2022-2023学年浙江省宁波市海曙区部分学校九年级（上）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年浙江省宁波市海曙区部分学校九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共10小题，共40分）若，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是(    )A. 小亮明天的进球率为 B. 小亮明天每射球次必进球次
C. 小亮明天有可能进球 D. 小亮明天肯定进球如图，内接于，，连接，则(    )A.
B.
C.
D. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的表达式为  (    )A.  B.
C.  D. 函数的图象如图所示，则选项中函数的图象正确的是(    )A.
B.
C.
D. 下列语句中，正确的有(    )
相等的圆心角所对的弧相等；
等弦对等弧；
长度相等的两条弧是等弧；
经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A. 个 B. 个 C. 个 D. 个如图，正五边形内接于，连接，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 已知点是的重心，连结，过点作交于点，若的面积为，则的面积为(    )
A.  B.  C.  D. 二次函数，当时，则(    )A.  B.  C.  D. 如图，为的直径，，点是上方半圆上的一点，点是下方半圆上的中点．连接，，，过点作交的延长线于点若，则当下列哪种情况时，取得最大值(    )
 A. 取最大值时 B. 时 C. 时 D. 时二、填空题（本大题共6小题，共30分）已知线段，线段，则线段，的比例中项线段长为______．下表是某种幼苗在一定条件下移植后成活率的试验结果．移植总数成活数成活的频率则在相同条件下这种幼苗可成活的概率可估计为______．如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等．现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是______．
 如图，一张扇形纸片的圆心角为，半径为将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为______．
 二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且为直角三角形，则______．如图，在平行四边形中，以为直径的与边的中点交于点，与对角线交于点，作，垂足为若，则的值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共80分）如图，有四张背面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．

从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；
小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法或树状图说明理由纸牌用、、、表示．如图，在中，，分别是边，上的点，连接，且．
求证：∽；
如果是的中点，，，求的长．
已知函数的图象与轴交于点和．
写出它与轴交点的坐标，并求出它的函数表达式．
求它的顶点坐标．如图，为的直径，是弦，且于点连接、、．
求证：；
若，，求弦的长．
如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论．
将绕点按顺时针方向旋转，得到，请在图中作出C.
在图中，在所在直线的左侧画，使得．
在图中，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使得．某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量本与每本纪念册的售价元之间满足一次函数关系：当销售单价为元时，销售量为本；当销售单价为元时，销售量为本．
请直接写出与的函数关系式；
当文具店每周销售这种纪念册获得元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？如图，设抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点为该抛物线第四象限上的一点，过作轴交于点．
求直线的解析式；
求线段的最大值；
当面积最大时，求点的坐标；
当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
 如图，为的弦，是优弧上的动点，交于点，交于点，作，交于点，交于点，交于点，连结．
当时，求的大小；
当时，求证：；
当，时，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解．
解：，
设，，
．
故选：．
本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设法”求解更简便．
 2.【答案】 【解析】解：根据以往比赛数据统计，小亮进球率为，他明天将参加一场比赛小亮明天有可能进球．
故选：．
直接利用概率的意义分析得出答案．
此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
 3.【答案】 【解析】解：如图，连接，

，
，
，
．
故选：．
根据圆周角定理可得的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解．
此题综合运用了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题．
先把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律得到把点平移后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式．
【解答】解：因为，
所以抛物线的顶点坐标为，把点向左平移个单位，再向上平移个单位所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线的函数表达式为．
故选D．
   5.【答案】 【解析】解：由的图象可得，
，，，
函数，
该函数的图象开口向下，顶点坐标为，且该函数图象的顶点在第一象限，
故选：．
先根据的图象得到、、的正负情况，然后即可得到函数的图象的开口方向，顶点坐标，解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中图象符合题意．
本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，求出、、的正负情况，利用二次函数的性质解答．
 6.【答案】 【解析】解：相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．
等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．
长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．
经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．
故选：．
根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识，解题的关键是理解基本概念，属于中考常考题型．
 7.【答案】 【解析】解：在正五边形中，，，
，
．
故选：．
由正五边形的性质可知是等腰三角形，求出的度数即可解决问题．
本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题是基础题，比较简单．
 8.【答案】 【解析】解：连接并延长交于，如图，
点是的重心，
，
，
，
，
，
而，
，
，
为中线，
．
故选：．
连接并延长交于，如图，利用三角形重心性质得到，则利用平行线分线段成比例得到，再根据三角形面积公式得到，则，接着求出，从而得到，然后利用为中线得到．
本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了平行线分线段成比例定理和三角形面积公式．
 9.【答案】 【解析】解：二次函数，
该抛物线的对称轴为直线，且，
当时，二次函数有最大值为，

