2022年青岛版山东省泰安市中考数学试卷

这是一份2022年青岛版山东省泰安市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）计算的结果是　　
A． B．3 C． D．12
2．（4分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
3．（4分）下列图形：

其中轴对称图形的个数是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（4分）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为　　
A．度 B．度 C．度 D．度
5．（4分）如图，，点在直线上，点在直线上，，，．则的度数是　　

A． B． C． D．
6．（4分）如图，是的直径，，，，则的半径为　　

A． B． C． D．
7．（4分）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是　　

A．最高成绩是9.4环 B．平均成绩是9环
C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7
8．（4分）如图，四边形中，，，交于点，以点为圆心，为半径，且的圆交于点，则阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．
9．（4分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：



0
1

0
4
6
6
下列结论不正确的是　　
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与轴的一个交点坐标为
D．函数的最大值为
10．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是　　
A． B． C． D．
11．（4分）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点为的中点，连接并延长交于点，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是　　

A．4 B．3 C．2 D．1
12．（4分）如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为　　

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）计算：　　．
14．（4分）如图，四边形为平行四边形，则点的坐标为 　　．

15．（4分）如图，在中，，过点、，与交于点，与相切于点，若，则　　．

16．（4分）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为 　　（结果精确到．

17．（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则表示99的有序数对是 　　．

18．（4分）如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，则的长度为 　　．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（10分）（1）化简：；
（2）解不等式：．
20．（10分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 　　名学生的成绩，频数分布直方图中　　，所抽取学生成绩的中位数落在 　　组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．


21．（10分）如图，点在第一象限，轴，垂足为，，，反比例函数的图象经过的中点，与交于点．
（1）求值；
（2）求的面积．

22．（10分）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了种茶30盒，种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了，该店又购进了种茶20盒，种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的、两种茶每盒的价格．
23．（12分）如图，矩形中，点在上，，与相交于点，与相交于点．
（1）若平分，求证：；
（2）找出图中与相似的三角形，并说明理由；
（3）若，，求的长度．

24．（12分）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与轴的另一交点为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点在直线上，且在第四象限，过点作轴于点．
①若点在线段上，且，求点的坐标；
②以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标．


25．（14分）问题探究
（1）在中，，分别是与的平分线．
①若，，如图1，试证明；
②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图3，试探究线段，，之间的等量关系，并证明．



2022年山东省泰安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）计算的结果是　　
A． B．3 C． D．12
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式
．
故选：．
2．（4分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据合并同类项判断选项；根据同底数幂的乘法判断选项；根据同底数幂的除法判断选项；根据完全平方公式判断选项．
【解答】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
3．（4分）下列图形：

其中轴对称图形的个数是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据图形对称的定义判定就行．
【解答】解：（1）是轴对称图形；
（2）是轴对称图形；
（3）不是轴对称图形；
（4）是轴对称图形；
故选：．
4．（4分）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为　　
A．度 B．度 C．度 D．度
【分析】根据1万，然后写成科学记数法的形式：，其中，为正整数即可．
【解答】解：44.8万，
故选：．
5．（4分）如图，，点在直线上，点在直线上，，，．则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】利用等腰三角形的性质得到，利用平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：如图，

，，
，
，，
，
，
．
故选：．
6．（4分）如图，是的直径，，，，则的半径为　　

A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理及推论解答即可．
【解答】解：连接并延长交于点，连接，
，
，
，
，
，
是直径，
，
在中，，，
，
的半径为．
故选：．

7．（4分）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是　　

A．最高成绩是9.4环 B．平均成绩是9环
C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7
【分析】根据题意分别求出这组数据的平均数、众数和方差即可判断．
【解答】解：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项不合题意；
平均成绩是（环，故选项不合题意；
这组成绩的众数是9环，故选项不合题意；
这组成绩的方差是，故选项符合题意．
故选：．
8．（4分）如图，四边形中，，，交于点，以点为圆心，为半径，且的圆交于点，则阴影部分的面积为　　

A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．
【解答】解：，，交于点，
，
，
，
，
过点作交于点，
，，
，，
，
阴影部分的面积，
故选：．

9．（4分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：



0
1

0
4
6
6
下列结论不正确的是　　
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与轴的一个交点坐标为
D．函数的最大值为
【分析】根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：由表格可得，
，
解得，
，
该抛物线的开口向下，故选项正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线，故选项正确，不符合题意，
当时，，
当时，，故选项错误，符合题意；
函数的最大值为，故选项正确，不符合题意；
故选：．
10．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是　　
A． B． C． D．
【分析】设这批椽的数量为株，则一株椽的价钱为文，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
一株椽的价钱为文．
依题意得：．
故选：．
11．（4分）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点为的中点，连接并延长交于点，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是　　

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【解答】解：点为的中点，
，
又，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
即，故①正确；
在平行四边形中，，，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，点为的中点，
，
平行四边形是菱形，故③正确；
，
在中，，
，故②正确；
在平行四边形中，，
又点为的中点，
，故④正确；
正确的结论由4个，
故选：．
12．（4分）如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为　　

A． B． C． D．
【分析】如图，取的中点，连接，．证明，推出，点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的．利用勾股定理求出，可得结论．
【解答】解：如图，取的中点，连接，．

