初中数学人教版七年级上册第一章 有理数综合与测试一课一练

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2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）
第一章 有理数单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第1章 有理数，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2021·湖南湘潭·中考真题）实数2021的相反数是（       ）
A．2021 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
【详解】
解：2021的相反数是：．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查相反数的定义，正确掌握其概念是解题关键．
2．（2020·山西·中考真题）计算的结果是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数．
【详解】
解：（-6）÷（-）=（-6）×（-3）=18．
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2022·全国·七年级）小红解题时，将式子先变成再计算结果，则小红运用了（       ）．
A．加法的交换律和结合律 B．加法的交换律
C．加法的结合律 D．无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
根据有理数加法运算性质分析，即可得到答案．
【详解】
将式子先变成再计算结果，则小红运用了：加法的交换律和结合律
故选：A．
【点睛】
本题考查了有理数加法运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数加法运算性质，从而完成求解．
4．（2019·甘肃甘肃·中考真题）如图，数轴的单位长度为1，如果点表示的数是-1，那么点表示的数是(       )．

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用数轴结合点位置进而得出答案．
【详解】
解：∵数轴的单位长度为1，如果点表示的数是-1，
∴点表示的数是：3
故选D．
【点睛】
此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．
5．（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（       ）
A．或1 B．或2 C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据绝对值的几何意义列绝对值方程解答即可．
【详解】
解：由题意得：|2a+1|=3
当2a+1＞0时，有2a+1=3，解得a=1
当2a+1＜0时，有2a+1=-3，解得a=-2
所以a的值为1或-2．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关键．
6．（2022·江苏宿迁·七年级期末）刻度尺上的一小格为1毫米，1纳米等于一百万分之一毫米，那么纳米大约是（       ）
A．一支铅笔的长度 B．姚明的身高
C．十层大楼的高度 D．珠穆朗玛峰的高度
【答案】C
【解析】
【分析】
先将科学记数法表示的单位是纳米的数还原为用米表示的数，再估算物体高度即可得出答案．
【详解】
解：纳米=3×104毫米=30米，
A、一支铅笔的长度约是0.2米，故此选项不符合题意；
B、姚明的身高约为2.3米，故此选项不符合题意；
C、十层大楼的高度约为30米，故此选项符合题意；
D、珠穆朗玛峰的高度约为8800米，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查科学记数法与近似数，解题关键是注意单位换算，将纳米换算成米．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2020·湖南·师大附中梅溪湖中学七年级阶段练习）计算：________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据有理数的加法法则即可得．
【详解】
原式，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了有理数的加法，熟记运算法则是解题关键．
8．（2020·湖北·云梦县实验外国语学校七年级期末）已知a、b为有理数，下列说法：①若a、b互为相反数，则“＝﹣1；②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；③若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是正数，其中正确的序号是 _____．
【答案】③④##④③
【解析】
【分析】
根据相反数的性质和绝对值的性质判断即可；
【详解】
∵若a、b互为相反数，
∴，
∴当a，b不为0时，＝﹣1，故①不正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0，＜0 ，
∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b，
故③正确；
∵|a|＞|b|，
∴，
∴，
∴（a+b）•（a﹣b），故④正确；
∴正确的是③④．
故答案是③④．
【点睛】
本题主要考查了相反数的性质，绝对值的性质，准确分析判断是解题的关键．
9．（2019·全国·七年级课时练习）计算：（1）________；（2）________.
【答案】     -7     -81
【解析】
【分析】
直接根据有理数的混合运算法则进行计算即可.
【详解】
（1）原式=0-7=-7；
（2）-81×（-）×（- ）=-81；
【点睛】
此题考查有理数的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
10．（2021·重庆八中七年级阶段练习）下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京早的点数）：
城市
纽约
伦敦
东京
巴黎
时差/时
﹣13
﹣8
+1
﹣7

