高三数学一轮复习讲义

2018届高三第一轮复习讲义【1】-集合及其运算

【1】集合的有关概念

1. 集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.

注：在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性.

2. 集合与元素的关系用符号和表示.

3. 常用数集的表示符号：自然数集 N；正整数集Z+ 、N*；整数集Z；有理数集Q、实数集R.

4. 常用数的表示： 若为偶数，则 ；若为奇数，则；

若被3整除，则；若被3除余1，则.

注意：

周期数列:2,3,4,2,3,4,2,3,4……,写通项中会涉及项数的下标都为正整数，所以需要注意对的限制与写法.通项公式，；

5. 集合的表示法：列举法 ， 描述法 ，图示法.

【注意】区分集合中元素的形式：

如：；；；；；

.

6. 空集是指不含任何元素的集合.（、和的区别；0与三者间的关系）

注：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

【2】集合间的关系及其运算

1. 子集的定义：若集合的任何元素都是集合的元素，则称集合是集合的子集，

用符号表示为或.

2. 真子集的定义：若集合是集合的子集，并且中至少一个元素不属于，则称集合是集合的真子集.集合是集合的真子集，用符号表示为.

3. {| 且}；{| 或}；

={| }.

4. 对于任意集合,则：

①=；=；；

② =; =；

③();= .

【注意】：

情况1：符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中体现点与直线（平面）的关系 ； 符号“，”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中体现的是面与直线(平面)的关系.

情况2：条件为时，要考虑到“极端”情况：或.

情况3：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况.

情况4： ，，再利用上面结论求解.

4．对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为.

两个有限集并集的元素个数公式：．

5．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空

集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.

   1. 用列举法表示集合为_________________________________.

   2. 用描述法表示平面直角坐标系中, 第一象限内所有点组成的集合为___________.

   3. 用符号“”或“”填空: 0______; 

     点______.

   4. 设全集为R, , , 则_______________.

   5.设集合, 集合, 若, 则_____________.

   6. 设集合, . 若, 则实数a的取值范围是_____.

例1、已知集合，又，求实数的值；若将条件“”改为“”，求的值.

【解法导析】：本例题主要考察集合元素的互异性，从解题方法来看，考察各元素所有可能的取值，同时利用元素的互异性进行检验.

【详解】：若，则，此时，不合题意；

若，则（舍去）或时，此时，满足题意。

综上述所述，。

将条件“”改为“”后，若，则无解；

若，则或，检验可知均满足题意；

若，则，检验可知均满足题意。

综上述所述，或或。

例2、（1）将下列集合用例举法表示：

①集合，②集合；

（2）已知集合有唯一元素，用列举法表示满足集合的条件的的取值集合。

【解法导析】：对于（1），集合的元素是，它满足函数关系式在及时的取值，也就是函数的值域；集合的元素是点的坐标，是满足函数关系式在及时对应的点集，前者是数，后者是形，昰集合研究的的两种重要对象。

对于（2），解题关键是将集合的符号语言转移成图形语言，利用函数的图像分析自变量与函数值的对应关系，解题过程中注意不要忽视元素的隐性限制条件。

【详解】：（1）∵，，∴，对应的随依次为，

集合表示函数在，条件下的值域，∴；

集合表示函数在，条件下的点集，

∴

（2）由集合中元素性质条件将转化为。

函数的图像挖去两点的抛物线。

可知当时，有唯一值；

又，故当时，有唯一值；

又，故当时，有唯一值。

因此满足集合的条件的的取值集合为。

例3、设集合，若，求的值及集合。

【解法导析】：两集合相等的问题，要考虑集合内元素的无序性和互异性，即哪一个元素与哪一个元素相等，都要考虑到。求解完毕后根据互异性要求必须加以检验。可见，数学概念是数学的核心，抓住了数学概念也就抓住了解题的根本。

【详解】：∵且，∴.

（1）若或，则，从而，这与集合中元素的互异性矛盾，∴且.

