高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案设计

§4．5．1 函数的零点与方程的解

导学目标：

1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2．掌握零点存在的判定定理．

（预习教材P142~ P144，回答下列问题）

复习1：如何求一元二次方程的实数解呢？

由可得：

当    0，方程有两根，为            ；

当    0，方程有一根，为            ；

当    0，方程无实根．

复习2：一元二次方程的根

与一元二次函数的图象之间有什么关系？

通过上面表格，你有什么发现：                                               ．

【知识点一】函数的零点与方程的解

（1）对于函数，我们把使             的实数叫做函数的       ．

这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图像与轴的交点的横坐标．

（2）函数零点的求法：

代数法：若方程可解，其实数根就是函数的零点．

几何法：若方程难以直接求解，将其改，

进一步改为，在同一坐标系中分别画出两个函数和的图像，两图像交点的横坐标就是函数的零点．

自我检测1-1：函数的图象与轴的交点坐标及其零点分别是            ．

自我检测1-2：函数存在零点吗？若有，你能求出零点吗？

【知识点二】函数零点的存在性定理　

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根．

理解函数零点存在定理需要注意的问题

（1） ①  函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线；

② ，这两个条件缺一不可，否则结论未必成立．

自我检测2-1：函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，

在上存在唯一零点                            

自我检测2-2：函数，你能求出该函数零点的大致范围吗？

【知识点三】常见函数的零点分布情况

题型一　函数零点的概念及求法

【例1-1】下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)

【例1-2】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

①；

②；

③．

题型二 确定函数零点的个数

【例2】判断下列函数零点的个数

（1）                （2）  

（3）                      （4） 

题型三　判断函数的零点所在的大致区间

【例3-1】设是函数的零点，则所在的区间为(　　)

A．                  B．

C．                  D．

【例3-2】已知函数，．若存在2个零点，则的取值范围是(　　)

A．                 B．

C．               D．

题型四　二次型函数的根分布问题

【例4-1】已知函数的零点是和，求函数的零点．

【例4-2】已知二次函数，在下列条件下，求实数的取值范围．

(1)零点均大于1；

(2)一个零点大于1，一个零点小于1；

(3)一个零点在内，另一个零点在内．

1．函数的零点是（    ）

A． B． 

C． D．不存在

2．函数在下列区间内一定有零点的是(　　)

A．                      B．

C．                      D．

3．已知函数唯一的零点在区间，，内，那么下列命题不正确的是(　　)

A．函数在区间或内有零点  B．函数在内无零点

C．函数在内一定有零点        D．函数在内不一定有零点

4．已知，则函数的零点的个数为(　　)

A．1　　　                   　 B．2    

C．3　　　　 D．4

5．若二次函数的两个零点分别是和，则的值为________．

§4．5．1 函数的零点与方程的解答案

导学目标：

1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2．掌握零点存在的判定定理．

（预习教材P142~ P144，回答下列问题）

复习1：如何求一元二次方程的实数解呢？

由可得：

当    0，方程有两根，为            ；

当    0，方程有一根，为            ；

当    0，方程无实根．

复习2：一元二次方程的根

与一元二次函数的图象之间有什么关系？

通过上面表格，你有什么发现：                                               ．

【知识点一】函数的零点与方程的解

（1）对于函数，我们把使             的实数叫做函数的       ．

这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图像与轴的交点的横坐标．

（2）函数零点的求法：

代数法：若方程可解，其实数根就是函数的零点．

几何法：若方程难以直接求解，将其改，

进一步改为，在同一坐标系中分别画出两个函数和的图像，两图像交点的横坐标就是函数的零点．

自我检测1-1：函数的图象与轴的交点坐标及其零点分别是            ．

【答案】，

自我检测1-2：函数存在零点吗？若有，你能求出零点吗？

【答案】存在

【知识点二】函数零点的存在性定理　

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根．

理解函数零点存在定理需要注意的问题

（1） ①  函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线；

② ，这两个条件缺一不可，否则结论未必成立．

自我检测2-1：函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，

在上存在唯一零点                            

自我检测2-2：函数，你能求出该函数零点的大致范围吗？

【答案】

【知识点三】常见函数的零点分布情况

题型一　函数零点的概念及求法

【例1-1】下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)

【例1-2】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

①；

②；

③．

【答案】(1)A　(2) ；没有；．

题型二 确定函数零点的个数

【例2】判断下列函数零点的个数

（1）                （2）  

（3）                      （4） 

【答案】(1)1个　(2) 3个　；（3）1个；（4）3个．

题型三　判断函数的零点所在的大致区间

【例3-1】设是函数的零点，则所在的区间为(　　)

A．                  B．

C．                  D．

【答案】　C

【例3-2】已知函数，．若存在2个零点，则的取值范围是(　　)

A．                 B．

C．               D．

【答案】　C

题型四　二次型函数的根分布问题

【例4-1】已知函数的零点是和，求函数的零点．

【答案】

【例4-2】已知二次函数，在下列条件下，求实数的取值范围．

(1)零点均大于1；

(2)一个零点大于1，一个零点小于1；

(3)一个零点在内，另一个零点在内．

【答案】(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2≤a＜．

即a的取值范围为．

(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞．

即a的取值范围为．

(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得

解得 ＜a＜.

即a的取值范围为.

1．函数的零点是（    ）

A． B． 

C． D．不存在

【答案】C

2．函数在下列区间内一定有零点的是(　　)

A．                      B．

C．                      D．

【答案】C

3．已知函数唯一的零点在区间，，内，那么下列命题不正确的是(　　)

A．函数在区间或内有零点  B．函数在内无零点

C．函数在内一定有零点         D．函数在内不一定有零点

【答案】C

4．已知，则函数的零点的个数为(　　)

A．1　　　                   　 B．2    

C．3　　　　 D．4

【答案】B　

5．若二次函数的两个零点分别是和，则的值为________．．

【答案】