定购买1台机器，试问该公司购买1台机器的同时应购买多少个易损零件？

【答案】(1)

(2)

(3)11个

【分析】（1）先得到x的取值可能为20，21，22，23，24，结合题意，得出函数解析式；

（2）求得每台机器更换的的易损零件数为10、11,12的概率，进而求得这2台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于22的概率；

（3）分别求得这50台机器在购机的同时每台都购买10个、11个和12个易损零件，所需费用的平均数，比较三个平均数可知，即可得到答案.

【详解】(1)解：由题意，得的取值可能为20，21，22，23，24，

当时，；

当时，．

所以.

(2)解：设事件“这2台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于22”，

由题意，得每台机器更换的的易损零件数为10的概率为，

每台机器更换的的易损零件数为11的概率为，

每台机器更换的的易损零件数为12的概率为，

所以．

(3)解：若这50台机器在购机的同时每台都购买10个易损零件，则这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为元．

若这50台机器在购机的同时每台都购买11个易损零件，则这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为元．

若这50台机器在购机的同时每台都购买12个易损零件，则这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为元．

比较三个平均数可知，该公司购买1台机器的同时应购买11个易损零件．