当时，二次函数有最小值为：，
综上所述，二次函数，当时，，
故选：．
先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向下，再根据变量在的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值，即可确定的取值范围．
本题考查了二次函数对称轴的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：连接，
是圆的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
当最大时，有最大值，
故选：．
连接，由已知先证明∽，从而得到，再由的最大决定的最大即可求解．
本题考查圆的相关计算，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定及性质，直径所对的角是直角，勾股定理是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：设它们的比例中项是，根据题意得：
，
解得线段是正数，负值舍去，
则线段，的比例中项线段长为．
故答案为：．
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
此题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
 12.【答案】 【解析】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
这种幼苗可成活的概率可估计为，
故答案为：．
概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
 13.【答案】 【解析】解：列表如下：    由表知，指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的有种结果，
指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率为：，
故答案为：．
先用列表法得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 14.【答案】 【解析】解：连接，如图，
扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，
半径为，
，
，
，
，，
由弧、线段和所围成的图形的面积，
阴影部分的面积．
故答案为．
连接，如图，利用折叠性质得由弧、线段和所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，，则，，从而得到，，然后根据扇形面积公式，利用由弧、线段和所围成的图形的面积，能进而求出答案．
本题考查了扇形面积的计算和翻折变换．
 15.【答案】 【解析】解：的图象与轴交于，两点，与轴交于点，
，两点坐标为，
当时，，
点坐标为，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
或舍去，
．
故答案为：．
首先根据抛物线的解析式求出、、三点坐标，然后利用勾股定理即可求解．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，同时也利用了勾股定理，有一定的综合性．
 16.【答案】 【解析】解：如图，连接，，设与交于点，

是直径，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
设，则，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，，设与交于点，由圆周角定理得，则，可得，再说明，利用∽，得，表示出的长，进而解决问题．
本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用∽表示出的长是解题的关键．
 17.【答案】解：共有张牌，正面是中心对称图形的情况有种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是；

列表得：     共产生种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有种，
两张都是轴对称图形，因此这个游戏公平． 【解析】首先根据题意结合概率公式可得答案；
首先根据已知列表，求得摸出两张牌面图形的形状，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平．
本题考查的是游戏公平性的判断，以及概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
 18.【答案】解：，，
∽；
由可知：∽，
，
点是的中点，设，
，
，，
，
解得：，舍去，
． 【解析】根据相似三角形的判定即可求证．
由于点是的中点，设，根据相似三角形的性质可知，从而列出方程解出的值．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
 19.【答案】解：函数的图象与轴交于点和，
，
，
，
当时，，
与轴交点的坐标为；

，
它的顶点坐标为 【解析】首先利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用解析式即可求出与轴交点坐标；
利用配方法或者公式即可求出它的顶点坐标．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，同时也利用了待定系数法求抛物线的解析式，有一定的综合性．
 20.【答案】证明：为的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，，
，
，，
在中，，
． 【解析】先根据圆周角定理得到，再利用等角的余角相等得到，然后利用得到；
先根据垂径定理得到，再计算出，，则利用勾股定理可计算出，从而得到的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
 21.【答案】解：如图，即为所求；

如图，点或即为所求；
如图，点即为所求．
 【解析】利用旋转的定义分别作出点、旋转后所得对应点，再与点首尾顺次连接即可；
由图可知：，结合网格特点求解即可；
可构造∽，，，，利用相似三角形的判定与性质，结合网格求解即可．
本题主要考查作图，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及相似三角形的判定和性质．
 22.【答案】解：设，
把与代入得：，
解得：，
则；
设当文具店每周销售这种纪念册获得元的利润时，每本纪念册的销售单价是元，
根据题意得：，
则，
整理得：，
，
解得：，，
，
不合题意舍去，
答：每本纪念册的销售单价是元；
由题意可得：

，
此时当时，最大，
又售价不低于元且不高于元，
时，随的增大而增大，即当时，元，
答：该纪念册销售单价定为元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是元． 【解析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每本的利润得出函数关系式是解题关键
设，根据题意，利用待定系数法确定出与的函数关系式即可；
根据题意结合销量每本的利润，进而求出答案；
根据题意结合销量每本的利润，进而利用二次函数增减性求出答案．
．
 23.【答案】解：令，则，
或，
，，
令，则，
，
设直线的解析式为，将，代入，得
，
解得，
直线的解析式为；
设，则，
的最大值为；
，
由知，当时，此时；
，且，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
．
设．
当时，得，
，
轴，轴，
点，
令，则，
解得或，
；
当时，，有，
解得或舍，
；
当时，，
解得或舍，
，
为等腰三角形时，点或或 【解析】由题意先求出，，两点的坐标，代入中即可求得；
设，两点横坐标相同，则两点距离即为纵坐标差值的绝对值，，有顶点式即可求出最大值．
，当，面积最大，此时
分三种情况进行讨论，；；三种情况，分别求解即可．
本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数表达式，正确代入数据进行计算是解决本题的关键．
 24.【答案】解：如图，过点作于点，设的半径为，

，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：如图，连接、、，

，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：，，，，
，
，
，
，
，
，
连接，，如图：

，
设，
由可知，
是直径，根据对称性可得，
设，，
，
，
，
弄直平分，
又，
垂直平分 ，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
又，
，即，
，
，
，，，，
，
，
即 ，
，
整理，得，
同时除以，得，
解得负值舍去，
即． 【解析】连接，根据已知条件证明，再多次运用勾股定理求出即可；
连接，，，根据和其他已知条件证，则，再由垂直平分线的性质的性质得，即，再证，在由两直线平行内错角相等和圆周角的性质可得出，从而证出；
根据题意，得出，结合的结论，连接，，证明四边形是菱形，设，，，根据菱形的性质得出，由，得出，根据半径相等列出方程程，解方程即可求解．
本题考查了圆周角定理，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，解一元二次方程，平行线分线段成比例，综合运用以上知识是解题的关键．