高考数学二轮专题训练解题技巧思想导引3.5转化与化归课件

这是一份高考数学二轮专题训练解题技巧思想导引3.5转化与化归课件

第5讲　转化与化归 　　 一 　一般与特殊的相互转化【典例1】(1)在△ABC中,三边长a,b,c满足a+c=3b,则 的值为(　　) 【解析】选C.令a=4,c=5,b=3,则符合题意(取满足条件的三边).则由C=90°,得tan =1.由tan A= ,得 ,解得tan (负值舍去).所以 (2)过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF,FQ的长分别为p,q,则 =________. 【解析】不妨设PQ的斜率k=0,因为抛物线焦点坐标为 ,把直线方程y= 代入抛物线方程得x=± ,所以PF=FQ= ,即p=q= ,从而 =2a+2a=4a.答案:4a 【技法点拨】(1)一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果.(2)对于某些选择题、填空题,如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的量用特殊值代替,即可得到答案.【变式训练】1.设四边形ABCD为平行四边形, 若点M,N满足 则 =(　　)A.20　 B.15 C.9 　 D.6【解析】选C.(特例法)若四边形ABCD为矩形,建系如图.由 ,知M(6,3),N(4,4),所以 =(6,3), =(2,-1), =6×2+3×(-1)=9. 2.已知函数f(x)=(a-3)x-ax3在[-1,1]上的最小值为-3,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,-1] B.[12,+∞)C.[-1,12] D. 【解析】选D.当a=0时,函数f(x)=-3x,x∈[-1,1],显然满足条件,故排除A,B;(注意,对于特殊值的选取,越简单越好,0,1往往是首选.)当a=- 时,函数f(x)= ,f′(x)= (x2-1),当-1≤x≤1时,f′(x)≤0,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)= =-3,满足条件,故排除C.　　 二 　正与反的相互转化【典例2】(1)若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+ x2-2x在区间(t,3)上总不为单调函数,则实数m的取值范围是________. 【解析】由题意得g′(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立.由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4≥ -3x在x∈(t,3)上恒成立,所以m+4≥ -3t恒成立,则m+4≥-1,即m≥-5;由②得m+4≤ -3x在x∈(t,3)上恒成立,则m+4≤ -9,则m≤- .所以函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为- x2的区域内,则 ,整理得(2k+1)(6k2-2k+1)<0,解得k<- .因此当k<- 时,抛物线y=x2上存在两点关于直线y=k(x-3)对称,于是当k≥- 时,抛物线y=x2上不存在两点关于直线y=k(x-3)对称.所以实数k的取值范围为 .　　 三 　常量与变量的相互转化【典例3】已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是f(x)的导函数.对任意a∈[-1,1]都有g(x)<0,则实数x的取值范围为________. 【解析】由题意,知g(x)=3x2-ax+3a-5,令φ(a)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.因为对a∈[-1,1],恒有g(x)<0,即φ(a)<0,所以 即 解得- 4x+p-3成立的x的取值范围是________. 【解析】设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,则当x=1时,f(p)=0,所以x≠1.f(p)在0≤p≤4时恒为正等价于 即 解得x>3或x<-1.故x的取值范围为(-∞,-1)∪(3,+∞).答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)2.设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t∈[-2,2]时,y恒取正值,则x的取值范围是________. 【解析】设y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,则f(t)是一次函数,当t∈[-2,2]时,f(t)>0恒成立,则 即 解得log2x<-1或log2x>3.即08,故x的取值范围是 ∪(8,+∞).答案: ∪(8,+∞)　　 四　形、体位置关系的相互转化【典例4】如图所示,已知多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为________.  【解析】方法一:(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行,如图所示,过点C作CH⊥DG于H,连接EH,即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.由题意,知V三棱柱DEH-ABC=S△DEH·AD= ×2=2,V三棱柱BEF-CHG=S△BEF·DE= ×2=2.故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG=2+2=4.方法二:(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行,如图所示,将多面体补成棱长为2的正方体,显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半.又正方体的体积V正方体ABHI-DEKG=23=8,故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG= ×8=4. 答案:4 【技法点拨】形体位置关系的相互转化的技巧(1)分析特征,一般要分析形体特征,根据形体特征确定需要转化的对象.(2)位置转化,将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体.由于新的几何体是转化而来,一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析,准确理解新的几何体的特征.(3)得出结论,在新的几何结构中解决目标问题.【变式训练】1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,点D为侧棱BB1上的动点.当AD+DC1最小时,三棱锥D-ABC1的体积为________.  【解析】将平面AA1B1B沿着B1B旋转到与平面CC1B1B在同一平面上(点B在线段AC上),连接AC1与B1B相交于点D,此时AD+DC1最小,BD= CC1=1.因为在直三棱柱中,BC⊥AB,BC⊥BB1,且BB1∩AB=B,所以BC⊥平面AA1B1B,又CC1∥平面AA1B1B,所以 = =V三棱锥C-ABD= S△ABD·BC= × ×1×1×2= .答案: 2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1= ,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是________.  【解析】连接A1B,沿BC1将△CBC1展开,与△A1BC1在同一个平面内,如图,连接A1C,则A1C的长度就是所求的最小值.通过计算可得AB=A1B1= ,A1B= ,A1C1=6,BC1=2,所以∠A1C1B=90°,又∠BC1C=45°,所以∠A1C1C=135°.由余弦定理可求得A1C= .答案: