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黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县第三中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题(含答案)
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这是一份黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县第三中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市拜泉三中八年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（每题3分）
1．中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，6，11 C．4，6，10 D．5，8，14
4．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
5．等腰三角形一个角的度数为50°，则顶角的度数为（ ）
A．50° B．80° C．65° D．50°或80°
6．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
7．到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
8．如图，点A的坐标为（2，2），若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P个数是（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
9．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2＞∠3+∠4
B．∠1+∠2＜∠3+∠4
C．∠1+∠2＝∠3+∠4
D．数量关系取决于∠C的度数
二、填空题（每题3分）
11．已知如图，已知BD平分∠ADC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
12．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝ cm2．
13．已知如图BD、CE是△ABC的高，∠A＝50°，线段BD、CE相交于点O，则∠BOC＝ ．
14．如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，过点B作BD∥AC交A'C于点D，若∠A'BC＝30°，∠BDC＝140°，则∠A的度数为 ．
15．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 ．
17．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2021为顶点的底角度数是 ．
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C′和△ABC关于x轴对称；
（2）已知△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
19．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8，DE＝6，求BE的长．
20．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
21．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线．求证：DE＝DF．
22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠BEF的度数；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC的长．
23．如图，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF．试说明：EB∥CF．
24．[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
（2）求得AD的取值范围是 ．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[问题解决]（3）如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN，求证：BM+CN＞MN．
参考答案
一、单选题（每题3分）
1．中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各个汉字进行判断即可得解．
解：A、“大”是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、“美”是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“中”是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“国”不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．
解：设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k＝180°，
解得k＝20°，
所以，最大的角为4×20°＝80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，6，11 C．4，6，10 D．5，8，14
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：A、2+3＞4，能组成三角形；
B、3+6＜11，不能组成三角形；
C、4+6＝10，不能组成三角形；
D、5+8＜14，不能够组成三角形．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
解：多边形的边数为：360÷30＝12，
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
5．等腰三角形一个角的度数为50°，则顶角的度数为（ ）
A．50° B．80° C．65° D．50°或80°
【分析】等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
解：（1）当50°角为顶角，顶角度数为50°；
（2）当50°为底角时，顶角＝180°﹣2×50°＝80°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），即横坐标不变，纵坐标变成相反数，即可得出答案．
解：根据关于x轴的对称点横坐标不变，纵坐标变成相反数，
∴点P（1，﹣2）关于x轴对称点的坐标为（1，2），
故选：A．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，难度较小．
7．到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【分析】根据OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，得出O在∠A的平分线上，同理得出O也在∠B、∠C的平分线上，即可得出O是三条角平分线的交点．
解：∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，
∴O在∠A的平分线上，
同理O在∠B的平分线上，
O在∠C的平分线上，
即O是三条角平分线的交点，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中线，角平分线，垂直平分线，高等知识点，注意：三角形的三个角的平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
8．如图，点A的坐标为（2，2），若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P个数是（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】等腰三角形要判断腰长的情况，本题可根据OA是底边、腰几种情况着手进行讨论即可得出答案．
解：已知点A的坐标为（2，2），则△OAP的边OA＝2，这条边可能是底边也可能是腰．
①当OA是底边时，点P是OA的垂直平分线与坐标轴的交点，这两个点的坐标是（2，0）和（0，2）；
②当OA是腰时，当O是顶角顶点时，以O为圆心，以OA为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是（2，0），（﹣2，0），（0，2），（0，﹣2）；
③当A是顶角顶点时，以A为圆心，以AO为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是（4，0），（0，4）．
故满足条件的点P共有8个．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质；分情况进行讨论，能够把各种情况能够讨论全是解决本题的关键．
9．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
解：把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变，因而具有稳定性的是C．故选：C．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等．因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
10．如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2＞∠3+∠4
B．∠1+∠2＜∠3+∠4
C．∠1+∠2＝∠3+∠4
D．数量关系取决于∠C的度数
【分析】根据三角形内角和定理依据对顶角相等，即可得到∠1+∠2＝∠3+∠4．
解：∵∠1+∠2＝180°﹣∠C，
∠3+∠4＝∠CEF+∠CFE＝180°﹣∠C，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是180°．解决问题的关键是运用对顶角相等，得到∠3+∠4＝∠CEF+∠CFE．
二、填空题（每题3分）
11．已知如图，已知BD平分∠ADC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 AB＝CB或∠ADB＝∠CDB或∠A＝∠C（答案不唯一） ．（只需写一个，不添加辅助线）
【分析】由已知BD平分∠ADC，得出∠ABD＝∠CBD，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②ASA．③AAS，所以可添AB＝CB或∠ADB＝∠CDB或∠A＝∠C．
解：答案不唯一．
①添加AB＝CB．利用SAS得出△ABD≌△CBD（SAS）；
②添加∠ADB＝∠CDB．利用ASA得出△ABD≌△CBD（ASA）；
③添加∠A＝∠C．利用AAS得出△ABD≌△CBD（AAS）；
故答案为：AB＝CB或∠ADB＝∠CDB或∠A＝∠C（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．
12．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝ 1 cm2．
【分析】根据三角形的面积公式，知△BCE的面积是△ABC的面积的一半，进一步求得阴影部分的面积是△BEC的面积的一半．
解：∵点E是AD的中点，
∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD的面积的一半．
则△BCE的面积是△ABC的面积的一半，即为2cm2．
∵点F是CE的中点，
∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm2．
【点评】此题主要是根据三角形的面积公式，知三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分．
13．已知如图BD、CE是△ABC的高，∠A＝50°，线段BD、CE相交于点O，则∠BOC＝ 130° ．
【分析】因为BD、CE均为△ABC的高，则有AEC＝∠ADB＝∠BDC＝90°；又知∠A＝50°，可根据三角形的内角和定理得到∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，最后依据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，得到∠BOC＝∠BDC+∠ACE＝90°+40°＝130°．
解：∵BD、CE均为△ABC的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°．
则∠BOC＝∠BDC+∠ACE＝90°+40°＝130°．
故答案为：130°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理．解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
14．如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，过点B作BD∥AC交A'C于点D，若∠A'BC＝30°，∠BDC＝140°，则∠A的度数为 130° ．
【分析】根据翻折变换得出∠ABC＝∠A′BC＝30°，∠ACB＝∠A′CB，根据平行线的性质得出∠ACD+∠BDC＝180°，求出∠ACD＝40°，求出∠ACB＝∠A′CB＝20°，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
解：∵将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，∠A'BC＝30°，
∴∠ABC＝∠A′BC＝30°，∠ACB＝∠A′CB，
∵BD∥AC，
∴∠ACD+∠BDC＝180°，
∵∠BDC＝140°，
∴∠ACD＝40°，
∴∠ACB＝∠A′CB＝20°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣20°＝130°，
故答案为：130°．
【点评】本题考查了翻折变换问题、三角形内角和定理，平行线的性质等知识点，能根据翻折变换得出∠ABC＝∠A′BC和∠ACB＝∠A′CB是解此题的关键．
15．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 3 cm．
【分析】由题意得AE＝A′E，AD＝A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD＝A′D，AE＝A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
＝BC+BD+CE+AD+AE，
＝BC+AB+AC，
＝3cm．
故答案为：3．
【点评】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 20°或70° ．
【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为50，则顶角是40°，因而底角是70°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD＝40°，BD⊥CD，
故∠BAD＝40°，
所以∠B＝∠C＝20°，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为20°或70°．
故答案为：20°或70°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
17．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2021为顶点的底角度数是 （）2020×75° ．
【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B＝30°，A1B＝CB，得∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°，那么∠BA1C＝×150°＝75°．由A1A2＝A1D，得∠DA2A1＝∠A1DA2．根据三角形外角的性质，由∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1，得∠DA2A1＝∠BA1C＝××150°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
解：∵∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°．
∴2∠BA1C＝150°．
∴∠BA1C＝×150°＝75°．
∵A1A2＝A1D，
∴∠DA2A1＝∠A1DA2．
∴∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1．
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝××150°．
同理可得：∠EA3A2＝∠DA2A1＝×××150°．
∠FA4A3＝∠EA3A2＝××××150°＝．
……
以此类推，以An为顶点的内角度数是∠An＝（）n×150°＝（）n﹣1×75°．
∴第2021个三角形中以A2021为顶点的底角度数是（）2020×75°．
故答案为：（）2020×75°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C′和△ABC关于x轴对称；
（2）已知△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）∵△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，
∴点A1（﹣4，0），B1（1，4），C1（3，1）．
（3）△ABC的面积为7×4﹣﹣﹣＝．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8，DE＝6，求BE的长．
【分析】根据AAS证明△ACD≌△CBE得出BE＝CD，AD＝CE＝8，即可求解．
解：∵∠ACB＝90°，∠E＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴BE＝CD，AD＝CE＝8，
又∵DE＝6，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝8﹣6＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；
（2）依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）进行计算即可．
