2022年湘教版湖南省岳阳市中考数学试卷

这是一份2022年湘教版湖南省岳阳市中考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．（3分）8的相反数是　　
A． B．8 C． D．
2．（3分）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是　　

A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
3．（3分）下列运算结果正确的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量（单位：袋）分别为：105，103，105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是　　
A．105，108 B．105，105 C．108，105 D．108，108
5．（3分）如图，已知，于点，若，则的度数是　　


A． B． C． D．
6．（3分）下列命题是真命题的是　　
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
7．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为　　
A．25 B．75 C．81 D．90
8．（3分）已知二次函数为常数，，点，是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是　　
A．或 B． C．或 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）要使有意义，则的取值范围是 　　．
10．（4分）2022年5月14日，编号为的大飞机首飞成功．数据显示，大飞机的单价约为653000000元，数据653000000用科学记数法表示为 　　．
11．（4分）如图，在中，，于点，若，则　　．

12．（4分）分式方程的解为　　．
13．（4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　　．
14．（4分）聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：（节日文化篇），（安全防疫篇），（劳动实践篇），（冬奥运动篇）．下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则类作业有 　　份．

15．（4分）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为 　　米（结果保留整数，参考数据：．

16．（4分）如图，在中，为直径，，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且．
（1）若，则的长为 　　（结果保留；
（2）若，则　　．

三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）已知，求代数式的值．
19．（8分）如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形．
（1）你添加的条件是 　　（填序号）；
（2）添加了条件后，请证明为菱形．

20．（8分）守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”的新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．
（1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为 　　；
（2）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率．

21．（8分）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集．

22．（8分）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买，两种跳绳若干．若购买3根种跳绳和1根种跳绳共需140元；若购买5根种跳绳和3根种跳绳共需300元．
（1）求，两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买，两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买种跳绳多少根？
23．（10分）如图，和的顶点重合，，，，．
（1）特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：　　，直线与直线的位置关系是 　　；
（2）探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．


24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．
①求点和点的坐标；
②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值．



2022年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1．（3分）8的相反数是　　
A． B．8 C． D．
【分析】根据相反数的意义求解即可．
【解答】解：8的相反数是，
故选：．
2．（3分）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是　　

A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【分析】根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．
【解答】解：选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；
选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；
选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；
选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；
故选：．
3．（3分）下列运算结果正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据合并同类项判断选项；根据同底数幂的除法判断选项；根据同底数幂的乘法判断选项；根据幂的乘方判断选项．
【解答】解：选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
4．（3分）某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量（单位：袋）分别为：105，103，105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是　　
A．105，108 B．105，105 C．108，105 D．108，108
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为103，105，105，105，108，108，110，
这组数据出现次数最多的是105，
所以众数为105，
最中间的数据是105，
所以中位数是105，
故选：．
5．（3分）如图，已知，于点，若，则的度数是　　


A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在中，，，
则，
，
，
故选：．

6．（3分）下列命题是真命题的是　　
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
【分析】根据对顶角性质判断，根据平行四边形的性质判断，根据三角形的内心定义判断，根据全等三角形的判定定理判断．
【解答】解：．对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故选项符合题意；
．菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故选项不符合题意；
．三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故选项不符合题意；
．三角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项不符合题意；
故选：．
7．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为　　
A．25 B．75 C．81 D．90
【分析】设城中有户人家，利用鹿的数量城中人均户数城中人均户数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设城中有户人家，
依题意得：，
解得：，
城中有75户人家．
故选：．
8．（3分）已知二次函数为常数，，点，是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是　　
A．或 B． C．或 D．
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【解答】解：二次函数，
对称轴为，抛物线与轴的交点为，
点，是该函数图象上一点，当时，，
①当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
②当时，对称轴，
当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）要使有意义，则的取值范围是 　　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
10．（4分）2022年5月14日，编号为的大飞机首飞成功．数据显示，大飞机的单价约为653000000元，数据653000000用科学记数法表示为 　　．
【分析】利用科学记数法的定义解决．
【解答】解：．
故答案为：．
11．（4分）如图，在中，，于点，若，则　3　．

