高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案

§4.5.3 函数模型的应用

导学目标：

（1）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；

（2）通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数

（3）了解分段函数、指数函数、对数函数等函数模型的应用.

（预习教材P130~ P135，回答下列问题）

根据以下数据回答：

（1）函数与的交点横坐标所在区间大概为                            

（2）在同一坐标系下作出函数的图像，说一说它们在上的增长情况；

由此可知，在区间上，

指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，

而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．

【知识点一】几类函数模型的增长差异

在区间上，尽管，和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，

随着x的增大，        的增长速度越来越快，会超过并远远大于       的增长速度，

而         的增长速度则越来越慢．

因此，总会存在一个，当时，就有                            ．

三种函数模型的性质如下：

自我检测1：四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：

则关于x呈指数型函数变化的变量是________．

【知识点二】常见的几类函数模型

题型一　函数模型的选择与应用

【例1-1】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.

（1）求森林面积的年增长率；

（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？

（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？

（参考数据：，）

【例1-2】某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

所以，当x∈[10,1 000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润25%.

综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．

题型二　几类函数模型的增长差异

【例2】判断方程有几个实根．

1．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)

A．指数函数：      

B．对数函数：

C．幂函数：        

D．二次函数：

2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)

A．310元   B．300元

C．390元   D．280元

3．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)

A．y＝a(1＋5%x)　　　　　 B．y＝a＋5%

C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x

4．如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法不正确的是(　　)

A．浮萍每月的增长率为1

B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2

C．浮萍每月增加的面积都相等

D．若浮萍蔓延到2 m2,3m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3

5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．

§4.5.3 函数模型的应用

导学目标：

（1）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；

（2）通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数

（3）了解分段函数、指数函数、对数函数等函数模型的应用.

（预习教材P130~ P135，回答下列问题）

根据以下数据回答：

（1）函数与的交点横坐标所在区间大概为                            

（2）在同一坐标系下作出函数的图像，说一说它们在上的增长情况；

由此可知，在区间上，

指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，

而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．

【知识点一】几类函数模型的增长差异

在区间上，尽管，和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，

随着x的增大，        的增长速度越来越快，会超过并远远大于       的增长速度，

而         的增长速度则越来越慢．

因此，总会存在一个，当时，就有                            ．

三种函数模型的性质如下：

自我检测1：四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：

则关于x呈指数型函数变化的变量是________．

【知识点二】常见的几类函数模型

题型一　函数模型的选择与应用

【例1-1】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.

（1）求森林面积的年增长率；

（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？

（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？

（参考数据：，）

【答案】（1）设增长率为，依题意可得

所以即，解得

（2）设已经植树造林年，则

即

解得，故已经植树造林年.

（3）设至少还需要年，则

即即解得

故至少还需要年

【例1-2】某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

【答案】借助信息技术画出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(图1)．观察图象发现，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．

图1

下面通过计算确认上述判断．

先计算哪个模型的资金总数不超过5万元．

对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上单调递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；

对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；

对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10, 1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．

再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1 000]时，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．

令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1 000]，利用信息技术画出它的图象(图2)．

图2

由图象可知函数f(x)在区间[10,1 000]上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.316 7＜0，

即log7x＋1＜0.25x.

所以，当x∈[10,1 000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润25%.

综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．

题型二　几类函数模型的增长差异

【例2】判断方程有几个实根．

【答案】　设y1＝x2，y2＝2x，作出这两个函数的图象，由图象知，方程一定有一个负根，当x＞0时，开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方，但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快，所以存在x0当x＞x0时，y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方，故此时产生一个实根x0，但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快，故存在x1，当x＞x1时，y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方，故又产生一个实根x1，以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了，故再没有实根了，故此方程有三个实根．

1．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)

A．指数函数：      

B．对数函数：

C．幂函数：        

D．二次函数：

【答案】A

2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)

A．310元   B．300元

C．390元   D．280元

【答案】B

3．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)

A．y＝a(1＋5%x)　　　　　 B．y＝a＋5%

C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x

【答案】D

4．如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法不正确的是(　　)

A．浮萍每月的增长率为1

B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2

C．浮萍每月增加的面积都相等

D．若浮萍蔓延到2 m2,3m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3

【答案】C

5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．

【答案】4