湖北省荆门市沙洋县国道片区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份湖北省荆门市沙洋县国道片区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省荆门市沙洋县国道片区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．4，5，9 C．5，8，15 D．6，8，9
2．已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（　　）
A．17或22 B．22 C．17 D．13
3．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（　　）条．
A．7 B．8 C．9 D．10
5．如图△ABC≌△DEF，点D、E在直线AB上，BE＝4，AE＝1，则DE的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图所示：△ABC和△DEF中，其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（　　）
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
7．如图所示，a∥b，则下列式子中值为180°的是（　　）

A．∠α+∠β﹣∠γ B．∠α+∠β+∠γ C．∠β+∠γ﹣∠α D．∠α﹣∠β+∠γ
8．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°
9．如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（　　）

A．5cm B．6cm C．9cm D．不能确定
10．如图，D为△ABC的外角平分线AD上一点，BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝α，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；
②CE＝AB+AE；
③∠BAC＝180°﹣2α
④∠DAF＝α，
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．盖房子的时候，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条的根据是　 　．
12．若一个多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形是 　 　边形．
13．如图∠ABD＝∠CBE，AB＝BD，要使△ABE≌△DBC，则需添加一个条件 　 　．

14．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是　 　．

15．如图，将一个45度角的直角三角板放在直角坐标系点C处，三角板两直角边落在x轴，y轴的点A，B处，已知点C（3，3），则OA+OB的值为 　 　．

16．如图，在△ABC中，D为BC中点，作DE⊥DF交AB于E，交AC于F，连接EF，BE＝1，CF＝3，则EF的取值范围是 　 　．

三、解答题（72分）
17．如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．

18．已知：如图，AB∥DF，AB＝DF，BE＝FC，求证：△ABC≌△DFE．

19．在△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm．
（1）求AB的取值范围；
（2）若AC上的中线BD将这个三角形的周长分成8cm和12cm两部分，求BC的长．

20．如图在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠DAE的度数；
（2）若∠ACB﹣∠B＝80°，求∠DAE的度数；
（3）若∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），∠DAE与α和β之间有怎样的关系？请说明理由．

21．中国现役的第五代隐形战斗机歼﹣20的机翼如图，为适应空气动力的要求，两个翼角∠A，∠B必须相等
（1）实际制造中，工作人员只需用刻度尺测量PA＝PB，CA＝CB就能满足要求，说明理由；
（2）若∠A＝30°，∠P＝40°，求∠ACB的度数．

22．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB＝8，AC＝6，BC＝12
（1）求S△ABD：S△ACD的值；
（2）求证：；
（3）求BD的长．

23．如图，△ABC与△ADE都是以A为顶点的等腰直角三角形，点B、A、E在一条直线上，延长BD交CE于F，连接AF．
（1）判断BD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）求证：AF平分∠BFE．

24．阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标.



参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．4，5，9 C．5，8，15 D．6，8，9
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
解：A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+5＝9，不能组成三角形，不符合题意．
C、5+8＜15，不能组成三角形，不符合题意；
D、6+8＞9，能组成三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和＞最大的数就可以．
2．已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（　　）
A．17或22 B．22 C．17 D．13
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
3．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝7x，根据三角形内角和定理建立方程求解即可得出答案．
解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：7，
∴设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝7x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+3x+7x＝180°，
解得：x＝15°，
∴∠A＝2×15°＝30°，∠B＝3×15°＝45°，∠C＝7×15°＝105°，
∴△ABC是钝角三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形分类，利用三角形内角和定理建立方程求解是解题关键．
4．多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（　　）条．
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有n﹣3条，即可求得对角线的条数．
解：∵多边形的每一个内角都等于150°，
∴每个外角是30°，
∴多边形边数是360°÷30°＝12，
则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12﹣3＝9条．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．多边形从一个顶点出发的对角线共有n﹣3条．
5．如图△ABC≌△DEF，点D、E在直线AB上，BE＝4，AE＝1，则DE的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
解：∵BE＝4，AE＝1，
∴AB＝AE+BE＝5，
∵△ABC≌△DEF，
∴DE＝AB＝5，
故选：A．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．
6．如图所示：△ABC和△DEF中，其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（　　）
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组不能使△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
7．如图所示，a∥b，则下列式子中值为180°的是（　　）

A．∠α+∠β﹣∠γ B．∠α+∠β+∠γ C．∠β+∠γ﹣∠α D．∠α﹣∠β+∠γ
【分析】根据平行线的性质得知，内错角相等，同旁内角互补，可以计算出α+β﹣γ的值为180°．
解：由题可知α＝180°﹣β+γ，
所以有180°﹣α+γ+180°﹣β＝180°，
即α+β﹣γ＝180°．
故选：A．
【点评】本题考查三角形内角与外角的关系、平行线的性质，正确利用平行线的性质分析是解题关键．
8．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．
解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°．
9．如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（　　）

