山东省青岛市局属四校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

2022-2023学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共24分）

1. 已知方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组的四条线段，，，是成比例线段的是(    )

A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，

3. 如图，已知直线，若，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

4. 用如图所示的、两个转盘进行“配紫色”游戏红色和蓝色在一起配成紫色，转盘是二等分，转盘是三等分，分别转动两个转盘各一次指针指向分界线则重新转动转盘，则配成紫色的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，点在的边上，要判断∽，添加一个条件，不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 若菱形的周长为，：：，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，校园里一片小小的树叶，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为．(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，矩形中，，，点在边上，若平分，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

9. 根据下表得知，方程的一个近似解为______精确到．

10. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
11. 某公司月份的营业额为万，月份的营业额为万，已知、月的增长率相同，则增长率为______．
12. 如图，把一张矩形纸片平均分成个矩形，若每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为______．
13. 如图，在正方形中，，，分别为边，中点，连接，相交于点，则面积为______．

14. 如图，在矩形中，是边的中点，于点，连接，分析下列五个结论：
    ∽；
    ；
    ；
    ；
    ．
    其中正确的结论有______．

三、解答题（本题共10小题，共78分）

15. 已知：线段和．
    求证：矩形，使对角线的长为，夹角为．

16. 解方程
    公式法；
    配方法．
17. 已知关于的一元二次方程．
    求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
    若该方程的两个实数根为，，
    则根据公式法可得______用表示，若，则______．
18. 一个布袋里装有除颜色外完全相同的若干个球，其中个白球，若干个红球，从中任意摸出个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是．
    则布袋中红球的个数为______个；
    若从布袋中一次性摸出个球，用列表法或树状图法求出都是红球的概率是多少？
19. 如图，某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．设为．
    用含的代数式表示的长为______；
    如果墙长，满足条件的花园面积能达到吗？若能，求出此时的值；若不能，说明理由．

20. 已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，．
    求证：∽；
    如果，，求的长．

21. 如图，在▱中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
    求证：≌；
    连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．

22. 列方程组解应用题
    端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
    小王：该水果的进价是每千克元；
    小李：当销售价为每千克元时，每天可售出千克；若每千克降低元，每天的销售量将增加千克．
    根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
23. 【模型呈现：材料阅读】
    如图，点，，在同一直线上，点，在直线的同侧，和均为等边三角形，，交于点对于上述问题，存在结论不用证明：
    ≌；
    可以看作是由绕点旋转而成；
    
    【模型改编：问题解决】
    如图，点，在直线的同侧，，，，直线，交于．
    求证：∽；
    则的度数．
    如图：将绕点顺时针旋转一定角度，
    则的度数为______．
    若将“”改为“”，则的度数为______直接写结论
    【模型拓广：问题延伸】
    如图：在矩形和矩形中，，，，连接，，则的值为______．
24. 如图，在矩形中，是对角线，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；点从点出发，沿方向匀速运动，速度是两点同时出发，设运动时间为，请回答下列问题
    
    当为何值时，？
    设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
    当为何值时，四边形的面积等于矩形面积的？
    当为______时，是等腰三角形．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：把代入得，
解得．
故选B．
根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到含有的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故不符合题意，
B.，故不符合题意，
C.，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：．
根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得．
故选：．
根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握定理及其推论并灵活运用．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意画树状图如下：

由树状图可知共有种等可能结果，其中能配成紫色的种，
配成紫色的概率为，
故选：．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到能配成紫色的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了概率公式与用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】 

【解析】解：、当时，又，∽，故此选项错误；
B、当时，又，∽，故此选项错误；
C、当时，又，∽，故此选项错误；
D、无法得到∽，故此选项正确．
故选：．
分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题用到的知识点为：菱形的四边相等，菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据邻角互补可得出和，从而根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质可分别求出两对角线的长，进而根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行解答．
【解答】
解：如图，作对角线与，交于点，

菱形的周长为，
，
又：：，
，，
，
在中，
，，
，，
菱形的面积．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：为的黄金分割点，

，
故选：．
先利用黄金分割的定义求出，然后由即可得出的长．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
 

8.【答案】 

【解析】解：作于点，则，
四边形是矩形，，，
，，
，
平分，
，
，
，
平分，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
的长是，
故选：．
解法二：作于点，则，
四边形是矩形，，，
，，，
平分，，，
，
由，得，
，
，
的长是，
故选：．
作于点，先证明，再根据角平分线的性质求得，即可根据勾股定理求得，再证明≌，则，于是得到问题的答案，此题还可以考虑根据面积等式求的长，再根据勾股定理求的长，再由求的长．
此题重点考查矩形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键；此外，还可考虑由面积等式求的长，再根据勾股定理求的长，最后由求的长的方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据表格得，当时，，即，
距近一些，
方程的一个近似根是，
故答案为：．
看在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间．
本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
 