【分析】根据等腰三角形的性质可知是的中点，即可求出的长．
【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：3．
12．（4分）分式方程的解为　2　．
【分析】去分母，移项、合并同类项，再求所求的根进行检验即可求解．
【解答】解：，
，
，
经检验是方程的解，
故答案为：2．
13．（4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　　．
【分析】根据判别式的意义得到△，然后解不等式求出的取值即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
14．（4分）聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：（节日文化篇），（安全防疫篇），（劳动实践篇），（冬奥运动篇）．下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则类作业有 　20　份．

【分析】由条形统计图可得，，类作业分别有25份，30份，25份，由扇形统计图可得类作业份数占总份数的，可得总份数为100份，减去，，类作业的份数即可求解．
【解答】解：类作业有30份，且类作业份数占总份数的，
总份数为：（份，
，类作业分别有25份，25份，
类作业的份数为：（份，
故答案为：20．
15．（4分）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为 　87　米（结果保留整数，参考数据：．

【分析】过点作，垂足为，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再根据米，列出关于的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，

设米，
在中，，
（米，
在中，，
（米，
米，
，
，
，
米，
点到赛道的距离约为87米，
故答案为：87．

16．（4分）如图，在中，为直径，，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且．
（1）若，则的长为 　　（结果保留；
（2）若，则　　．

【分析】（1）利用弧长公式求解；
（2）解直角三角形求出，，，再利用相似三角形的性质求出，，可得结论．
【解答】解：（1），
的长，
故答案为：．

（2）连接．

是切线，是直径，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：


．
18．（6分）已知，求代数式的值．
【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．
【解答】解：


，
，
，
原式．
19．（8分）如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形．
（1）你添加的条件是 　①或③　（填序号）；
（2）添加了条件后，请证明为菱形．

【分析】（1）添加合适的条件即可；
（2）添加①，证，得，再由菱形的判定即可得出结论；添加③，证，得，再由菱形的判定即可得出结论．
【解答】（1）解：添加的条件是或，
故答案为：①或③；
（2）证明：添加①，四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
为菱形；
添加③，四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
为菱形．
20．（8分）守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”的新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．
（1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为 　　；
（2）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率．

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，
则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为，
故答案为：；
（2）将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，
列表如下：

①
②
③
①

②，①
③，①
②
①，②

③，②
③
①，③
②，③

由表知，共有6种等可能结果，其中抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的有2种结果，
所以抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率为．
21．（8分）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集．

【分析】（1）把点代入可得的值，求得反比例函数的解析式；
（2）根据对称性求得、的坐标然后利用三角形面积公式可求解．
（3）根据图象得出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）把点代入得：，
，
反比例函数的解析式为；

（2）反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，
，
点是点关于轴的对称点，
，
，
．

（3）根据图象得：不等式的解集为或．
22．（8分）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买，两种跳绳若干．若购买3根种跳绳和1根种跳绳共需140元；若购买5根种跳绳和3根种跳绳共需300元．
（1）求，两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买，两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买种跳绳多少根？
【分析】（1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．由题意：若购买3根种跳绳和1根种跳绳共需140元；若购买5根种跳绳和3根种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买种跳绳根，则购买种跳绳根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．
根据题意得：，
解得：，
答：种跳绳的单价为30元，种跳绳的单价为50元．
（2）设购买种跳绳根，则购买种跳绳根，
由题意得：，
解得：，
答：至多可以购买种跳绳20根．
23．（10分）如图，和的顶点重合，，，，．
（1）特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：　　，直线与直线的位置关系是 　　；
（2）探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．


【分析】（1）解直角三角形求出，，可得结论；
（2）结论不变，证明，推出，，可得结论；
（3）如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点．求出，，可得结论．
【解答】解：（1）在中，，，，
，
在中，，，
，
，，
，此时，
故答案为：，垂直；

（2）结论成立．
理由：，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；

（3）如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点．

，，
，
．
，
，，
当时，四边形是矩形，
，，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．
①求点和点的坐标；
②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值．


【分析】（1）将点和点代入，即可求解；
（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
（3）①通过联立方程组，求出点和点坐标即可；
②求出直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，，则，，可求，，由，分别求出的最大值4，的最大值4，即可求解．
【解答】解：（1）将点和点代入，
，
解得，
；
（2），
抛物线的顶点，
顶点关于原点的对称点为，
抛物线的解析式为，
；
（3）由题意可得，抛物线的解析式为，
①联立方程组，
解得或，
或；
②设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
设，，
则，，
，
，
，，
当时，有最大值4，
当时，有最大值4，
，
当最大时，四边形面积的最大值为16．

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