高考数学一轮复习考点规范练20三角函数的图象与性质含解析人教版

考点规范练20　三角函数的图象与性质

一、基础巩固

1.下列函数是周期为π的奇函数的是(　　)

A.y=sin xcosx 

B.y=sin2x

C.y=tan 2x 

D.y=sin 2x+cos 2x

答案:A

解析:y=sinxcosx=sin2x是周期为π的奇函数;y=sin2x为偶函数;y=tan2x的周期为;y=sin2x+cos2x为非奇非偶函数,故选A.

2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有f=f,则f等于(　　)

A.2或0 B.-2或2 

C.0 D.-2或0

答案:B

解析:由f=f知,函数图象关于直线x=对称,f是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.

3.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象(　　)

A.关于直线x=对称 

B.关于直线x=对称

C.关于点对称 

D.关于点对称

答案:B

解析:∵函数f(x)的最小正周期为π,

=π,∴ω=2,∴f(x)=sin

则由2x+=kπ+(k∈Z),可得函数f(x)图象的对称轴方程为x=(k∈Z);函数f(x)图象的对称中心的横坐标满足2x+=kπ(k∈Z),即x=-(k∈Z).

故函数f(x)的图象关于直线x=对称,故选B.

4.已知直线y=m(0<m<2)与函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻的三个交点依次为点A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω等于(　　)

A B C D

答案:A

解析:由题意,得函数f(x)图象的相邻的两条对称轴方程分别为x1==3,x2==6,故函数的周期为2×(6-3)=,得ω=,故选A.

5.函数y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是(　　)

A B.π 

C.2 D

答案:A

解析:因为y=cos(x+1)的周期是2π,最大值为1,最小值为-1,所以y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是,故选A.

6.(多选)若函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ∈R)图象的一条对称轴方程为x=,则φ可能的取值为(　　)

A.- B.- 

C D

答案:BD

解析:因为函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ∈R)图象的一条对称轴方程为x=,所以2+φ=+kπ(k∈Z),解得φ=+kπ(k∈Z),所以当k=0时,φ=;当k=1时,φ=;当k=-1时,φ=-

7.已知曲线f(x)=sin 2x+cos 2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0,则x0等于(　　)

A B C D

答案:C

解析:由题意可知f(x)=2sin,其图象的对称中心为点(x0,0),故2x0+=kπ(k∈Z),即x0=-(k∈Z).

又x0,故k=1,x0=,故选C.

8.(2021广东珠海高三质检)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数),相邻两个零点的差为-,且对任意x,f(x)≥f恒成立,则下列结论正确的是(　　)

A.f(2)<f(-2)<f(0) 

B.f(0)<f(2)<f(-2)

C.f(-2)<f(0)<f(2) 

D.f(2)<f(0)<f(-2)

答案:A

解析:因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数),

相邻两个零点的差为-,所以函数f(x)的最小正周期T=π,所以ω=2.

因为对任意x,f(x)≥f恒成立,所以Asin=-A,即φ=2kπ+,k∈N,所以f(x)=Asin=Asin,k∈N.

故f(-2)=Asin=Asin-4+2π>0,

f(2)=Asin<0,f(0)=Asin=Asin>0,

由于-4+2π>,而正弦函数在区间内单调递减,故f(2)<f(-2)<f(0).

9.(2021福建厦门三模)已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,则f=　　　　　. 

答案:

解析:因为f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,所以φ=+kπ,k∈Z,而0<φ<π,故取k=0,得φ=,则f(x)=sin=cos2x,所以f=cos

10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期为4π,且f=1,则f(x)图象的对称中心是　　　　　. 

答案:(k∈Z)

解析:由题意得=4π,解得ω=,故f(x)=sin

由f=1,可得+φ=2kπ+(k∈Z),由|φ|<,可得φ=,

故f(x)=sin

由x+=kπ(k∈Z),可得x=2kπ-(k∈Z).

故f(x)图象的对称中心为点2kπ-,0(k∈Z).

11.已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最近的两个交点的距离为2,则ω=　　　　　. 

答案:

解析:如图所示,在同一平面直角坐标系中,作出函数y=2sinωx与y=2cosωx的大致图象.A,B为符合条件的两个交点.

