_天津市滨海新区第四共同体2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份_天津市滨海新区第四共同体2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了下列图形中，是中心对称图形的是，一元二次方程x，二次函数y＝等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．一元二次方程x（x+2）＝0的解为（ ）
A．x＝0B．x＝﹣2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
3．用配方法解方程x2+2x＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+1）2＝0B．（x+1）2＝1C．（x+2）2＝4D．（x+2）2＝0
4．把抛物线y＝﹣x2向右平移5个单位，则平移后所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+5B．y＝﹣（x+5）2
C．y＝﹣x2﹣5D．y＝﹣（x﹣5）2
5．二次函数y＝（x+2）2﹣5的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，5）
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，已知BC是⊙O的直径，过点B的弦BD平行于半径OA，若∠B的度数是60°，则∠C的度数是（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是（ ）
A．B．2C．6D．8
9．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝130°，则∠BOD的大小是（ ）
A．50°B．100°C．110°D．120°
10．如图，在△ABC中，∠B＝80°将△ABC绕点C顺时针旋转50°得到△A′B′C，且A′B′⊥AC于点D，则∠A′CB′的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
11．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（ ）
A．1B．C．D．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝﹣，x2＝；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．在直角坐标系中，点A（﹣7，1）关于原点对称的点的坐标是 ．
14．若方程（k﹣1）x2+3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则k满足的条件是 ．
15．已知二次函数y＝x2+3x+m（m为常数）的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为（﹣1，0），则另一个交点是 ．
16．已知点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y＝﹣2x2，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）．
17．如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果，则AD＝ ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得△DCE，直线DA、BE相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为 cm．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或者推理过程）
19．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0；
（2）x2﹣8x+1＝0．
20．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）该二次函数图象的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（2）请在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，并根据图象直接写出当0≤x≤3时，y的取值范围．
21．（10分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB＝3，OD＝5，求OP的长．
22．（10分）在△ABC中，∠ACB＝120°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得△EDC，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，连接AD，若BC＝6，AC＝8，α＝30°，求AD的长；
（Ⅱ）如图2，连接BD，若α＝60°，求证：BD∥AC．
23．（10分）一种工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．设该工艺品每件降价x元，请回答下列问题：
（1）用含x的代数式表示：
①降价后每售一件该工艺品获得利润 元；
②降价后平均每天售出 件该工艺品
（2）每天获得利润为W元，求每天获得的利润W与降价x元之间的函数关系式？要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？最大利润为多少元？
24．（10分）如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．
（1）求证：CE平分∠BED；
（2）取BC的中点M，连接MH，求证：MH∥BG；
（3）若BC＝2AB＝4，求CG的长．
25．（10分）如图，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点D（﹣1，4）．
（1）求b的值及该二次函数图象的对称轴；
（2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积；
（3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标．
2022-2023学年天津市滨海新区第四共同体九年级（上）期中数学试卷（解析版）
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．一元二次方程x（x+2）＝0的解为（ ）
A．x＝0B．x＝﹣2C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
【解答】解：∵x（x+2）＝0，
∴x＝0或x+2＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣2，
故选：D．
3．用配方法解方程x2+2x＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+1）2＝0B．（x+1）2＝1C．（x+2）2＝4D．（x+2）2＝0
【解答】解：∵x2+2x＝0，
∴x2+2x+1＝1，即（x+1）2＝1，
故选：B．
4．把抛物线y＝﹣x2向右平移5个单位，则平移后所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+5B．y＝﹣（x+5）2
C．y＝﹣x2﹣5D．y＝﹣（x﹣5）2
【解答】解：把抛物线y＝﹣x2向右平移5个单位，则平移后所得抛物线的表达式为y＝﹣，
故选：D．
5．二次函数y＝（x+2）2﹣5的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，5）