A．5cm B．6cm C．9cm D．不能确定
【分析】由AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB可得DC＝DE，从而可得AC＝AE，再根据AC＝BC求解．
解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AED，
∴AC＝AE，
∴△DEB的周长为BE+BD+DE＝BE+BD+DC＝BE+BC＝BE+AE＝AB＝6cm．
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法及性质．
10．如图，D为△ABC的外角平分线AD上一点，BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝α，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；
②CE＝AB+AE；
③∠BAC＝180°﹣2α
④∠DAF＝α，
其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB+AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠DCE，利用“8字型”证明∠BDC＝∠BAC＝180°﹣2α；根据三角形外角的性质可得∠DAE＝∠DAF＝α．
解：设AC、BD交于点O，
∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE＝AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确；

∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF＝∠DCE，
∵∠AOB＝∠DOC，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣2α，
∴∠BDC＝∠BAC＝180°﹣2α，故③正确；
∵∠BAC＝180°﹣2α＝180°﹣∠CAF＝180°﹣2∠DAF，
∴∠DAF≠∠AC＝α，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．盖房子的时候，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条的根据是　三角形具有稳定性　．
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
12．若一个多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形是 　七　边形．
【分析】根据多边形的外角和为360°及题意，求出这个多边形的内角和，即可确定出多边形的边数．
解：∵一个多边形的外角和是内角和的倍，且外角和为360°，
∴这个多边形的内角和为360°÷＝900°，
设这个多边形的边数是n，则
180°（n﹣2）＝900°
∴n＝7，
故这个多边形是七边形，
故答案为：七．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题的关键．
13．如图∠ABD＝∠CBE，AB＝BD，要使△ABE≌△DBC，则需添加一个条件 　BE＝BC（答案不唯一）　．

【分析】根据SAS证明△ABE≌△DBC即可．
解：添加BE＝BC，理由如下：
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE，
即∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
故答案为：BE＝BC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
14．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是　180°　．

【分析】本题运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，将已知角转化在同一个三角形中，再根据三角形内角和定理求解．
解：如图，
∵∠1＝∠B+∠E，∠2＝∠1+∠C，∠A+∠2+∠D＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故答案为：180°．

【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
15．如图，将一个45度角的直角三角板放在直角坐标系点C处，三角板两直角边落在x轴，y轴的点A，B处，已知点C（3，3），则OA+OB的值为 　6　．

【分析】过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，证Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），得AD＝BE，即可解决问题．
解：如图，过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，
则∠CDA＝∠CEB＝90°，
∵点C（3，3），
∴CD＝CE＝OE＝OD＝3，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），
∴AD＝BE，
∴OA+OB＝OA+BE+OE＝OA+AD+OE＝OD+OE＝3+3＝6，
故答案为：6．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，D为BC中点，作DE⊥DF交AB于E，交AC于F，连接EF，BE＝1，CF＝3，则EF的取值范围是 　2＜EF＜4　．

【分析】延长ED到M，使DM＝ED，连接FM，CM，利用SAS证明△BED≌△CMD，得到BE＝CM＝6，再根据三线合一的逆定理得出EF＝FM，最后根据三角形三边关系即可得解．
解：延长ED到M，使DM＝ED，连接FM，CM，

∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BED和△CMD中，
，
∴△BED≌△CMD（SAS），
∵BE＝CM＝6，
∵ED⊥DF，
∴∠FDE＝∠FDM＝90°，
又∵ED＝DM，
∴FE＝FM，
在△CFM中，CM＝1，CF＝3，
∴CF﹣CM＜FM＜CM+CF，
即2＜FM＜4，
∴2＜EF＜4，
故答案为：2＜EF＜4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线并根据SAS证明△BED≌△CMD是解题的关键．
三、解答题（72分）
17．如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．

【分析】作∠AOB的角平分线OD，OD与MN的交点到∠AOB的两边OA，OB的距离相等．
解：如图所示：作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置．

【点评】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
18．已知：如图，AB∥DF，AB＝DF，BE＝FC，求证：△ABC≌△DFE．

【分析】求出BC＝FE，根据平行线的性质求出∠B＝∠F，再根据全等三角形的判定定理推出全等即可．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝FE，
∵AB∥DF，
∴∠B＝∠F，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS）．
【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
19．在△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm．
（1）求AB的取值范围；
（2）若AC上的中线BD将这个三角形的周长分成8cm和12cm两部分，求BC的长．

【分析】（1）设AB＝AC＝xcm，则BC＝（20﹣2x）cm，然后利用三角形的三边关系可得，进行计算即可解答；
（2）BD是AC的中线，则D是AC的中点．因为已知条件给出的8cm和12cm两部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．
解：（1）设AB＝AC＝xcm，
∵△ABC的周长为20cm，
∴BC＝20﹣（AB+AC）＝（20﹣2x）cm，
∴，
解得：5＜x＜10，
∴AB长度的取值范围为5＜x＜10；
（2）设AB＝AC＝x，BC＝y，
∵BD是AC的中线，
∴AD＝CD＝．
当AB+AD＝8cm时，有，
解得，
∴三边长分别为cm，cm，cm．
当AB+AD＝12cm时，，
解得，
∴三边长分别为8cm，8cm，4cm，
经检验，两种情况均符合实际情况．
综上所述，BC的长为4cm或cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确给出哪一部分长要一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
20．如图在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠DAE的度数；
（2）若∠ACB﹣∠B＝80°，求∠DAE的度数；
（3）若∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），∠DAE与α和β之间有怎样的关系？请说明理由．