则A,B由|AB|=2,得=2,解得=2,即ω=

二、综合应用

12.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=,且-<φ<,则函数y=f(x+)为(　　)

A.奇函数,且在区间内单调递增

B.偶函数,且在区间内单调递增

C.偶函数,且在区间内单调递减

D.奇函数,且在区间内单调递减

答案:D

解析:因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=,所以+φ=kπ(k∈Z),

即φ=kπ-(k∈Z).

又-<φ<,则φ=-,于是y=f=cos[2(x+)-]=cos=-sin2x,

所以该函数为奇函数,且在区间内单调递减,故选D.

13.(多选)(2021河北保定高三期末)定义在R上的函数f(x)=sin(2x+φ),则f(x)在区间内单调递增的充分条件可以是(　　)

A.φ=

B.f(x)的图象关于直线x=对称

C.f(x)的图象关于点对称

D.f(x)的图象关于直线x=对称

答案:ABC

解析:对于A,当φ=时,f(x)=sin,

由-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z,

所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z,

因为,k∈Z,所以f(x)在区间内单调递增,故A正确;

对于B,由f(x)的图象关于直线x=对称,得2+φ=+kπ,k∈Z,

所以φ=+kπ,k∈Z,又-<φ<,所以φ=,得f(x)=sin,

由-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z,

所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z,

因为,k∈Z,所以f(x)在区间内单调递增,故B正确;

对于C,由f(x)的图象关于点对称,得2+φ=kπ,k∈Z,

所以φ=-+kπ,k∈Z,又-<φ<,所以φ=,得f(x)=sin,

由B知f(x)在区间内单调递增,故C正确;

对于D,由f(x)的图象关于直线x=对称,得2+φ=+kπ,k∈Z,

所以φ=-+kπ,k∈Z,又-<φ<,所以φ=-,得f(x)=sin,

由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z,

所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z,

因为不是(k∈Z)的子集,

所以f(x)在区间内不单调递增,故D错误.

14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,直线x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在区间内单调,则ω的最大值为(　　)

A.11 B.9 C.7 D.5

答案:B

解析:由题意得

解得φ=+,ω=2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.

∵|φ|,∴φ=或φ=-

∵f(x)在区间内单调,

(T为周期),T,即,ω≤12.

∵ω>0,∴0<ω≤12.

若φ=,则k1+k2=0,ω=4k2+1,ω=1,5,9,若ω=9,则f(x)=sin在区间内单调递减,符合题意;

若φ=-,则k1+k2=-1,ω=4k2+3,ω=3,7,11,

若ω=11,则f(x)=sin在区间内单调递增,在区间内单调递减,不符合题意.

综上,ω的最大值为9.

15.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x,则f(x)的取值范围是　　　　　　　　. 

答案:

解析:由两个三角函数的图象的对称中心完全相同,可知它们的周期相同,则ω=2,即f(x)=3sin

当x时,-2x-,解得-sin(2x-)≤1,故f(x)

三、探究创新

16.已知函数f(x)=sin,其中x∈[-,a].当a=时,f(x)的值域是　　　　　　　;若f(x)的值域是,则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 

答案:

解析:若-x,则-2x+,此时-sin1,即f(x)的值域是[-,1].

若-x≤a,则-2x+2a+

因为当2x+=-或2x+时,sin=-,所以要使f(x)的值域是,

则2a+,即2a≤π,所以a,即a的取值范围是

17.设定义在R上的函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<),给出以下四个论断:

①f(x)的最小正周期为π;

②f(x)在区间(-,0)内单调递增;

③f(x)的图象关于点(,0)对称;

④f(x)的图象关于直线x=对称.

以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出一个真命题(写成“p⇒q”的形式)　　　　　　　　　　.(用到的论断都用序号表示) 

答案:①④⇒②③或①③⇒②④

解析:若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+φ).

同时若f(x)的图象关于直线x=对称,则sin(2+φ)=±1.

∵-<φ<,∴2+φ=,∴φ=,此时f(x)=sin(2x+),②③成立,故①④⇒②③.

若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+φ),同时若f(x)的图象关于点(,0)对称,则2+φ=kπ(k∈Z).

∵-<φ<,∴φ=,此时f(x)=sin(2x+),②④成立,故①③⇒②④.