河南省漯河市召陵区青年镇初级中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

2022—2023学年度第一学期期中测试卷

九年级数学（RJ）

测试范围：21.1－24.4

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．观察下列图形，是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

2．下列各式是一元二次方程的是（    ）

A．  B．

C．  D．2x＋3y＝5

3．用配方法解方程，配方正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得，则是（    ）三角形．

A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形

5．如图，点A、B、C、D在上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（    ）

A．70° B．55° C．35.5° D．35°

6．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点O逆时针旋转90°得到点，则的坐标为（    ）

A． B． C． D．

7．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

8．一元二次方程的根的情况为（    ）

A．有两个相等的实数根  B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根  D．没有实数根

9．如图，P是正方形ABCD内一点，∠APB＝135°，BP＝1，．则PC的长为（    ）

A．2 B． C． D．3

10．如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x轴交于点O、；将抛物线绕点旋转180°得抛物线，交x轴于点；将抛物线绕点旋转180°得抛物线，交x轴于点；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m的值为（    ）

A．0 B．5 C．－4 D．－6

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．若x＝1是方程的一个根，则m＝______．

12．写一个满足下列条件的函数：当x＜－1时，y随x的增大而减小，且当x＞－1时，y随x的增大而增大，则该函数的解析式可以为______．

13．平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在BC边上，与CD交于点E，则的度数为______．

14．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、E、F均在小正方形的顶点上，且弦BG上有4个正方形的格点（包括端点），则阴影部分的面积为______．

15．已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线y＝x＋b与图象②恰有三个公共点时，则b的值为______．

三、解答题（共8题，共75分）

16．（10分）解下列一元二次方程：

（1）x（2x＋3）＝4x＋6． （2）．

17．（9分）已知二次函数回答下列问题：

（1）用配方法将其化成的形式；

（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）根据你的理解，写出该二次函数的性质．（至少两条）

18．（9分）已知关于x的一元二次方程．

（1）若方程的一个根为－1，求k的值和方程的另一个根；

（2）求证：不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．

19．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标，点B的坐标．

（1）画出关于原点O对称的（A，B的对称点分别为，）．

（2）画出关于原点O按逆时针方向旋转90°所得的（A，B的对应点分别为，），并写出，的坐标．

（3）若将点向上平移h个单位，使其落在的内部，请直接写出h的取值范围．

20．（9分）如图，在中，AB＝AC，以AB为直径的与BC交于点D，过点D作的切线交AC于点E．

（1）求证：∠ABD＝∠ADE．

（2）若的半径为，AD＝3，求CE的长．

21．（9分）某玩具商店以成本为每件60元购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价5元，则每天可多卖10件．

（1）若商店平均每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？

（2）若商店为增加效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店平均每天盈利最多？最多盈利多少元？

22．（10分）把两个等腰直角和按图1所示的位置摆放，将绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为．

（1）如图1，BD与EC的数量关系是______，BD与EC的位置关系是______；

（2）如图2，（1）中BD和EC的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．

（3）如图3，当点D在线段BE上时，∠BEC＝______．

（4）当旋转角______时，的面积最大．

23．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求的最大面积及E点的坐标．

2022－2023学年度第一学期期中测试卷参考答案

九年级数学（RJ）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．D   2．C   3．C   4．B   5．D   6．A   7．D   8．B   9．D   10．A

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．－1   12．（答案不唯一）    13．45°    14．   15．1或

三、解答题（共8题，共75分）

16．解：（1）方程x（2x＋3）－2（2x＋3）＝0，分解因式得：（2x＋3）（x－2）＝0，

所以2x＋3＝0或x－2＝0，解得：，；

（2）方程，这里a＝－2，b＝2，c＝1，

∵，∴，解得：，．

17．解：（1）；

（2）由（1）可得顶点为；对称轴为直线x＝1；

（3）图象开口向上，x＜1时，y随x增大而减小；当x＞1时，y随x增大而增大；抛物线有最小值．

18．（1）解：把x＝－1代入方程可得1＋（k＋2）＋k－1＝0，解得k＝－1，

当k＝－1时，原方程为，解得，，即方程的另一根为2；

（2）证明：∵a＝1，b＝－（k＋2），c＝k－1，

∴，

∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．

19．解：（1）如图，即为所求；

（2）如图，即为所求，，．

（3）观察图象可知：2.5＜h＜4．

20．（1）证明：连接OD，如图，

∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD，AD平分∠BAC，

而AO＝BO，∴OD为的中位线，∴，

∵DE为切线，∴，∴，

∵∠ABD＋∠BAD＝90°，∠ADE＋∠DAE＝90°，而∠BAD＝∠DAE，∴∠ABD＝∠ADE；

（2）解：∵的半径为，∴，

在中，，

∵，∴，

∴．

21．解：（1）设每件玩具的售价为x元，

（x－60）[20＋2（100－x）]＝1200，解得：，，

∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴x＝80，

答：每件玩具的售价为80元；

（2）设每件玩具的售价为a元时，利润为w元，

，

∵－2＜0，∴w有最大值，即当a＝85时，w有最大值为1250元，

答：当每件玩具的售价为85元时，每天最多盈利1250元．

22．解：（1）BD＝EC；；

（2）成立，

证明：根据旋转的性质可得：AD＝AE，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，

∴，∴BD＝EC，

作BD的延长线BF交EC于点F，交AC于点G，

∵，∴∠ABD＝∠ACE，

∵∠AGB＝∠FGC，∴∠GAB＝∠GFC＝90°，∴；

（3）90 °．【提示】当点D在线段BE上时，

∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝90°－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝90°－∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴，

∴∠ADB＝∠AEC＝180°－∠ADE＝135°，∴∠BEC＝∠AEC－45°＝135°－45°＝90°，故答案为：90°；

（4）90°或270°．【提示】由题意知，点D的轨迹是以A为圆心AD为半径的圆，

在中，当AB为底时，点D到AB的距离最大时，的面积最大，

当时，的面积最大，

∴旋转角为90°或270°，故答案为：90°或270°．

23．解：（1）∵抛物线经过点，点，

∴，解得，所以，抛物线的解析式为；

（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时的周长最小，

设直线AC的解析式为，则，解得，

所以，直线AC的解析式为y＝x－1，

∵，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，

当x＝2时，y＝2－1＝1，∴抛物线对称轴上存在点，使的周长最小；

（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y＝x＋m，

联立，消掉y得，，

，解得：，

即时，点E到AC的距离最大，的面积最大，

此时，，∴点E的坐标为，

设过点E的直线与x轴交点为F，则，∴，

∵直线AC的解析式为y＝x－1，∴∠CAB＝45°，

∴点F到AC的距离为，又∵，

∴的最大面积，此时E点坐标为．