专题02 导数多选题（第一篇）-备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径【2020版】

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【针对训练】
1.【题源】已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】令，，
则，
因为，
所以在上恒成立，
因此函数在上单调递减，
因此，即，即，故A错；
又，所以，所以在上恒成立，
因为，所以，故B错；
又，所以，即，故C正确；
又，所以，即，故D正确；
故选：CD.
2.【题源】若函数有两个极值点则的值可以为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】AB
【解析】
因为函数有两个极值点
则与轴有两个交点，
即解得
故满足条件的有
故选：
3.【题源】设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是（ ）
A．在单调递增B．在单调递减
C．在上有极大值D．在上有极小值
【答案】ABC
【解析】由x2f′（x）+xf（x）＝lnx得x＞0，
则xf′（x）+f（x），
即[xf（x）]′，
设g（x）＝xf（x），
即g′（x）0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，
即在单调递增，在单调递减，
即当x＝1时，函数g（x）＝xf（x）取得极小值g（1）＝f（1），
故选：ABC．
4.【题源】已知函数的定义域为，则（ ）
A．为奇函数
B．在上单调递增
C．恰有4个极大值点
D．有且仅有4个极值点
【答案】 BD
【解析】因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，
，
当时，，则在上单调递增.
显然，令，得，
分别作出，在区间上的图象，
由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点.
故选：BD.
5.【题源】对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．若在上恒成立，则
【答案】 ACD
【解析】函数定义域为，,
当时，＞0，单调递增，当时，，单调递减，所以在时取得极大值，A正确；
，当时，，当时，，因此只有一个零点，B错误；
显然，因此，又，，
设，则， 时，，单调递减，而，∴，即，∴，
即，C正确；
令（），则，易知当时，，时，，在时取得极大值也是最大值，
∴在上恒成立，则，D正确．
故选：ACD．
6.【题源】定义在上的函数的导函数为,且对恒成立.下列结论正确的是（ ）
A．
B．若,则
C．
D．若,则
【答案】 CD
【解析】设函数，
则
因为,所以,
故在上单调递减,从而,整理得，
,故A错误,C正确.
当时,若,因为在上单调递减,所以
即,即.故D正确,从而B不正确.
即结论正确的是CD，
故选：CD.
7.【题源】若函数在上有最大值，则a的取值可能为（）
A．B．C．D．
【答案】 ABC
【解析】令，得，，
当时，；当或时，，
则的增区间为，减区间为，
从而在处取得极大值，
由，得，解得或，
又在上有最大值，
所以，即，
故选ABC.
8.【题源】设函数，若有4个零点，则的可能取值有（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】 BCD
【解析】因为函数定义域为，且，所以函数为偶函数，
故函数有4个零点等价于时， 有2个零点，
当时，，
则
当，当
由得，当时，，当时，，
如图：
所以有极小值，要使函数有个零点，只需即可，
即，
解得，
所以可取，故选BCD.
9.【题源】已知函数有两个零点，，且，则下列说法正确的是( )
A．B．
C．D．有极小值点，且
【答案】 ABD
【解析】由题意，函数，则，
当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数有两个零点且，
则，且，
所以，解得，所以A项正确；
又由，
取，则，
所以，所以，所以B正确；
由，则，但不能确定，所以C不正确；
由函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值点为，且，所以D正确；
故选ABD.
10.【题源】如下的四个命题中真命题的标号为（ ）
A．已知实数，，满足，，则
B．若，则的取值范围是
C．如果，，，那么
D．若，则不等式一定成立
【答案】 ABCD
【解析】对A，由，．再由①，②，得：，即．，，，故A正确；
对B，，，，故B正确；
对C，由，则，当时，，在上单调递减，，，，故C正确；
对D，要证不等式成立，等价于证明，，显然成立，故D正确.
故选：ABCD.
典 型 母 题
题源
2020·山东省淄博实验中学高三期末
试题
内容
关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则.
试题
解析
A.函数的 的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x），∴（0，2）上，f′（x）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴x＝2是f（x）的极小值点，即A错误；
B.y＝f（x）﹣xlnx﹣x，∴y′10，
函数在（0，+∞）上单调递减，且f（1）﹣1ln1﹣1=1>0，f（2）﹣2ln2﹣2= ln2﹣1<0，∴函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；
C.若f（x）＞kx，可得k，令g（x），则g′（x），
令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）＝﹣lnx，
∴在x∈（0，1）上，函数h（x）单调递增，x∈（1，+∞）上函数h（x）单调递减，
∴h（x）⩽h（1）＜0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；
D.令t∈（0，2），则2﹣t∈（0，2），2+t＞2，
令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）ln（2+t）ln（2﹣t）ln，
则g′（t）0，
∴g（t）在（0，2）上单调递减，
则g（t）＜g（0）＝0，
令x1＝2﹣t，
由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，
则x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，
当x2≥4时，x1+x2＞4显然成立，
∴对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4，故D正确
故正确的是BD，
故选：BD．
试题
点评
本题通过考查命题真假的判断，考查函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
方法
归纳
解决导函数有关的选择题，一般就是通过导函数考查函数性质的运用，通过求函数的导函数，判断导函数的正负，进而得到函数的单调性、极值，可得函数图象的草图、最值等。对于不等式的恒成立或有解问题，可构造函数，求函数的导函数，进而得函数的单调性，进而求值，即可求得结果。解决导函数选择题的方法一般有： 顺推破解法， 构造函数法，特值检验法， 正难则反法，逐项验证法。