10.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设平均每月的增长率为，
由题意得，
解得，不合题意，舍去
所以平均每月的增长率为．
故答案为：．
设平均每月的增长率为，根据月份的营业额为万元，月份的营业额为万元，表示出月的营业额，即可列出方程解答．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】： 

【解析】解：设原矩形的长为，宽为，
小矩形的长为，宽为，
小矩形与原矩形相似，
，
：：．
故答案为：：．
设原矩形的长为，宽为，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得原矩形纸片的长与宽之比．
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质并灵活运用．相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，分别为边，中点，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
∽，
，
，
面积，
故答案为：．
根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，于点，
，，，
，
∽，
故正确；
是边的中点，
，
，
，
∽，
，
故错误；
作于点，交于点，则，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
垂直平分，
，
故正确；
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
故正确；
设矩形的面积为，则，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
故正确，
故答案为：．
由四边形是矩形，于点，得，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽，可判断正确；
由是边的中点，得，由∽，得，可判断错误；
作于点，交于点，则，可证明四边形是平行四边形，得，所以，则，得，所以，可判断正确；
由，得，可推导出，再证明∽，得，则，得，再根据勾股定理求得，即可证明，可判断正确；
设矩形的面积为，则，由，得，，而，则，所以，得，可判断正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，证明∽及∽是解题的关键．
 

15.【答案】解：如图，矩形为所作．
 

【解析】先作，再的对顶角，然后以点为圆心，为半径作圆分别交、、、于点、、、，则四边形满足条件．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的判定．
 

16.【答案】解：，
，，，
，

，；
，
，
，
，
，
，． 

【解析】利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】证明：，，，
，
又，
，即，
无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
解：利用公式法可得出，
，．
，
，
，
解得：，
的值为．
故答案为：；．
根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，即，由此可证出：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
利用公式法，可求出方程的解，将其代入及中，可求出及的值，再结合，即可求出的值．
本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；利用公式法，求出方程的实数根．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意知，布袋中球的总个数为个，
则红球的个数为个，
故答案为：；

列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中摸出个球都是红球的有种结果，
所以摸出个球都是红球的概率为．
用白球的个数除以摸出白球的频率值求出球的总个数，继而可得答案；
列表得出所有等可能结果，从中找到摸出个球都是红球的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了概率公式与用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：；
花园面积不能达到，理由如下：
根据题意得：，
解得：，
而墙长，不符合题意舍去，
如果墙长，满足条件的花园面积不能达到．
由矩形的性质得，，即可得出结论；
由花园面积为，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答此题的关键．
 

20.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，，
∽；
由证得∽，
，
设，则，
，
，，
或． 

【解析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质有关知识．
是等边三角形，得到，，推出，得到∽；
由∽，得到，然后代入数值求得结果．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
，
，即．
，
≌；

四边形是菱形，理由如下：
如图，连接，，
由得，，
四边形是平行四边形．
在中，，平分，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】根据四边形是平行四边形，得，，可证，，然后通过证得结论；
由中全等三角形的对应边相等的性质推知，，继而证得四边形是平行四边形；然后证出，则平行四边形是菱形．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，证出是解题的关键．
 

22.【答案】解：设降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意得，
，
整理得，
或．
要尽可能让顾客得到实惠，
，
售价为元．
答：水果的销售价为每千克元时，超市每天可获得销售利润元． 

【解析】设降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】    

【解析】解：【模型改编：问题解决】
证明：，，，
，
∽，
，
，
∽；
由知，∽，
，
；
补图如下：

由∽可得，，
，
故答案为：；
同理可得，
故答案为：；
【模型拓广：问题延伸】
连接、，

在矩形和矩形中，，，，
，
又，
∽，
，，
，，
，
∽，
，
，，
，
，
故答案为：．
【模型改编：问题解决】
先证∽，得，再根据，即可证∽；
由∽可得，，即可得；
连接并延长交于，由∽可得，，由，得；
同理得；
【模型拓广：问题延伸】
连接、，证∽，得，即，再求出，，根据比例关系证∽，即可得出的值．
本题是相似形的综合题，主要考查相似三角形的判定和性质，三角形外角等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

24.【答案】或 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
，
；
，，
，
过点作于，

，
，
，
，
，


；
四边形的面积等于矩形面积的，
，
，
解得或舍去，
；
若是等腰三角形，可分三种情况，
若，
，
；
若，
如图，过点作于，则，

，，
∽，
，
，
；
若，过点作于，则，

，
解得，不合题意，舍去．
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
由勾股定理求出，由平行线分线段成比例定理得出，则可得出答案；
过点作于，求出，求出三角形的面积，根据可求出答案；
由面积关系列出方程可得出答案；
由等腰三角形的性质分三种情况可求出答案．
本题是四边形综合题，考查了勾股定理，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．