（2）若，则或，

当时，，这与集合中元素的互异性矛盾，∴

当时，，，

由，得……①，或……②，由①得，由②得.

∴，或，此时.

例4、（1）设，，且，求实数的值；

（2）集合，，求使成立的实数的取值范围.

【解法导析】：对于（1），讨论两个方程解集之间的关系，由，应对B可能的情况逐个加以讨论，排除不可能的取值；对于（2），讨论两个不等式解集之间的关系，B中不等式

左端因式分解后得，则必须对于2的大小关系进行分类讨论，再结合这一关系求出实数的取值范围.分类讨论是一种十分重要的数学思想方法求解，运用原则是：合理分类，不重复，不遗漏.

【详解】：（1）由已知得. ∵，∴或或或（列举所有可能情况，别忘记空集是任何集合的子集）.

①若，则且，解不等式得.

②，则，解方程得，代入原方程得：

，即，矛盾（必须检验，看是否与题设矛盾，是否与集合元素之特征矛盾），∴（舍去）.

③若，则，则，

∴.

④若，且，依次解方程得：且矛盾.

综上：，或；

（2）解法一：，当且仅当时.

（必须分类讨论2和的大小关系）.

①当即时，，∵，∴且，

∴且，∴；

②当时，，∴不可能；

③当时，即时，，∵，∴且，∴且，∴；

综上，所求实数的取值范围是或.

解法二：由解法一得：.

令，由题设，则方程的一个根位于中，另一个根位于中，∴，解得或，∴

的取值范围是.

    例5、求下列集合的交集.

（1）若, , 求.

（2）若, , 求.

（3）若, , 求.

【解法导析】：本题需要落实: (1)集合的表述法表示; (2)高中阶段常见的集合的类型及其差

异: 点集与数集; (3)点集及其交集的几何意义.

【详解】：（1）, 故.

（2）联立方程组消去y得: 解得或,

即.

（3）集合A表示中心在原点, 焦点在x轴上, 6为长轴长, 4为短轴长的椭圆;

集合B表示以原点为圆心, 1为半径的圆,

结合两条曲线知.

    例6、已知集合(a为实常数).

  （1）若集合A是空集, 求a的取值范围;

  （2）若集合A是单元集, 即其中仅含有一个元素, 求a的值, 并求出集合A；

【解法导析】：本题需要落实: (1)数集的分析——方程解集; (2)转化与讨论: 单元集方程有

且仅有一个实数解; 讨论: 关于方程种类产生的讨论.

【详解】：（1）即无解，

当时， 不合题意；

当时， ，

综上所述， ；

（2）解: 即仅有一个解，

当时，符合题意, 此时；

当时， , 此时，

综上所述， , 或, ；

例7、（1）已知全集为R，. 求；

（2）已知集合，若，求实数的取值范围；

（3）已知集合，且

，求，的值.

【解法导析】：第（1）问考查集合的表示、集合的运算、对数不等式及分式不等式的解法等数学基础知识和基本解题技能，解答时应通过求解不等式及得到集合A、B. 在进行集合运算时，通常借助数轴，可以直观地获得正确的结果. 解不等式时必须注意思维的严谨性. 解对数不等式应“抓住单调性，不忘定义域”，实现超越不等式向一般不等式的转化.

第（2）问关键是弄清集合的特征、性质，将问题中的“集合”外衣去掉，就转化成纯代数问题. 本小题的实质是方程有负根时求参数的取值范围，则可运用方程理论（判别式、韦达定理等）解之.

第（3）问在求解时一般先将参与运算的集合化简，再进行求解，关键是把看作是一个整体，该集合与集合C的交集为空间、并集为全集，因此该集合C是R的补集，进而求得集合C. 本题的最终目标是求，的值. 而从条件与结论的匹配关系来看，集合A、B、C的限制条件均为不等式，如何从中获得等量关系进而求出，的值呢？这就要从一元二次不等式、一元二次方程和二次函数这三者之间的关系入手，这是一种十分重要的思想方法. 要善于从数和形、等于不等、等价转化等角度去深刻理解这三者之间的联系.