四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的．
，
，
的最小值为．
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）计算：　　．
【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．
【解答】解：原式

，
故答案为：．
14．（4分）如图，四边形为平行四边形，则点的坐标为 　　．

【分析】直接根据平移的性质可解答．
【解答】解：四边形为平行四边形，且，，
点是点向左平移4个单位所得，
，
．
故答案为：．
15．（4分）如图，在中，，过点、，与交于点，与相切于点，若，则　　．

【分析】连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：连接，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
故答案为：．

16．（4分）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，已知窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为 　　（结果精确到．

【分析】本题涉及遮阳棚的计算问题，光线是平行光线，所以在直角三角形中，知道一个锐角的度数，一条边的长度，可以运用直角三角形边角的关系解决问题．
【解答】解：根据图形可知．
，，
在中，，，
．
，，，
，
在中，，，
．
答：的长度约为．
故答案为：．
17．（4分）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示6，则表示99的有序数对是 　　．

【分析】根据第行的最后一个数是，第行有个数即可得出答案．
【解答】解：第行的最后一个数是，第行有个数，
在第10行倒数第二个，
第10行有：个数，
的有序数对是．
故答案为：．
18．（4分）如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，则的长度为 　2　．

【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，可得，设，则，，然后根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接，

四边形为正方形，
，，
点是的中点，
，
由翻折可知：，，，
，，
在和中，
，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得．
则的长度为2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（10分）（1）化简：；
（2）解不等式：．
【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法；
（2）根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1”的步骤解一元一次不等式．
【解答】解：（1）原式



；
（2），
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：．
20．（10分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 　400　名学生的成绩，频数分布直方图中　　，所抽取学生成绩的中位数落在 　　组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．


【分析】（1）由组的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生成绩，即可解决问题；
（2）求出组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；
（3）由学校共有学生人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生总人数为：（名，
组的人数为：（名，
，
所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，，
所抽取学生成绩的中位数落在组，
故答案为：400，60，；
（2）组的人数为：（人，
补全学生成绩频数分布直方图如下：

（3）（人，
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；
（4）画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，
抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为．
21．（10分）如图，点在第一象限，轴，垂足为，，，反比例函数的图象经过的中点，与交于点．
（1）求值；
（2）求的面积．

【分析】（1）先根据，可得，根据，由此可得的坐标，由是的中点，可得点的坐标，从而得的值；
（2）先求点的坐标，根据面积差可得结论．
【解答】解：（1），，
，
，
由勾股定理得：，
，，
，
是的中点，
，
；
（2）当时，，
，
，


．
22．（10分）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了种茶30盒，种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了，该店又购进了种茶20盒，种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的、两种茶每盒的价格．
【分析】设第一次购进种茶的价格为元盒，种茶的价格为元盒，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设第一次购进种茶的价格为元盒，种茶的价格为元盒，
依题意得：，
解得：．
答：第一次购进种茶的价格为100元盒，种茶的价格为150元盒．
23．（12分）如图，矩形中，点在上，，与相交于点，与相交于点．
（1）若平分，求证：；
（2）找出图中与相似的三角形，并说明理由；
（3）若，，求的长度．

【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得，从而求证；
（2）根据相似三角形的判定进行分析判断；
（3）利用相似三角形的性质分析求解．
【解答】（1）证明：如图，

在矩形中，，，，
，，
，
，
又平分，
，
，
，
；
（2）解：与相似的三角形有，，，理由如下：
由（1）可得，，
，
，
，，
，
，，
；
（3）解：，
，
，即，
①，
，
，
，
②，
联立①②，可得（负值舍去），
．
24．（12分）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与轴的另一交点为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点在直线上，且在第四象限，过点作轴于点．
①若点在线段上，且，求点的坐标；
②以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标．


【分析】（1）利用待定系数法求出，，即可；
（2）①求出直线的解析式为，因为，关于直线对称，推出，设，则，，根据，构建方程求解；
②如图2中，连接，交于点．设，则点，利用正方形的性质求出点的坐标，代入抛物线的解析式，构建方程求解．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，
，
对称轴为直线，经过，
，
解得，
抛物线的解析式为；

（2）①如图1中，

设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为，
，关于直线对称，
，
设，
轴，
，
，
，
，
，
点，；

②如图2中，连接，交于点．设，则点，

四边形是正方形，
，，，
轴，
，
，
，
，
点在抛物线上，
，
解得，，
点在第四象限，
舍去，
，
点坐标为，．


25．（14分）问题探究
（1）在中，，分别是与的平分线．
①若，，如图1，试证明；
②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图3，试探究线段，，之间的等量关系，并证明．


【分析】（1）①证明是等边三角形，可得结论；
②结论成立．如图2中，设交于点，在上取一点，使得，连接．证明，推出，再证明，推出，可得结论；
（2）结论：．如图3中，作点关于的对称点，连接，．证明满足②条件，利用②中结论解决问题．
【解答】（1）①证明：如图1中，

，，
是等边三角形，
，
，分别平分，，
点，分别是，的中点，
，，
；

②解：结论成立．
理由：如图2中，设交于点，在上取一点，使得，连接．

，
，
，分别平分，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
；

（2）解：结论：．
理由：如图3中，作点关于的对称点，连接，．

四边形是圆内接四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
由②可知，
，
．
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