如果北京时间是下午3点，那么伦敦的当地时间是 ___．
【答案】上午7时
【解析】
【分析】
根据带正号的数表示同一时刻比北京早的点数可得正数表示在北京时间向后推几个小时，即加上这个正数；负数表示向前推几个小时，即加上这个负数．
【详解】
解：12+3﹣8＝7，
故如果北京时间是下午3点，那么伦敦的当地时间是上午7时．
故答案为：上午7时．
【点睛】
主要考查正负数在实际生活中的应用以及有理数的加减法计算．这是一个典型的正数与负数的实际运用问题，我们应联系现实生活认清正数与负数所代表的实际意义．
11．（2022·全国·七年级课时练习）如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，且AB＝4，则点C表示的数是_____．

【答案】4
【解析】
【分析】
根据点A，B表示的数互为相反数，确定原点的位置，进而可得点表示的数．
【详解】
∵A，B表示的数互为相反数，且AB=4
∴A表示﹣2，B表示2，
∴C表示4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了数轴上的点表示有理数，相反数的意义，数形结合是解题的关键．
12．（2019·辽宁·阜新实验中学七年级期中）在数轴上，点（表示整数）在原点的左侧，点（表示整数）在原点的右侧．若，且，则的值为_________
【答案】-673
【解析】
【分析】
根据题意可得a是负数，b是正数，据此求出b-a=2019，根据可得a=-2b，代入b-a=2019即可求得a、b的值，代入求解即可．
【详解】
根据题意可得：a是负数，b是正数，b-a＞0
∵
∴b-a=2019
∵
∴a=-2b
∴b+2b=2019
b=673，a=-1346
∴a+b=-673
故答案为：-673
【点睛】
本题考查的是求代数式的值，能根据点在数轴上的位置及绝对值的性质求出a、b的值是关键．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2020·安徽·合肥38中七年级阶段练习）计算
（1）；
（2）[÷(－)×]4－3×(－3)3－(－5)2．
【答案】（1）2；（2）137
【解析】
【分析】
（1）先计算乘方，去绝对值把除法变为乘法，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先把除法变为乘法，再算乘方，最后计算除法，即可求解．
【详解】
解：（1）原式=-1+（-2）×3+9=2；
（2）原式=[]4－3×(－3)3－(－5)2 =81+81-25=137.
【点睛】
本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
14．（2021·吉林通化·七年级期末）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）先计算乘方，同步按照乘法的分配律进行乘法运算，再计算括号内的加法运算，最后计算减法即可；
（2）先计算括号内的运算，再计算除法运算即可；
(1)
解：



(2)



【点睛】
本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握“有理数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
15．（2022·江苏·七年级）若|a+1|+（b﹣2）2＝0．
(1)求a2﹣b2的值；
(2)求ab的值．
【答案】(1)
(2)1
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值、偶次方的非负性求得a＝﹣1，b＝2，再代入a2﹣b2求值．
（2）由（1）得a＝﹣1，b＝2，根据乘方的定义，代入求值．
(1)
解：∵|a+1|≥0，（b﹣2）2≥0，
∴当|a+1|+（b﹣2）2＝0时，a+1＝0，b﹣2＝0．
∴a＝﹣1，b＝2．
∴a2﹣b2＝（﹣1）2﹣22＝1﹣4＝﹣3．
(2)
解：由题意得：a＝﹣1，b＝2．
∴ab＝（﹣1）2＝1．
【点睛】
本题主要考查绝对值的非负性、偶次方的非负性、乘方，熟练掌握绝对值的非负性、偶次方的非负性、乘方是解决本题的关键．
16．（2022·江苏·七年级）如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．
(1)根据上述规定，填空：（2，8）＝_______，（2，）＝_______；
(2)若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．
【答案】(1)3，
(2)4
【解析】
【分析】
（1）这个定义括号内第一个数为底数，第二个数为幂，结果为指数，根据有理数的乘方及负整数指数幂的计算即可；
（2）根据定义先求出a，b的值，再求（b，a）的值．
(1)
解：因为23＝8，
所以（2，8）＝3；
因为2﹣2＝，
所以（2，）＝﹣2．
故答案为：3，﹣2；
(2)
解：根据题意得a＝42＝16，b3＝8，
所以b＝2，
所以（b，a）＝（2，16），
因为24＝16，
所以（2，16）＝4．
答：（b，a）的值为4．
【点睛】
本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂，考核学生的运算能力，熟悉乘方运算是解题的关键．
17．（2022·全国·七年级专题练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题：

