高考数学一轮复习考点规范练32平面向量的数量积与平面向量的应用含解析人教版

考点规范练32　平面向量的数量积与平面向量的应用

一、基础巩固

1.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b等于(　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2

答案:B

解析:由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cosθ-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B.

2.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,则|p+q|的值为(　　)

A B C.5 D.13

答案:B

解析:由题意,得2×6+3x=0,解得x=-4.

因为p+q=(2,-3)+(-4,6)=(-2,3),所以|p+q|=

3.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是 (　　)

A.|a·b|≤|a||b| 

B.|a-b|≤||a|-|b||

C.(a+b)2=|a+b|2 

D.(a+b)·(a-b)=a2-b2

答案:B

解析:A项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ≤|a||b|,所以不等式恒成立;

B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.

故不等式不恒成立;

C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;

D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.

故选B.

4.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为(　　)

A B.2 

C.5 D.10

答案:C

解析:依题意得,=1×(-4)+2×2=0,则

即四边形ABCD的面积为|||==5.

5.(2021山东烟台二模)若向量a,b满足|a|=2,|b|=,且(a-b)⊥(2a+3b),则a与b夹角的余弦值为(　　)

A B C D

答案:D

解析:由题意得(a-b)·(2a+3b)=2a2+a·b-3b2=0,而|a|=2,|b|=,

所以2cos<a,b>-1=0,故cos<a,b>=

6.(2021福建南平一中高三月考)一条河流某流域内南北两岸平行,如图所示.已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4 km/h,设v1和v2所成角为θ(0<θ<π),若游船要从南岸A码头航行到正北方向上位于北岸的B码头处,则cosθ等于(　　)

A.- B.- C.- D.-

答案:B

解析:由题意知(v1+v2)·v2=0,有|v1||v2|cosθ+=0,即10×4cosθ+42=0,所以cosθ=-

7.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析:m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角θ是180°,则m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角,并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分不必要条件.

故选A.

8.(多选)已知向量a=(,1),b=(cosα,sin α)(α∈[0,]),则下列说法正确的有(　　)

A.|b|=1 

B.若a∥b,则tan α=

C.a·b的最大值为2

D.|a-b|的最大值为3

答案:AC

解析:对于A,|b|==1,A正确;

对于B,若a∥b,则sinα-cosα=0,则tanα=,B错误;

对于C,a·b=cosα+sinα=2sin,因为,所以α+,

所以当α+时,最大值为2,C正确;

对于D,|a-b|=,

因为,所以α+,

则sin,

即|a-b|max=,D错误.

9.(2021吉林省吉林市模拟)一副三角板由两种特殊的直角三角板组成,一种是等腰直角三角板,另一种是有一个锐角是30°的直角三角板,如图,两个三角板斜边的长度之比为2.四边形ABCD就是由一副三角板拼成的,AB=2,∠ABC=60°,则的值为(　　)

A.2 B.-6 

C.-6-2 D.-2

答案:C

解析:建立如图所示的平面直角坐标系.

因为AB=2,∠ABC=60°,所以AC=2,AD=,

则A(0,0),B(2,0),C(0,2),D(-).

所以=(2,0),=(0,2),=(-,-),=(2+,-),

所以=-6-2

10.(2021全国Ⅰ,文13)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|=　　　　　. 

答案:3

解析:由|a-b|2=a2-2a·b+b2,得25=9-2×1+|b|2,解得|b|=3

11.设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　　　　　. 

答案:

解析:∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,

∴a·b=-,∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=

12.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.

(1)求向量a与b的夹角θ;

(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影向量的模.

解:(1)因为|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9,所以4a2-4a·b-3b2=9,即16-8cosθ-3=9,所以cosθ=因为θ∈[0,π],所以θ=

(2)由(1)可知a·b=|a||b|cos=1,

所以|a+b|=,a·(a+b)=a2+a·b=5.