【解答】解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣5，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
故选：B．
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由二次函数图象，得出a＜0，b＜0，
A、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故A错误；
B、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故B错误；
C、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故C正确；
D、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故D错误；
故选：C．
7．如图，已知BC是⊙O的直径，过点B的弦BD平行于半径OA，若∠B的度数是60°，则∠C的度数是（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【解答】解：∵BD∥OA，∠B＝60°，
∴∠AOB＝∠B＝60°，
∴∠C＝∠AOB＝30°，
故选：C．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是（ ）
A．B．2C．6D．8
【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，
∵AB＝10，AE＝1，
∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4，
在Rt△COE中，CE＝＝3，
∴CD＝2CE＝6．
故选：C．
9．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝130°，则∠BOD的大小是（ ）
A．50°B．100°C．110°D．120°
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝130°，
∴∠A＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠B＝80°将△ABC绕点C顺时针旋转50°得到△A′B′C，且A′B′⊥AC于点D，则∠A′CB′的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【解答】解：由旋转的性质可知：∠B＝∠B′＝80°，∠ACA′＝50°，
∵A′B′⊥AC，
∴∠B′DC＝90°，
∴∠B′CD＝90°﹣80°＝10°．
∴∠B′CA′＝∠DCB′+∠ACA′＝60°，
故选：B．
11．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（ ）
A．1B．C．D．
【解答】解：连接AC、AF，
由旋转性质得，AC＝AF，∠CAF＝60°，
∴△ACF为等边三角形，
∴AC＝CF，
∵AC＝，
∴CF＝，
故选：B．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝﹣，x2＝；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∴b＝a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，①正确，符合题意．
∵抛物线经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∵a＝b，
∴6a+c＝3a+3a+c＝0，
∵a＜0，
∴3a+c＞0，②正确，符合题意．
由图象可得x＜﹣时，y随x增大而增大，
∴③错误，不符合题意．
由cx2+bx+a＝0可得方程的解为x＝和x＝，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线与x轴另一个交点为（2，0），
∴x＝﹣3和x＝2是方程ax2+bx+c＝0的根，
∴＝﹣3，＝2，
∵6a+c＝0，
∴c＝﹣6a，
∴＝﹣，＝，④正确，符合题意．
∵抛物线经过（﹣3，0），（2，0），
∴y＝a（x+3）（x﹣2），
将a（x+3）（x﹣2）+3＝0化为a（x+3）（x﹣2）＝﹣3，
由图象得抛物线与直线y＝﹣3交点在x轴下方，
∴m＜﹣3且n＞2，⑤正确，符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．在直角坐标系中，点A（﹣7，1）关于原点对称的点的坐标是 （7，﹣1） ．
【解答】解：在直角坐标系中，点A（﹣7，1）关于原点对称的点的坐标是（7，﹣1）．
故答案为：（7，﹣1）．
14．若方程（k﹣1）x2+3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则k满足的条件是 k≠1 ．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2+3x+1＝0是一元二次方程，
∴k﹣1≠0，
解得k≠1．
故答案是：k≠1．
15．已知二次函数y＝x2+3x+m（m为常数）的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为（﹣1，0），则另一个交点是 （﹣2，0） ．
【解答】解：设另一个交点坐标为（a，0），
∵y＝x2+3x+m，
∴y＝（x+）2+m﹣，
∴二次函数图象的对称轴为x＝﹣，
∵＝﹣，
∴a＝﹣2，
∴另一个交点是（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
16．已知点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y＝﹣2x2，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y3＜y2 （用“＜”连接）．
【解答】解：当x＝﹣3时，y1＝﹣2x2＝﹣18；
当x＝﹣1时，y2＝﹣2x2＝﹣2；
当x＝2时，y3＝﹣2x2＝﹣8，
所以y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
17．如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果，则AD＝ 2 ．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD＝2CD＝，
由圆周角定理得，∠ADB＝∠ACB＝30°，
∴AD＝BD×cs∠ADB＝2．
故答案为：2．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得△DCE，直线DA、BE相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为 4 cm．
【解答】解：取AB的中点H，连接HG、HF，如图：
∵△DEC是由△ABC绕C点旋转得到，
∴CE＝CB，CD＝CA，∠BCE＝∠ACD，
设∠BCE＝∠ACD＝α，则∠CBE＝∠CEB＝∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，
在四边形BCDF中，∠BFA＝360°﹣∠BCD﹣∠CDA﹣∠CBE＝360°﹣（90°+α）﹣2（90°﹣α）＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴AB＝5cm，
Rt△ABF中，HF＝AB＝cm，
∵HG是△ABC中位线，
∴HG＝AC＝cm，
而FG≤HF+HG＝4cm，
∴当F、H、G在一条直线上时，FG最大，最大值为HF+HG＝4cm，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或者推理过程）
