2021-2022学年吉林省实验中学高二下学期线上教学诊断检测数学试题含解析

2021-2022学年吉林省实验中学高二下学期线上教学诊断检测数学试题

一、单选题

1．下列求导错误的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算法则即可求出．

【详解】根据基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算法则可知，A，B，D求导正确，，C错误．

故选：C．

2．展开式的第3项的系数是（       ）

A．20 B．30 C． D．60

【答案】D

【分析】根据二项式展开式直接求解即可

【详解】因为展开式的第3项为，

所以展开式的第3项的系数是，

故选：D

3．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【详解】D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．

解：，

∴y′（0）=a﹣1=2，

∴a=3．

故答案选D．

【解析】利用导数研究曲线上某点切线方程．

4．函数的单调递减区间是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．

【详解】函数的定义域是（0，+∞），

y′=1﹣+= ，

令y′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

故函数在（0，1）递减，

故选B．

【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，是一道常规题．

5．4位男同学和5位女同学排成一排拍照，则这4位男同学排在一起的排法数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】相邻问题用“捆绑法”.

【详解】将4位男同学看作一个人，与5位女同学排成一排，则有种排法，再排4位男同学，有种排法，所以共有种排法.

故选：A.

6．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（       ）种．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先分类成两种情况：四人一组和两人一组以及三人一组和三人一组，然后根据计数原理求解即可.

【详解】由题意可以分为两种情况：

第一种：四人一组和两人一组，共有；

第二种：三人一组和三人一组，共有；

所以不同的方案一共有：.

故选：B.

7．若的展开式中各项系数的和为1，其中，，则该展开式中的常数项是（       ）

A． B． C．160 D．80

【答案】B

【分析】首先利用赋值，求，再利用二项展开式的通项公式求常数项；

【详解】令，则有，

可得或，又，，

∴，展开式的通项为，

令，得，

故展开式中的常数项为.

故选：B.

8．设函数是R上的可导函数，其导函数是，且恒成立，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可构造函数，即可利用其单调性和不等式性质判断各选项的真假．

【详解】设，函数定义域为R，，所以函数在R上递增，故，即，亦即．

故选：C．

二、多选题

9．对于关于下列排列组合数，结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答.

【详解】对于A，由组合数的性质知，成立，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，因，因此成立，C正确；

对于D，因，即不成立，D不正确.

故选：ABC

10．展开式中，下列说法正确的有(       )

A．二项式系数和

B．第2项是105

C．第8项与第9项的二项式系数相等

D．第9项的系数最小

【答案】AC

【分析】利用二项式定理展开式的性质逐项判断即可.

【详解】A：展开式二项式系数之和，故A正确；

B：二项式展开式的第二项为：，故B错误；

C：第8项二项式系数为，第9项二项式系数为，，故C正确；

D：二项展开式的通项为，当r取奇数时，系数为负数，当r=7或8时，二项式系数最大，故当r=7时，项的系数最小，此时为第8项，故D错误.

故选：AC.

11．已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是（       ）

A．的单调减区间是

B．的极小值是﹣6

C．过点只能作一条直线与的图象相切

D．有且只有一个零点

【答案】BCD

【分析】求出函数的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断ABD的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断C的真假．

【详解】因为，令，得或，

则在，上单调递增；

令，得，则在上单调递减．

所以极小值为，极大值为，而，

故存在唯一一个零点，A错误，B、D正确；

设过点的直线与的图象相切，切点为，

因为，，

所以切线方程为．

将代入，得．

令，则，

所以在，上单调递增，在上单调递减．

因为，，，

所以方程只有一解，即过点只能作一条直线与的图象相切，故C正确．

故选：BCD．

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，导数的几何意义的应用，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．

12．已知函数，（       ）

A．在处取得极大值

B．有两个不同的零点

C．

D．若在上恒成立，则

【答案】ACD

【分析】首先利用函数的求导求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值，再利用函数的零点和方程的根的关系式求出函数有两个零点，进一步利用函数的单调性和函数的值比较出函数的大小关系，最后利用函数的恒成立问题的应用求出最后结果．

【详解】解：易知函数的定义域为，

，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，A正确；

令，则，即，故只有一个零点，B错误；

显然，因此，易知，，

设，则，当时，，单调递减，而，所以，即，所以，所以，C正确；

令（），则，当时，，当时，，所以在处取得极大值也是最大值，因为在上恒成立，所以，D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．函数的最小值为______ .