(1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______；
(2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______；
(3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？
【答案】(1)4
(2)1
(3)终点表示数是（a﹣m+n）
【解析】
【分析】
（1）根据-3点为A，右移7个单位得到B点为-3+7=4，则可以得出答案；
（2）根据3表示为A点，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，得到点为3-7+5=1，可以得出答案；
（3）方法同（2），根据数轴上表示的数左减右加的原则计算即可．．
(1)
∵点A表示数﹣3，
∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣3+7＝4，
故答案是：4；
(2)
∵点A表示数3，
∴将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，
那么终点表示的数是3﹣7+5＝1；
故答案是：1；
(3)
∵A点表示的数为a，
∴将A点向左移动m个单位长度，再向右移动n个单位长度，
那么终点表示数是（a﹣m+n）．
【点睛】
本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·全国·七年级专题练习）入冬以来，某品牌的羽绒服统计了在西乡市场某一周的销售情况，以每天100件为标准，超过的件数记作正数，不足的件数记作负数，记录如下：8，12，-9，6，-11，10，-2．
(1)求销量最多的一天比销量最少的一天多销售______件；
(2)该品牌羽绒服这一周的销售总量是多少件？若每件羽绒服的利润为130元，则这一周销售该品牌羽绒服的总利润为多少元？
【答案】(1)23
(2)该品牌羽绒服这一周的销售总量是714件，总利润为92820元
【解析】
【分析】
（1）直接利用有理数的减法法则，用最大的数减去最小的数即可；
（2）可以先求出7天的标准件数，再加上比标准多或少件数即可，利用这周销售羽绒服的总件数×130即可．
(1)
（件）
故答案为：23；
(2)
7×100+8+12+（-9）+6+（-11）+10+（-2）=714（件）
所以该品牌羽绒服这一周的销售总量是714件．
714×130=92820（元）
所以这一周销售该品牌羽绒服的总利润为92820元．
【点睛】
本题主要考查正数和负数，正确利用有理数的运算法则是解题的关键．
19．（2020·黑龙江·虎林市实验中学七年级期中）某人乘船去钓鱼在江面沿东西方向行驶，向东为正，向西为负，他从A地出发每隔一段时间就换一个地方钓鱼，从出发到结束路线如下：（单位：千米）＋3，－5，＋4，－2，－6，－3，＋2．
(1)问最后结束停下的地方离A地 千米．
(2)若该船每千米耗油0.3升，问从出发到结束共耗油 升．
(3)该人结束后要到B地再靠岸，在江面上逆流而行，已知该该船静水速度为16km/h，水速为3km/h，用去半个小时到达B地，问该船最后达B地行驶了了多少千米？
【答案】(1)7
(2)7.5
(3)6.5千米
【解析】
【分析】
（1）计算这些有理数的和，即可知道结束停下的地方离A地多远；
（2）求出各个数的绝对值的和，进而求出用汽油的升数；
（3）船速=静水速-水速，根据路程=速度时间即可求解.
(1)
解：根据题意，得：+3-5+4-2-6-3+2=-7（千米），即最后结束停下的地方离A地7千米，
故答案为：7；
(2)
解：=0.325=7.5（升），
即从出发到结束共耗油7.5升，
故答案为：7.5
(3)
解：根据题意，得：（千米）
答：该船最后达B地行驶了了6.5千米.
【点睛】
本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．也考查了有理数的加法和乘法运算．
20．（2021·广西崇左·七年级期中）阅读计算过程：