所以向量a在a+b方向上的投影向量的模为

二、综合应用

13.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是(　　)

A.(-2,6) B.(-6,2) 

C.(-2,4) D.(-4,6)

答案:A

解析:如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,),C(3,).

设P(x,y),则=(x,y),=(2,0),

即=2x+0×y=2x.

∵-1<x<3,的取值范围为(-2,6),故选A.

14.(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念,其平面图形记为正八边形ABCDEFGH,如图所示.其中OA=1,则以下结论正确的是(　　)

A=0

B=-

C=-

D.||=

答案:ABC

解析:因为八卦图为正八边形,所以中心角为45°,即∠FOD=90°,所以=0,故A正确;

由以上得∠AOD=135°==||·||cos=-,B正确;

的夹角为90°,因为||=||,所以根据平行四边形法则,=-,C正确;

因为||=||=||,∠AOF=,

所以在△AOF中,由余弦定理可得|AF|2=|OA|2+|OF|2-2|OA||OF|cos=2+,|AF|=,D错误.

15.如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为(　　)

A B C D.3

答案:A

解析:如图,取AB的中点F,连接EF,

==||2-

当EF⊥CD时,||最小,即取最小值.

过点A作AH⊥EF于点H,由AD⊥CD,EF⊥CD,可得EH=AD=1,∠DAH=90°.

因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°.

在Rt△AFH中,易知AF=,HF=,

所以EF=EH+HF=1+

即()min=

16.在日常生活中,我们会看到如图所示的情境,两人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ.给出以下结论:

①θ越大越费力,θ越小越省力;

②θ的范围为[0,π];

③当θ=时,|F1|=|G|;

④当θ=时,|F1|=|G|.

其中正确的结论是　　　　　.(填序号) 

答案:①④

解析:对于①,因为|G|=|F1+F2|为定值,

所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cosθ=2|F1|2(1+cosθ),解得|F1|2=;

由题意知,当θ∈(0,π)时,y=cosθ单调递减,所以|F1|2单调递增,

即θ越大越费力,θ越小越省力;①正确;

对于②,当θ=π时,F1+F2=0,行李包不会处于平衡状态,所以θ≠π,②错误;

对于③,当θ=时,|F1|2=,

所以|F1|=|G|,③错误;

对于④,当θ=时,|F1|2=|G|2,

所以|F1|=|G|,④正确.

综上可知,正确结论的序号是①④.

三、探究创新

17.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是　　　　　. 

答案:

解析:设a与b的夹角为φ,且φ∈[0,π],由已知得φ=60°,不妨取a=(1,0),b=(1,).

设e=(cosα,sinα),

则|a·e|+|b·e|=|cosα|+|cosα+sinα|

≤|cosα|+|cosα|+|sinα|=2|cosα|+|sinα|,

当且仅当cosα与sinα同号时,等号成立.

所以2|cosα|+|sinα|=|2cosα+sinα|=|sin(α+θ)|其中sinθ=,cosθ=,取θ为锐角.

显然|sin(α+θ)|

易知当α+θ=时,|sin(α+θ)|取最大值1,此时α为锐角,sinα,cosα同为正值,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为

18.如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量方法证明:PA⊥EF.

证法一:设正方形的边长为a,由于P是对角线BD上的一点,可设=(0≤λ≤1).

则--λ()=(1-λ)-

因为在正方形ABCD中,四边形PECF为矩形,所以△DPF∽△DBC,从而可得=(1-λ)-,

所以=[(1-λ)-]·[(1-λ)-]=(1-λ)2-(1-λ)-λ(1-λ)+λ2=-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0,

因此,

故PA⊥EF.

证法二:如图,以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系.

设正方形的边长为a,由P是对角线BD上的一点,设DP=λDB=a(0≤λ≤1),

则点A(0,a),P(λa,λa),E(a,λa),F(λa,0),

于是=(-λa,a-λa),=(λa-a,-λa),

因此=-λa(λa-a)-(a-λa)λa=-λ2a2+λa2-λa2+λ2a2=0,因此,故PA⊥EF.