【详解】：（1）由得，即，∴.

∴.

由得：，∴.

综上，得.

（2）由得，方程有负实数根.

①若（*）式有一个负实数根、一个正实数根（或一个根为0），则令

，得；

②若（*）式有两个负实数根，则，得；

综上，.

（3）∵.

由，，得.

又∵，故，是方程的两根.

由韦达定理可得：；

例8、已知集合，集合，若，求实数的值.

【解题导析】：本题的解法可以是：把集合A、B看作二元方程的解集，从而把转化为一个一元二次方程组无解的问题加以讨论，这是一种解题视角，若把A、B看作是坐标平面上的点集，把问题转化为解析几何中直线位置关系问题求解，这是解决这一问题的另一视角.从上面的分析可知，以同一问题观察的视角不同，即解题的出发点不同，解法自然也就不同，下面提供的是前一种解法，后一种解法的思路是：联立方程组：

，

第一步：验证时的情况；第二步：，求的值；

第三步：以代入求；综合上述三步得时的值.

【详解】：由，即方程组无解.

即方程组无解.

由①得，代入②并整理得.……③

当即时，方程③无解；

当时，，令，解得：或，故所求的值为.

例9、已知集合，集合.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

【解题导析】：本例涉及到方程和不等式的知识及化归思想，首先求出A和B，然后根据条件确定实数的取值范围.

【详解】：由，∴.

（1）若，则或，∴；

（2）若，则.

例10、已知集合，若，求实数的取值范围.

【解题导析】：本例若从正面解，显然需要对集合A中根的情况分类讨论，补集作为一种思想方法，给我们研究问题开辟了新的解题途径，可以使解题过程简化，所以在解题时“正难则反”是一种重要的策略，要有意识地区体会并运用. 在正向思维受阻时，改用逆向思维，可能会进入“柳暗花明又一村”的境地.

【详解】：若，方程无实根，则，解得，若方程的两根、均非负，

则.

∴时，实数的取值范围为，取补集：

易错典例1：设集合，，若，则的取值范围为________．

易错分析：忽视端点．

正确解析：由得，∴，由得，∴．

又当时，满足，时，也满足，∴.

温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．

易错典例2：设集合，若，则实数的取值范围是_______.

易错分析：遗忘空集．

正确解析：由，所以当时，满足，此时不等式无解，所以，当即时，，由可知，综上可知实数的取值范围是.[来源:学。科。网]

温馨提示：在中容易忽视集合这一情况，预防出现错误的方法是要注意分类讨论．

1．设集合，，则集合且

；

2．已知集合，，且，则实数的取值范围是     .

3．给出已知全集,集合,,

则集合=_______.

4. 下列六个等式：①；②；③；

④；⑤；⑥（其中

为全集的子集）.其中正确的有          个. 

5. 已知全集 ，则 ___   ___.

6. 如图，U为全集，M、P、S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 (    ).

7. 设，集合，；

若，求的值.

8. 全集，，如果则这样的实数是否存在？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

9. 定义集合的一种运算：,若

,则中的所有元素之和为            .

10. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数是         .

11. 已知集，求.

12. 若且，求的取值范围.

13. 已知，，且，

求．

14. 已知集合并说明它的意义；

【1】【知识回眸】

1. 交集的定义：

2. 并集的定义：

3. 交集与并集的性质：

， ， ，，，．

4. 全集与补集的概念及性质：

，，．

5. 重要结论：

, , , ．

【2】【方法规律技巧】

1. 集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。

2. 涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3. 有些集合是可以化简的，如果先化简再研究 其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．

【3】【数形结合思想】

数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：

(1)利用Venn图，直观地判断集合的包含或相等关系．

(2)利用Venn图，求解有限集合的交、并、补运算．

(3)借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．

   1. 设, , , __________.

   2. 设全集, , 则__________.

   3. 已知全集, 集合与的关系的文氏(Venn) 

     图如图所示, 则图中阴影部分所表示的集合的元素共有_______个.

   4. 设集合, , 则的子集的个数是___个.