19．（8分）解下列方程：
（1）2x2﹣5x+1＝0；
（2）x2﹣8x+1＝0．
【解答】解：（1）2x2﹣5x+1＝0，
∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）x2﹣8x+1＝0，
x2﹣8x＝﹣1，
x2﹣8x+16＝﹣1+16，
（x﹣4）2＝15，
x﹣4＝±，
x﹣4＝或x﹣4＝﹣，
∴x1＝4+，x2＝4﹣．
20．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）该二次函数图象的对称轴为直线 x＝2 ，顶点坐标为 （2，﹣1） ；
（2）请在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，并根据图象直接写出当0≤x≤3时，y的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝y＝（x﹣2）2﹣1，
∴二次函数图象的对称轴为直x＝2，顶点坐标为（（2，﹣1），
故答案为：x＝2；（2，﹣1）；
（2）列表：
描点、连线，画出函数图象如图：
如图，当0≤x≤3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．
21．（10分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB＝3，OD＝5，求OP的长．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵AB⊥OP，OB＝OA，
∴∠BOP＝∠AOP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
在△OBP与△OAP中，
，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OD＝5，OA＝OB＝3，
∴在Rt△AOD中，AD＝＝4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，
在Rt△DBP中，PD2＝PB2+BD2，即（PB+4）2＝PB2+82，
∴PB＝6，
在Rt△OBP中，OP＝＝＝3．
22．（10分）在△ABC中，∠ACB＝120°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得△EDC，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，连接AD，若BC＝6，AC＝8，α＝30°，求AD的长；
（Ⅱ）如图2，连接BD，若α＝60°，求证：BD∥AC．
【解答】（Ⅰ）解：∵∠BCD＝α＝30°，∠ACB＝120°，
∴∠ACD＝90°，
∵△EDC是△ABC旋转得到的，
∴△EDC≌△ABC．
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，
得 ；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，BC＝CD，
又∵∠BCD＝α＝60°，
∴△CBD是等边三角形．
∴∠CBD＝60°，
又∠ACB＝120°，
∴∠CBD+∠ACB＝180°，
∴AC∥BD．
23．（10分）一种工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．设该工艺品每件降价x元，请回答下列问题：
（1）用含x的代数式表示：
①降价后每售一件该工艺品获得利润 （35﹣x） 元；
②降价后平均每天售出 （100﹣4x） 件该工艺品
（2）每天获得利润为W元，求每天获得的利润W与降价x元之间的函数关系式？要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？最大利润为多少元？
【解答】解：（1）①∵该工艺品每件降价x元，
∴降价后每售一件该工艺品获得利润为135﹣100﹣x＝（35﹣x）元；
②降价后平均每天售出（100+4x）件工艺品，
故答案为：①（35﹣x）；②（100+4x）；
（2）由题意得：
W＝（35﹣x）（100+4x）
＝﹣4x2+40x+3500
＝﹣4（x﹣5）2+3600，
∵﹣4＜0，
∴当x＝5时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元．
∴每天获得的利润W与降价x元之间的函数关系式为：W＝﹣4x2+40x+3500，要使每天获得的利润最大，每件需降价5元，最大利润为3600元．
24．（10分）如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．
（1）求证：CE平分∠BED；
（2）取BC的中点M，连接MH，求证：MH∥BG；
（3）若BC＝2AB＝4，求CG的长．
【解答】（1）证明：∵将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴CE平分∠BED；
（2）证明：过点C作CN⊥BE于N，如图：
∵CE平分∠BED，CD⊥DE，CN⊥BE，
∴CD＝CN，
∴BG＝AB＝CD＝CN，
∵∠BHG＝∠NHC，∠GBH＝∠CNH＝90°，BG＝CN，
∴△BHG≌△NHC（AAS），
∴GH＝CH，即点H是CG中点，
∵点M是BC中点，
∴MH是△BCG的中位线，
∴MH∥BG；
（3）解：过点C作CN⊥BE于N，过G作GR⊥BC于R，如图：
∵BC＝2AB＝4，
∴BG＝AB＝CD＝CN＝2，
∴CN＝BC，
∴∠NBC＝30°，
∵∠GBE＝90°，
∴∠GBR＝60°，
∴BR＝BG＝1，GR＝BR＝，
在Rt△GRC中，
CG＝＝＝2，
∴CG的长为2．
25．（10分）如图，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点D（﹣1，4）．
（1）求b的值及该二次函数图象的对称轴；
（2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积；
（3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标．
【解答】解：（1）把点D（﹣1，4）代入二次函数y＝﹣x2+bx+3中得：﹣1﹣b+3＝4，
∴b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴对称轴是：直线x＝﹣1；
（2）如图1，连接OD，
当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
∵D（﹣1，4），C（0，3），
∴△ADC的面积＝S△AOD+S△CDO﹣S△AOC＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝3；
（3）如图2，过点M作MN∥y轴，交AC于点N，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴设直线AC的解析式为y＝kx+m，
则，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝x+3，
设点M的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t，t+3），
∵点M是在AC上方抛物线上有一动点，
∴﹣3＜t＜0，MN＝（﹣t2﹣2t+3）﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∴S△AMC＝•MN•OA＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝时，△ACM的面积有最大值，此时点M的坐标为（﹣，）．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…