2022届江西省上饶市第一中学高三5月模拟考试数学（文）试题含解析

江西省上饶市第一中学2022届高三5月模拟考试

数学（文）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知复数，则（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

4．已知向量，，若，则（       ）

A． B． C． D．

5．在正项等比数列中，，且，则（       ）

A．1024 B．960 C．768 D．512

6．随着我国经济总量的日益增长和社会财富的不断积累，投资理财观念已经深入普通国人家庭．“投资理财情绪指数”是根据互联网用户搜索某种理财产品相应关键词的次数为基础所得到的统计指标．指数越大，表示互联网用户对该理财产品的关注度也越高．如图是2019年上半年某种理财产品的投资理财情绪指数走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（       ）

A．这半年中，互联网用户对该理财产品的关注度不断增强

B．这半年中，互联网用户对该理财产品的关注度呈周期性变化

C．从这半年的投资理财情绪指数来看，2月份的方差大于4月份的方差

D．从这半年的投资理财情绪指数来看，5月份的平均值小于6月份的平均值

7．函数在上的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

8．已知数列的前n项和，，则k的值为（       ）

A．2 B． C．1 D．

9．若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

10．已知坐标原点O，直线与圆相切，直线与圆相交于M，N两点，，则l的斜率为（       ）

A． B． C．或 D．或

11．已知，，，且在上无最小值，则（       ）

A． B．1 C． D．2

12．已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面，，，若球的表面积为，则直线与底面所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数，则______．

14．若点满足不等式，则的最大值是________．

15．若函数满足，且的图象与的图象共有m个不同的交点,则所有交点的横/纵坐标之和________．

16．①已知点，直线，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为；

②已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记点，到直线l的距离分别为，，动点P满足，；

③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且，动点P满足；

在①，②，③这三个条件中，动点P的轨迹W为椭圆的是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答

17．江西新高考改革自2021年执行，在取消文理科后实行“”考试模式，即除语数外三科，学生需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科任选3科参加高考．上饶市某学校为了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，从该校高一年级的500名男生和400名女生中按比例共抽取90人进行模拟选科，经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．

(1)完成上面的列联表并判断是否有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；

(2)为了解学生选科的理由，随机选取了男生4名，女生2名进行座谈，再从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．

附：，其中．

18．已知函数

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，若锐角A满足，且，求的面积.

19．如图，在四棱锥的三视图中，俯视图为边长为1的正方形，正视图与侧视图均为直角边长等于1的等腰直角三角形，M是SD的中点，交SC于点N．

(1)求证：；

(2)求的面积．

20．已知函数．

(1)当时，求函数的极值；

(2)若函数在无零点，求实数a的取值范围．

21．已知抛物线的焦点为F，过焦点F斜率为的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），交抛物线准线于G，且满足．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)已知C，D为抛物线上的动点，且，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；

(3)在（2）的条件下，求的最大值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.

(1)求直线和曲线的普通方程；

(2)已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数，．

(1)求不等式的解集；

(2)若关于x的不等式的解集非空，求m的取值范围．

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

利用对数函数的性质求出集合A，再根据交集的定义即可求解.

【详解】

解：因为集合，，

所以，

故选：A.

2．D

【解析】

【分析】

根据向量模的计算公式计算可得；

【详解】

解：因为，所以

故选：D

3．C

【解析】

【分析】

根据指数函数、对数函数的性质计算可得；

【详解】

解：因为，即，

，，即，

所以；

故选：C

4．C

【解析】

【分析】

由向量平行的坐标表示可得，再由数量积公式可得答案.

【详解】

因为向量，，，

所以，，

所以 .

故选：C.

