2023届高三数学一轮复习大题专练17导数最值问题
展开
这是一份2023届高三数学一轮复习大题专练17导数最值问题,共8页。试卷主要包含了已知函数,已知函数,,设函数等内容,欢迎下载使用。
一轮大题专练17—导数(最值问题)1.已知函数.(1)求曲线上一点处的切线方程;(2)当时,在区间,的最大值记为,最小值记为,设,求的最小值.解:(1)因为点在曲线上,所以,解得,所以,求导得,切点为,,故切线斜率,所求切线方程为.(2)因为,,,.所以.令,得或.所以,,为减函数;,,为增函数.①当时,在,上单调递减所以依题意,,,所以.②当时,在,上单调递减,在,上单调递增,又因为,,,当时,,所以,,当时,,所以,.设,所以,当时,,所以在单调递减.又因为,,所以所以,当且仅当时,取得最小值.2.已知函数,.(1)证明:有且仅有一个零点;(2)当,时,试判断函数是否有最小值?若有,设最小值为(a),求(a)的值域;若没有,请说明理由.(1)证明:因为,所以时,,函数无零点;又因为,所以,时,,单调递增,又(1),,,即(1),故存在唯一,使,综上可知,函数有且仅有一个零点.(2)解:,,,,,单调递增,又(1),,故存在唯一,使,即,,,单调递减;,,,单调递增,因此有最小值,(a),令,,,故单调递减,进而,(1),,即(a)的值域为,.3.已知函数,.(1)设,求的极值:(2)若函数有两个极值点,.求的最小值.解:(1),定义域是,,令,解得:或,令,解得:,故在递增,在,递减,在递增,故,(1);(2)函数,,,,是函数的极值点,,是方程的两不等正根,则△,,,故,,即,,,且,,,令,则,,,,当,上递减,当上递增,故(1),故的最小值为.4.已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)当时,函数的最小值为(其中为的导函数),求的值.解:(1),当时,,在区间上单调递减,在上单调递增,当时,由,得,在区间,上单调递增,在,上单调递减,在区间上单调递增,当时,由,得,在上单调递增,当时,由,得,在区间上单调递增,在区间,上单调递减,在,上单调递增,综上:当时,在区间上单调递减,在上单调递增,当时,在区间,上单调递增,在,上单调递减,在区间上单调递增,当时,在上单调递增,当时,在区间上单调递增,在区间,上单调递减,在,上单调递增.(2)设,且,,设,,在上单调递减,在上单调递增,且当时,,又当时,,当时,,在上必存在唯一零点,使得,即在上,,单调递减,在,上,,单调递增,在处取得最小值,又,,则,设,,当时,,单调递增,故,此时,当时,,单调递减,故,又(1),故,故.5.已知函数,.(1)求的单调性;(2)若,且的最小值小于,求的取值范围.解:(1),,①当时,恒成立,在上单调递增,②当时,令,则,令,则,在上单调递减,在上单调递增,综上:当时,在上单调递增, 当时,在上单调递减,在上单调递增,(2)由(1)知,则,令,则,令,,在上单调递减,又,(1),存在,使得,即,在上单调递增,在,上单调递减,又,(2),(a).的取值范围为.6.已知函数,.(Ⅰ)设,若函数在区间,上是减函数,求实数的取值范围;(Ⅱ)若函数区间上的最小值为1,求实数的值.解:(Ⅰ),,,,在,上单调递减,当,时,恒成立,即,又,,,又,,时,取最小值,故的取值范围是,;(Ⅱ),,在递增,在递增,在上存在唯一零点,使得,故,在上单调递增,时,,递减,,时,,递增,,显然是方程的解,令是减函数,则,有且只有唯一的解,,,又,,.7.设函数.(1)若,求的极值;(2)若,且当时,函数的图象在直线的上方,求整数的最大值.解:(1),则,若,令,解得:,令,解得:,故在递减,在递增,故的极小值是,无极大值;(2)时,,,故,时函数的图象在直线的上方,问题转化为在恒成立,令,,,①即时,,在单调递增,故,符合题意;②即时,令,解得:,令,解得:,故在递减,在递增,故,由,令,则,则,令,,则,故在递减,而(1),(2),故整数的最大值是1,故的最大值是1,即整数的最大值是2.
相关试卷
这是一份2023届高三数学一轮复习大题专练17导数最值问题含解析,共8页。试卷主要包含了已知函数,已知函数,,设函数等内容,欢迎下载使用。
这是一份2023届高三数学一轮复习大题专练18导数最值问题,共8页。试卷主要包含了已知函数,已知函数,,设函数等内容,欢迎下载使用。
这是一份大题专练训练35:导数(最值与极值问题)-2022届高三数学二轮复习,共8页。试卷主要包含了函数,已知函数,已知等内容,欢迎下载使用。