解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
21．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线．求证：DE＝DF．
【分析】证明△ADE≌△ADF即可，然后可得DF＝DE．
【解答】证明：如图，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠1＝∠2，
∵DE、DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝∠ADB＝45°，∠ADF＝∠ADC＝45°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（ASA），
∴DF＝DE．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、全等三角形的判定与性质，比较基础．对于全等三角形的证明，差什么条件就去寻找什么条件，如果条件不是明显的，则先通过推导得出所需要的条件．
22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠BEF的度数；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC的长．
【分析】（1）根据AD⊥BC，BD＝DE，可知AD垂直平分BE，根据线段垂直平分线的性质可得∠AEB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得∠C＝∠EAC，根据三角形外角的性质即可求出∠C的度数，利用直角三角形的两锐角互余求出∠CEF的度数，即可求解；
（2）根据△ABC的周长可得AB+BC的长，根据AB＝AE＝CE，BD＝DE，即可求出DC的长．
解：（1）AD⊥BC，BD＝DE，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AEB＝70°，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC＝35°，
∴∠CEF＝90°﹣35°＝55°，
∴∠BEF＝180°﹣∠CEF＝180°﹣55°＝125°；
（2）∵△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，
∴AB+BC＝14﹣6＝8cm，
∵AB＝AE＝CE，BD＝DE，
∴AB+BD+CD＝8cm，
∴DC＝4cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
23．如图，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF．试说明：EB∥CF．
【分析】先由平行线的性质得出∠3＝∠4，再证明△ABO≌△DCO（ASA），可得AB＝CD，继而证明△ABE≌△DCF（SAS），根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可．
解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠4，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝CD，
∵∠3＝∠4，
∴∠CDF＝∠BAE，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠E＝∠F，
∴EB∥CF．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 SAS ．
（2）求得AD的取值范围是 1＜AD＜7 ．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[问题解决]（3）如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN，求证：BM+CN＞MN．
【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性质得出BF＝CN，由线段垂直平分线的性质得出MF＝MN，在△BFM中，由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
（3）证明：如图2中，延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF、MF，
同（1）得：△BFD≌△CND（SAS），
∴BF＝CN，
∵DM⊥DN，FD＝ND，
∴MF＝MN，
在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF，
∴BM+CN＞MN．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、角的关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．
2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市拜泉三中八年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（每题3分）
1．中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，6，11 C．4，6，10 D．5，8，14
4．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
5．等腰三角形一个角的度数为50°，则顶角的度数为（ ）
A．50° B．80° C．65° D．50°或80°
6．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
7．到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
8．如图，点A的坐标为（2，2），若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P个数是（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
9．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2＞∠3+∠4
B．∠1+∠2＜∠3+∠4
C．∠1+∠2＝∠3+∠4
D．数量关系取决于∠C的度数
二、填空题（每题3分）
11．已知如图，已知BD平分∠ADC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
12．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝ cm2．
13．已知如图BD、CE是△ABC的高，∠A＝50°，线段BD、CE相交于点O，则∠BOC＝ ．
14．如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，过点B作BD∥AC交A'C于点D，若∠A'BC＝30°，∠BDC＝140°，则∠A的度数为 ．
15．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 ．
17．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2021为顶点的底角度数是 ．
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C′和△ABC关于x轴对称；
（2）已知△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
19．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8，DE＝6，求BE的长．
20．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
21．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线．求证：DE＝DF．
22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠BEF的度数；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC的长．
23．如图，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF．试说明：EB∥CF．
24．[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
（2）求得AD的取值范围是 ．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[问题解决]（3）如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN，求证：BM+CN＞MN．
参考答案
一、单选题（每题3分）
1．中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各个汉字进行判断即可得解．
解：A、“大”是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、“美”是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“中”是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“国”不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．