解：原式＝①
＝②
＝③
＝
回答下列问题：
（1）步骤①错在 　 　；
（2）步骤①到步骤②错在 　 　；
（3）步骤②到步骤③错在 　 　；
（4）此题的正确结果是 　 　．
【答案】（1）去括号；（2）乘方运算；（3）运算时符号错误；（4）
【解析】
【分析】
根据有理数的运算法则可直接进行求解（1）（2）（3）（4）．
【详解】
解：（1）步骤①错在去括号；
（2）步骤①到步骤②错在乘方运算；
（3）步骤②到步骤③错在运算时符号错误；
（4）
=
=
=
=
=．
【点睛】
本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2019·全国·七年级课时练习）阅读材料：
求1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019的值．
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋……＋22019，
将等式两边同时乘以2，得
2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22019＋22020，
将下式减去上式得2S－S＝22020－1，
请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210；
(2)1＋3＋32＋33＋34……＋3n(其中n为正整数)．
【答案】（1）211－1；（2）(3n＋1－1)
【解析】
【分析】
（1）仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可；
（2）仿照阅读材料中的方法求出原式的值即可．
【详解】
(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210，将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211，将下式减去上式得2S－S＝211－1，即S＝211－1，则1＋2＋22＋23＋24＋……＋210＝211－1　
(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n①，两边同乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1②，②－①得：3S－S＝3n＋1－1，即S＝(3n＋1－1)，
则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝(3n＋1－1)
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
22．（2022·全国·七年级专题练习）如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数－1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题：

(1)表示数－2的点与表示数__________的点重合；表示数7的点与表示数__________的点重合.
(2)若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是_______；点B表示的数是________；
(3)已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2020，求点M表示的数是多少？
【答案】(1)6，－3
(2)－4、8
(3)M点表示的数为－1008或1012
【解析】
【分析】
（1）先判断出表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称，即可得出答案；
（2）先判断出点A和点B到表示数2的点的距离为6，即可得出结论；
（3）分点M在点A的左边和在点B的右侧，用距离之和为2020建立方程求解即可得出结论．
(1)
解：由折叠知，表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称，
∴表示数－2的点与表示数6的点关于数2的点对称，
表示数7的点与表示数－3的点关于数2的点对称，
故答案为：6，－3；
(2)
∵折叠后点A与点B重合，
∴点A与点B关于表示数2的点对称，
∵A，B两点之间距离为12，
∴点A和点B到表示数2的点的距离都为6，
∴点A表示的数为2－6=－4，点B表示的数为2＋6=8，
故答案为：－4，8；
(3)
设M表示的数为x，
当M点在A点左侧时，解得；
当M点在B点右侧时：，解得，
所以M点表示的数为－1008或1012．
【点睛】
本题考查折叠问题，一元一次方程的解法，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．

六、（本大题共12分）
23．（2020·山东·济南外国语学校七年级期中）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：__________．
（2）关于除方，下列说法正确的选项有__________（只需填入正确的序号）；
①任何非零数的下2次方都等于1；
②对于任何正整数，；
③；
④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：（幂的形式）
（1）试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式．
；；
（2）算一算：
【答案】【初步探究】（1）；（2）①②④；【深入思考】（1），；（2）
【解析】
【初步探究】
（1）根据题意，可以写出所求式子的结果；
（2）根据题意和题目中的式子可以判断出各个小题中的式子是否正确；
【深入思考】（1）根据题目中的例子，可以计算出所求式子的结果；
（2）根据题目中的例子可以计算出所求式子的结果．
【详解】
解：【初步探究】
（1）23=2÷2÷2=，
故答案为：；
（2）∵n2=n÷n=1（n≠0），故①正确；
对于任何正整数n，1n=1÷1÷1÷…÷1=1，故②正确；
，
，
∴，故③错误；
负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数，故④正确；
故答案为：①②④；
【深入思考】
（1），



，
故答案为：，；
（2）


．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，充分理解新定义是解题的关键．