【答案】

【解析】求导，判断函数的单调性，根据单调性即可求解.

【详解】，，

，

令，解得，

令，解得，

所以函数在上单调递减；在上单调递增，

所以.

故答案为：

14．若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼写方法有________种．

【答案】11

【分析】求出这四个字母排列的所有可能，减去正确的拼写种数，即可求出拼写错误的种数.

【详解】解：单词中含个字母，则其全排列为，但其中两个字母一样，

因此排列方法为，其中只有一种组合是正确，因此错误拼写方法有种，

故答案为:11.

【点睛】本题考查了排列数的计算，考查了排列的应用，属于基础题.

15．的展开式中项的系数是______.（用数字作答）

【答案】

【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】的展开式中项的系数为：

.

故答案为：

16．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解.

【详解】因为，

所以为奇函数，

因为，所以为上的增函数，

由得，则，

因为，所以．

令，则，令，得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故，所以，即，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．（1）计算：；

（2）已知，求的展开式中的系数.（用数字作答）

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据排列数和组合数公式即可求出；

（2）根据二项式系数的性质或者二项展开式的通项公式即可求出．

【详解】（1）；

（2）的展开式中的系数和为：

．

或者，所以的系数为．

18．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？

(1)4名男生互不相邻；

(2)若4名男生的身高都不相同，这4名男生从左到右按从高到低的顺序站（可相邻，也可不相邻）；

(3)老师不站中间，女生不站两端.

【答案】(1)144.

(2)210.

(3)2112.

【分析】（1）元素不相邻用“插空法”.

（2）顺序一定用“倍缩法”.

（3）有两个限制条件分类讨论求解.

【详解】(1)选站老师和女生，有站法种，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插入男生，每空一人，有插入方法种，共有不同站法：种

(2)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有种，所以，由高到低从左到右有不同站法：种

(3)中间和两侧是特殊位置，可如下分类求解：（1）老师站两侧之一，另一侧由男生站，有种站法；（2）两侧全由男生站，老师站除两侧和正中外的另外4个位置之一，有种站法，共有不同站法种

19．已知函数.

（1）若时，求在上的最大值和最小值；

（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.

【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）.

【解析】（1）利用导数求出函数在区间上的极值，并与和的值，由此可得出函数在区间上的最大值和最小值；

（2）由题意可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，求出函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，，

令，由于，则，列表如下：

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

当时，，

又，，则；

（2），，

由题意可知，对任意的恒成立，则，

函数在区间上为增函数，则，所以，，即.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.

20．已知的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和为32.

(1)求n的值及二项式系数最大的项；

(2)若，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据二项式系数的性质先求出，即可得到二项式系数最大的项；

（2）对等式赋值，，将得到的等式相加即可解出．

【详解】(1)因为奇数项的二项式系数之和为，所以，解得，所以二项式系数最大的项为．

(2)对，即

令得，①；

令得，②，①＋②得，．

21．已知.

(1)讨论的单调性；

(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.

【答案】(1) 时 ,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.

试题解析：

（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.

【解析】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.

22．已知函数．

(1)若是的极值点，求，并讨论的单调性；

(2)当时，证明：．

【答案】(1)m=1，时，递减，时，递增

(2)证明见解析

【分析】（1）根据极值点使得导函数为0求出m的值，并求出单调性；（2）利用隐零点求出函数最小值大于0，从而证明出结论.

【详解】(1)，

，

是的极值点，

，得；

当时，，递减，

当时，，递增；

综上：时，递减，时，递增

(2)当时，

，

，，

故在上有唯一实数根，且使得：．

当时，，

当时，，

从而当时，取得最小值，

，

．