解：设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k＝180°，
解得k＝20°，
所以，最大的角为4×20°＝80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，6，11 C．4，6，10 D．5，8，14
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：A、2+3＞4，能组成三角形；
B、3+6＜11，不能组成三角形；
C、4+6＝10，不能组成三角形；
D、5+8＜14，不能够组成三角形．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
解：多边形的边数为：360÷30＝12，
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
5．等腰三角形一个角的度数为50°，则顶角的度数为（ ）
A．50° B．80° C．65° D．50°或80°
【分析】等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
解：（1）当50°角为顶角，顶角度数为50°；
（2）当50°为底角时，顶角＝180°﹣2×50°＝80°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），即横坐标不变，纵坐标变成相反数，即可得出答案．
解：根据关于x轴的对称点横坐标不变，纵坐标变成相反数，
∴点P（1，﹣2）关于x轴对称点的坐标为（1，2），
故选：A．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，难度较小．
7．到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
【分析】根据OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，得出O在∠A的平分线上，同理得出O也在∠B、∠C的平分线上，即可得出O是三条角平分线的交点．
解：∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，
∴O在∠A的平分线上，
同理O在∠B的平分线上，
O在∠C的平分线上，
即O是三条角平分线的交点，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的中线，角平分线，垂直平分线，高等知识点，注意：三角形的三个角的平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
8．如图，点A的坐标为（2，2），若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P个数是（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】等腰三角形要判断腰长的情况，本题可根据OA是底边、腰几种情况着手进行讨论即可得出答案．
解：已知点A的坐标为（2，2），则△OAP的边OA＝2，这条边可能是底边也可能是腰．
①当OA是底边时，点P是OA的垂直平分线与坐标轴的交点，这两个点的坐标是（2，0）和（0，2）；
②当OA是腰时，当O是顶角顶点时，以O为圆心，以OA为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是（2，0），（﹣2，0），（0，2），（0，﹣2）；
③当A是顶角顶点时，以A为圆心，以AO为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是（4，0），（0，4）．
故满足条件的点P共有8个．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质；分情况进行讨论，能够把各种情况能够讨论全是解决本题的关键．
9．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
解：把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变，因而具有稳定性的是C．故选：C．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等．因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
10．如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的数量关系为（ ）
A．∠1+∠2＞∠3+∠4
B．∠1+∠2＜∠3+∠4
C．∠1+∠2＝∠3+∠4
D．数量关系取决于∠C的度数
【分析】根据三角形内角和定理依据对顶角相等，即可得到∠1+∠2＝∠3+∠4．
解：∵∠1+∠2＝180°﹣∠C，
∠3+∠4＝∠CEF+∠CFE＝180°﹣∠C，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是180°．解决问题的关键是运用对顶角相等，得到∠3+∠4＝∠CEF+∠CFE．
二、填空题（每题3分）
11．已知如图，已知BD平分∠ADC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 AB＝CB或∠ADB＝∠CDB或∠A＝∠C（答案不唯一） ．（只需写一个，不添加辅助线）
【分析】由已知BD平分∠ADC，得出∠ABD＝∠CBD，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②ASA．③AAS，所以可添AB＝CB或∠ADB＝∠CDB或∠A＝∠C．
解：答案不唯一．
①添加AB＝CB．利用SAS得出△ABD≌△CBD（SAS）；
②添加∠ADB＝∠CDB．利用ASA得出△ABD≌△CBD（ASA）；
③添加∠A＝∠C．利用AAS得出△ABD≌△CBD（AAS）；
故答案为：AB＝CB或∠ADB＝∠CDB或∠A＝∠C（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．
12．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝ 1 cm2．
【分析】根据三角形的面积公式，知△BCE的面积是△ABC的面积的一半，进一步求得阴影部分的面积是△BEC的面积的一半．
解：∵点E是AD的中点，
∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD的面积的一半．
则△BCE的面积是△ABC的面积的一半，即为2cm2．
∵点F是CE的中点，
∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm2．
【点评】此题主要是根据三角形的面积公式，知三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分．
13．已知如图BD、CE是△ABC的高，∠A＝50°，线段BD、CE相交于点O，则∠BOC＝ 130° ．
【分析】因为BD、CE均为△ABC的高，则有AEC＝∠ADB＝∠BDC＝90°；又知∠A＝50°，可根据三角形的内角和定理得到∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，最后依据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，得到∠BOC＝∠BDC+∠ACE＝90°+40°＝130°．
解：∵BD、CE均为△ABC的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°．
则∠BOC＝∠BDC+∠ACE＝90°+40°＝130°．
故答案为：130°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理．解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
14．如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，过点B作BD∥AC交A'C于点D，若∠A'BC＝30°，∠BDC＝140°，则∠A的度数为 130° ．
【分析】根据翻折变换得出∠ABC＝∠A′BC＝30°，∠ACB＝∠A′CB，根据平行线的性质得出∠ACD+∠BDC＝180°，求出∠ACD＝40°，求出∠ACB＝∠A′CB＝20°，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
解：∵将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，∠A'BC＝30°，
∴∠ABC＝∠A′BC＝30°，∠ACB＝∠A′CB，
∵BD∥AC，
∴∠ACD+∠BDC＝180°，
∵∠BDC＝140°，
∴∠ACD＝40°，
∴∠ACB＝∠A′CB＝20°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣20°＝130°，
故答案为：130°．
【点评】本题考查了翻折变换问题、三角形内角和定理，平行线的性质等知识点，能根据翻折变换得出∠ABC＝∠A′BC和∠ACB＝∠A′CB是解此题的关键．
