专题06 平面向量-备战2020年新高考数学新题型之【多选题】

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1．下列命题中不正确的是（ ）
A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线
C．若非零向量 与 共线，则
D．四边形ABCD是平行四边形，则必有
【答案】ABC
【解析】根据相等向量,相反向量,共线向量的概念逐一分析可得.
A中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A中命题不正确；
B中，向量与共线，只能说明、所在直线平行或在同一条直线上，所以B中命题不正确；
C中，向量 与 共线，说明 与方向相同或相反， 与不一定相等，所以C中命题不正确；
D中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以与是相反向量，所以，所以D中命题正确.
故选:ABC
2．已知单位向量、，则下面正确的式子是（ ）
A．B． C．D．
【答案】BD
【解析】根据单位向量的概念和性质，对四个选项进行判断，从而得到答案.
因为向量、为两个单位向量，
所以，当与的夹角不为时，不能得到，，故选项A、C错误；
因为向量、为两个单位向量，所以，所以，都成立，故选项B、D正确.
故选：BD
3．已知向量，，则下列叙述中，不正确是（ ）
A．存在实数x，使B．存在实数x，使
C．存在实数x，m，使D．存在实数x，m，使
【答案】ABC
【解析】对选项逐一利用向量平行的坐标表示进行验证，由此确定正确选项.
由，得，无实数解，故A中叙述错误；，由，得，即，无实数解，故B中叙述错误；，由，得，即，无实数解，故心中叙述错误；由，得，即，所以，，故D中叙述正确．
故选：ABC
4．已知向量，，若向量，则可使成立的可能是 （ ）
A．(1,0)B．(0,1)C．(−1,0)D．(0,−1)
【答案】AC
【解析】用表示出向量的坐标,利用平面向量基本定理求出,逐项判断是否满足题意.
若,则,解得,,满足题意;
若,则,解得,,不满足题意;
因为向量与向量共线,所以向量也满足题意.
故选:AC
5．若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】结合图形，根据向量的加法、减法及数乘运算一一判断。
如图，
在中，，故A正确；
，故B正确；
，，故C正确；
，故D不正确．
故选：ABC
6．已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是( )
A．且
B．存在相异实数，使
C．（其中实数满足）
D．已知梯形．其中
【答案】AB
【解析】利用向量共线的条件判断A的正误；
利用平面向量共线定理判断B的正误；
利用共线向量定理判断C的正误；
利用梯形形状判断D的正误；
对于A，向量是两个非零向量，且，
，此时能使共线，故A正确；
对于B，存在相异实数，使，要使非零向量是共线向量，由共线定理即可成立，故B正确；
对于C，（其中实数满足）如果则不能使共线，故C不正确；
对于D，已知梯形中， ，，如果是梯形的上下底，则正确，否则错误；
故选：AB
7．ΔABC中,AB=c，BC=a，CA=b,在下列命题中,是真命题的有( )
A．若a⋅b>0，则ΔABC为锐角三角形
B．若a⋅b=0.则ΔABC为直角三角形
C．若a⋅b=c⋅b,则ΔABC为等腰三角形
D．若(a+c-b)⋅(a+b-c)=0,则ΔABC为直角三角形
【答案】BCD
【解析】由平面向量数量积的运算及余弦定理，逐一检验即可得解．
如图所示，
ΔABC中，AB=c，BC=a，CA=b，
①若a·b>0，则∠BCA是钝角，ΔABC是钝角三角形，A错误；
②若a·b=0，则BC⊥CA，ΔABC为直角三角形，B正确；
③若a·b=c·b，b·(a-c)=0，CA·(BC-AB)=0，CA·(BC+BA)=0，取AC中点D，则CA·BD，所以BA=BC，即ΔABC为等腰三角形，C正确，
④若(a+c-b)·(a+b-c)=0，则a2=(c-b)2，即b2+c2-a2=2b·c，即b2+c2-a22|b||c|=-csA，
由余弦定理可得：csA=-csA，即csA=0，即A=π2，即ΔABC为直角三角形，即D正确，
综合①②③④可得：真命题的有BCD，
故选：B，C，D.
8．已知向量，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x+y时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题正确的是：（）
A．线段A、B的中点的广义坐标为（）；
B．A、B两点间的距离为；
C．向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1；
D．向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y1＝0
【答案】AC
【解析】运用向量的坐标，共线向量，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式可得．
根据题意得，由中点坐标公式知A正确；
只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误；
由向量平行的充要条件得C正确；
与垂直的充要条件为x1x2+y1y2＝0，因此D不正确；
故选：AC．
9．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若，则点在边的延长线上
C．若，则点是的重心
D．若，且，则的面积是的面积的
【答案】ACD
【解析】判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.
A中：,即：
,则点是边的中点
B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.
C.
设中点D,则,，由重心性质可知C成立.
D．且设
所以，可知三点共线，所以的面积是面积的
故选择ACD
10．定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ）
A．在方向上的投影为
B．
C．
D．若，则与平行
【答案】BD
【解析】本题首先根据投影的定义判断出是否正确，然后通过即可判断出是否正确，再然后通过取即可判断出是否正确，最后通过计算得出即可判断出是否正确并得出答案．
由向量投影的定义可知，A显然不成立；
，故B成立；
，当时不成立，故C不成立；
由，得，即两向量平行，故D成立．
综上所述，故选BD．