2.2.2椭圆的简单几何性质导学案——高二上学期数学人教A版选修2-1

椭圆的简单几何性质(导学案)

一、    学习目标

1. 掌握椭圆的范围，对称性、顶点、离心率等几何性质；
2. 明确椭圆标准方程中a,b以及c,e的几何意义，a,b,c,e之间的相互关系；
3. 能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题.

二、    教学重难点

1、椭圆标准方程和离心率的求解；

2利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题.

            【学习过程】

第一环节：自学(课前)

椭圆的简单几何性质

第二环节：展评(课堂)

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a.(　　)

(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.(　　)

(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(　　)

2．做一做

(1)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)

A．5,3,  B．10,6,

C．5,3,  D．10,6,

(2)椭圆x2＋9y2＝36的短轴的端点为________．

(3)设P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是________．

探究1　　椭圆的简单几何性质

例1　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．

【跟踪训练1】　求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)；

(2)离心率e＝，焦距为12.

探究2　　椭圆的离心率问题

例2　直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)

A.        B.        C.        D.

【跟踪训练2】　(1)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)

A.  B.  C.  D.

(2) 已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．

例3　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.

(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；

(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．

第三环节：总结

1.用标准方程研究几何性质的步骤

(1)将椭圆方程化为标准形式．

(2)确定焦点位置．

(3)求出a，b，c.

(4)写出椭圆的几何性质．

2．根据椭圆的几何性质求标准方程

此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．

3.求椭圆离心率及范围的两种方法

(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．

(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．

课堂练习

1．椭圆＋＝1与＋＝1(0<k<9)的关系为(　　)

A．有相等的长轴  B．有相等的短轴

C．有相同的焦点  D．有相等的焦距

2．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)

A．－<a<   B．a<－或a>

C．－2<a<2   D．－1<a<1

3．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)

A.         B.         C.           D.

4. 过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________