   5. 已知, , 则_____________.

   6. 满足的集合A的个数是_____________.

   7. 下面四个命题中, 正确的是…………………………………………………………答 [    ]

A. 空集是任何集合的真子集                    B. 表示空集

C. 如果且, 那么B是A的真子集    D. 与不能同时成立

   8. 设集合, , 若, 则实数a,b必满足 …………………………………………………………………………………………答 [    ]

A.          B.

C.          D.

   9. 设集合, , 若, 求实数

     p的取值范围.

   10. 设集合(), , ,

     若, 求实数a的取值范围.

11. 设集合, , 若,

求实数a的取值范围.

12. 已知集合, , 满足, 求实数m的取值

范围.

    13.记函数的定义域为A, 的定义域为B.

(1) 求集合A;

(2) 若, 求实数a的取值范围.

【思考练习】

   14. 设集合S为复数集C的非空子集. 若对任意, 都有, 则称S为

    封闭集. 给出下列命题:

(1)集合(i为虚数单位)是封闭集;

(2)若S为封闭集, 则必有;

(3)封闭集一定是无限集;

(4)若S是封闭集, 则满足的任意集合T也是封闭集;

其中真命题的序号是__________________(写出所有真命题的序号).

   15. 对任意两个集合X和Y, 定义它们的“差集”为所有属于X但不属于Y的元素所组

成的集合, 定义X和Y的“对称差”为. 设

, , 求.

（一）基础检测：

1、；2、；3、；4、；

5、解: 由, 因此, 即得.

6、；

（二）课堂检测：

1.       2.      3.    4.    5.    6.

7.解：，由，

∵方程的判别式:,    ∴,

∴或或.

①若,则；

②若,则应有且,这两式不能同时

成立 ,    ∴；

③若,则应有且,

由这两式得.

经检验知和符合条件.

∴或.

8.解：假设这样的存在，  ∵  ∴，且.

易知，且，解之得，.

    当时，，符合题设条件.

  ∴存在实数满足.

9. 104    10. 12  

11、集合P、Q分别表示函数与在定义域R上的值域，所以，，.

12、集合A有可能是空集.当时，，此时成立；当时，，若，则，有.综上知，.

13、由已知得：①；②

；则，，

14、本题考查以有序实数对为为元素集合之间的运算，并关注这种类型的集合作为交集的集合意义．

求方程组的解，注意：已知两集合为以有序数对为元素的集合，所以交集的元素还是有序数对．

他可以看作是函数与函数的图像的交点的集合．

（三）课后练习

1、；2、；3、2个；4、4个；5、；6、7个；7、C；8、D；

9、解: 集合,

若, 符合题意;

若, 即方程仅有负数解(显然不可能有零解),

即, 即,

综上所述, .

10、解: 若, 则, 此时, 不合题意;

下讨论时的情形,

由函数在A上单调递增, 则其值域,

即或者或者,

由, 则有或者,

分别解不等式组得: 或者,

综上所述, a的取值范围是.

11、解: , 即,

,

由,

则上述不等, 即,

由, 则有,

综上所述, .

【评注】本题需要落实: (1)数集的分析——不等式的解集; (2)转化: .

12、解: 若,

若, 则, 综上所述, .

【评注】本题需要落实: 空集是任何集合的子集. 对于集合的情形, 而集合B不确定的情况下, 必须考虑集合的情形, 因为是任何集合的子集.

13、(1)解: 即,

即.

(2)解: 中的x需满足: ,

由, , 所以,

, 则或者或者,

结合可知, 实数a的取值范围是.

【评注】本题需要落实: 书写格式.

【思考练习】

14、解: (1)正确, 由整数集的封闭性以及复数的运算法则可知;

(2)正确, 由于, 则设, 由封闭集的定义, , 即;

(3)不正确, 反例: ;

(4)不正确, 反例: , 不是封闭集.

15、解: 集合A代表函数的值域, ,

集合B代表函数的值域, ,

则由差集的定义: , ,

则由对称差的定义: .