【分析】（1）由三角形的内角和可求得∠BAC＝50°，再由角平分线的定义可得∠CAE＝25°，利用三角形的外角性质可求得∠CAD＝10°，从而可求∠DAE的度数；
（2）由三角形的内角和可得∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，结合条件可求得∠BAC＝260°﹣2∠ACB，由角平分线的定义得∠CAE＝130°﹣∠ACB，再求得∠CAD＝∠ACB﹣90°，从而可求∠DAE的度数；
（3）结合（1）进行求解即可．
解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝100°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝50°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝25°，
∵AD是高，
∴∠D＝90°，
∴∠CAD＝∠ACB﹣∠D＝10°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝35°；
（2）∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠ACB﹣∠B＝80°，
∴两式相加得：2∠ACB+∠BAC＝260°，
则有∠BAC＝260°﹣2∠ACB，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝130°﹣∠ACB，
∵∠ACB是△ACD的外角，AD是高，
∴∠CAD＝∠ACB﹣90°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACB﹣90°+130°﹣∠ACB＝40°；
（3）∠DAE＝，理由如下：
∵∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝90°﹣，
∵AD是高，
∴∠D＝90°，
∴∠CAD＝β﹣90°，
∴∠DAE＝β﹣90°+90°﹣＝．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
21．中国现役的第五代隐形战斗机歼﹣20的机翼如图，为适应空气动力的要求，两个翼角∠A，∠B必须相等
（1）实际制造中，工作人员只需用刻度尺测量PA＝PB，CA＝CB就能满足要求，说明理由；
（2）若∠A＝30°，∠P＝40°，求∠ACB的度数．

【分析】（1）证明△APC≌△BPC，即可解答；
（2）由三角形的外角的性质即可解答．
【解答】（1）证明：如图，连接PC，

在△APC和△BPC中，
，
∴△APC≌△BPC（SSS），
∴∠A＝∠B；
（2）解：∵△APC≌△BPC，∠A＝30°，∠P＝40°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∵∠ACB＝∠ACE+∠BCE，
∵∠ACE＝∠A+∠APC，∠BCE＝∠B+∠BPC，
∴∠ACB＝∠A+∠APC+∠B+∠BPC，
＝∠A+∠B+（∠APC+∠BPC）
＝∠A+∠B+∠APB
＝30°+30°+40°
＝100°．
【点评】本题考查了三角形全等和外角的性质，掌握三角形全等是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB＝8，AC＝6，BC＝12
（1）求S△ABD：S△ACD的值；
（2）求证：；
（3）求BD的长．

【分析】（1）作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质得DE＝DF，则＝＝＝；
（2）作AG⊥BC于点G，则＝＝，所以＝；
（3）由BC＝12，＝＝，得BD＝BC＝．
【解答】（1）解：作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，
∴DE＝DF，
∴＝＝＝＝，
∴S△ABD：S△ACD的值是．
（2）证明：作AG⊥BC于点G，
∴＝＝，
由（1）得＝，
∴＝．
（3）解：∵BC＝12，＝＝，
∴BD＝BC＝×12＝，
∴BD的长是．

【点评】此题重点考查角平分线的性质、根据面积等式求两条线段的比等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23．如图，△ABC与△ADE都是以A为顶点的等腰直角三角形，点B、A、E在一条直线上，延长BD交CE于F，连接AF．
（1）判断BD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）求证：AF平分∠BFE．

【分析】（1）根据SAS证明△EAC与△DAB全等，再利用全等三角形的性质解答即可；
（2）作AG⊥BD于G，作AH⊥CF于H，根据全等三角形对应边上的高相等得AG＝AH，再由角平分线的判定定理得出AF平分∠DFC．
【解答】（1）解：CE＝BD，CE⊥BD，理由如下：
在△EAC与△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE＝BD，∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠AEC+∠ABD＝90°，
∴∠BFE＝90°，即CE⊥BF；
（2）证明：作AG⊥BD于G，作AH⊥CF于H，如图，

∵△EAC≌△DAB，
∴AG＝AH，
∴AF平分∠DFC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质，判断出△EAC≌△DAB时解本题的关键．
24．阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标.

【分析】（1）证∠DAC＝∠ECB，再由AAS证△ADC≌△CEB即可；
（2）证△ADC≌△CEB（AAS），得AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，即可解决问题；
（3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，证△AEC≌△CFB（AAS），得AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，则FG＝CG+CF＝4，BH＝FH﹣BF＝1，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm），
即BE的长为0.8cm；
（3）解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，
则∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，
∵A（﹣1，0），C（1，3），
∴EG＝OA＝1，CG＝1，FH＝AE＝OG＝3，
∴CE＝EG+CG＝2，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，
∴FG＝CG+CF＝1+3＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣2＝1，
∴B点坐标为（4，1）．

【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．