15．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 3 cm．
【分析】由题意得AE＝A′E，AD＝A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD＝A′D，AE＝A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
＝BC+BD+CE+AD+AE，
＝BC+AB+AC，
＝3cm．
故答案为：3．
【点评】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 20°或70° ．
【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为50，则顶角是40°，因而底角是70°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD＝40°，BD⊥CD，
故∠BAD＝40°，
所以∠B＝∠C＝20°，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为20°或70°．
故答案为：20°或70°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
17．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2021为顶点的底角度数是 （）2020×75° ．
【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B＝30°，A1B＝CB，得∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°，那么∠BA1C＝×150°＝75°．由A1A2＝A1D，得∠DA2A1＝∠A1DA2．根据三角形外角的性质，由∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1，得∠DA2A1＝∠BA1C＝××150°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
解：∵∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°．
∴2∠BA1C＝150°．
∴∠BA1C＝×150°＝75°．
∵A1A2＝A1D，
∴∠DA2A1＝∠A1DA2．
∴∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1．
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝××150°．
同理可得：∠EA3A2＝∠DA2A1＝×××150°．
∠FA4A3＝∠EA3A2＝××××150°＝．
……
以此类推，以An为顶点的内角度数是∠An＝（）n×150°＝（）n﹣1×75°．
∴第2021个三角形中以A2021为顶点的底角度数是（）2020×75°．
故答案为：（）2020×75°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C′和△ABC关于x轴对称；
（2）已知△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）∵△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，
∴点A1（﹣4，0），B1（1，4），C1（3，1）．
（3）△ABC的面积为7×4﹣﹣﹣＝．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8，DE＝6，求BE的长．
【分析】根据AAS证明△ACD≌△CBE得出BE＝CD，AD＝CE＝8，即可求解．
解：∵∠ACB＝90°，∠E＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴BE＝CD，AD＝CE＝8，
又∵DE＝6，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝8﹣6＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；
（2）依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）进行计算即可．
解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
21．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线．求证：DE＝DF．
【分析】证明△ADE≌△ADF即可，然后可得DF＝DE．
【解答】证明：如图，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠1＝∠2，
∵DE、DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝∠ADB＝45°，∠ADF＝∠ADC＝45°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（ASA），
∴DF＝DE．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、全等三角形的判定与性质，比较基础．对于全等三角形的证明，差什么条件就去寻找什么条件，如果条件不是明显的，则先通过推导得出所需要的条件．
22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠BEF的度数；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC的长．
【分析】（1）根据AD⊥BC，BD＝DE，可知AD垂直平分BE，根据线段垂直平分线的性质可得∠AEB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得∠C＝∠EAC，根据三角形外角的性质即可求出∠C的度数，利用直角三角形的两锐角互余求出∠CEF的度数，即可求解；
（2）根据△ABC的周长可得AB+BC的长，根据AB＝AE＝CE，BD＝DE，即可求出DC的长．
解：（1）AD⊥BC，BD＝DE，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AEB＝70°，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC＝35°，
∴∠CEF＝90°﹣35°＝55°，
∴∠BEF＝180°﹣∠CEF＝180°﹣55°＝125°；
（2）∵△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，
∴AB+BC＝14﹣6＝8cm，
∵AB＝AE＝CE，BD＝DE，
∴AB+BD+CD＝8cm，
∴DC＝4cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
23．如图，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF．试说明：EB∥CF．
【分析】先由平行线的性质得出∠3＝∠4，再证明△ABO≌△DCO（ASA），可得AB＝CD，继而证明△ABE≌△DCF（SAS），根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可．
解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠4，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝CD，
∵∠3＝∠4，
∴∠CDF＝∠BAE，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠E＝∠F，
∴EB∥CF．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 SAS ．
（2）求得AD的取值范围是 1＜AD＜7 ．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
[问题解决]（3）如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN，求证：BM+CN＞MN．
【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性质得出BF＝CN，由线段垂直平分线的性质得出MF＝MN，在△BFM中，由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
（3）证明：如图2中，延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF、MF，
同（1）得：△BFD≌△CND（SAS），
∴BF＝CN，
∵DM⊥DN，FD＝ND，
∴MF＝MN，
在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF，
∴BM+CN＞MN．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、角的关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．
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