5．A

【解析】

【分析】

设公比为，根据等比数列通项公式得到方程，求出、，即可得到数列的通项公式，代入计算可得；

【详解】

解：依题意设公比为，且、，由，则，即，所以，

因为，所以，所以，所以，所以；

故选：A

6．C

【解析】

【分析】

观察折线图，利用折线图的性质直接求解．

【详解】

解：由2019年上半年某种理财产品的投资理财情绪指数走势图知：

对于A，这半年中，互联网用户对该理财产品的关注度不断增强呈现出一定的波动性，故A错误；

对于B，这半年中，互联网用户对该理财产品的关注度不断增强呈现出一定的波动性，没有周期性变化，故B错误；

对于C，从这半年的投资理财情绪指数来看，2月份的波动性大于4月份的波动性，

∴2月份的方差大于4月份的方差，故C正确；

对于D，从这半年的投资理财情绪指数来看，5月份的平均值大于6月份的平均值，故D错误．

故选：C．

7．A

【解析】

【分析】

分析函数的奇偶性以及函数在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】

当时，，则，，

所以，函数为非奇非偶函数，排除B、D选项；

当时，设，则，

所以，函数在上单调递增，则，

所以，当时，，则，即，排除C选项.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

8．C

【解析】

【分析】

利用的关系可得，结合已知即可求k的值.

【详解】

由题设，当时，，又，

∴，可得.

故选：C

9．B

【解析】

【分析】

先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出，再求双曲线C的离心率得解.

【详解】

双曲线的渐近线方程为，

由对称性，不妨取，即．

又曲线化为，

则其圆心的坐标为，半径为．

由题得，圆心到直线的距离，

又由点到直线的距离公式．可得．

解得，所以．

故选B．

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.

10．D

【解析】

【分析】

设出直线的方程，然后由条件可得点到直线的距离为1，原点到直线的距离为，由此建立方程求解即可.

【详解】

当直线的斜率不存在时，由直线与圆相切可得直线的方程为，

此时直线与圆相离，故不满足；

当直线的斜率存在时，设其方程为，即，

因为直线与圆相切，所以①，

因为直线与圆相交于M，N两点，，

所以，所以圆心到直线的距离为，即②，

由①②可解得或，或，

故选：D

11．A

【解析】

【分析】

先代点求出值，再代点求出，，最后求出的范围即可．

【详解】

解：，，，，

，

，，

，，，，

，，，

在上无最小值且，，即，

故选：A．

12．B

【解析】

【分析】

推导出，可得出四边形的外接圆直径为，并计算出四棱锥的外接球直径为，结合底面可得出直线与底面所成角为，进而可求得的值.

【详解】

如下图所示：

，，，，，

易知、、、四点共圆，则，，

所以，四边形的外接圆直径为，

设四棱锥的外接球半径为，则，解得，

平面，，且，

直线与底面所成的角为，

在中，.

故选：B.

【点睛】

本题考查直线与平面所成角的余弦值的计算，同时也考查了四棱锥外接球问题的处理，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

13．

【解析】

【分析】

先求得，再将代入解析式即可求解.

【详解】

,,，故.

故答案为：

14．

【解析】

【分析】

设，变形为，再通过平移数形结合得到目标函数的最大值.

【详解】

设，变形为，

可知当直线与圆在第一象限相切时，直线在y轴上的截距最大．即z最大，

此时，即，

所以的最大值是．

故答案为

【点睛】

本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

15．0

【解析】

【分析】

由题得到的图象关于点对称，而的图象也关于点对称，从而分析得解.

【详解】

因为满足，

所以的图象关于点对称，

而的图象也关于点对称，

所以所有交点也关于点对称．

从而所有交点的横坐标之和等于m．所有交点的纵坐标之和等于-m，

故所有交点的横、纵坐标之和等于0．

故答案为0

【点睛】

本题主要考查函数图像的对称性及应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

16．①②③

【解析】

【分析】

由①可采用直接法可得轨迹方程；②根据椭圆定义可得轨迹方程；③采用代入法，化简即可得轨迹方程；

【详解】

对于①，

设，根据题意，，整理得，

所以轨迹方程为；

对于②，

设，直线l与圆相切于点H，则，

由椭圆定义知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以，，

故，所以轨迹方程为；

对于③，

设，，，则，

因为，所以，整理得，

代入得，

所以轨迹方程为；

故答案为：①②③

17．(1)填表见解析；有99.5%的把握认为选择全理与性别有关

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题意可得到列联表，计算 ，和临界值表比较，可得结论；

（2）列出从6名同学中任取2名的可能选法，再列出不含女生的可能选法，根据古典概型的概率计算结合对立事件的概率，求得答案.

(1)

由题意得：

，

∴有99.5%的把握认为选择全理与性别有关．

(2)

设“至少抽到一名女生”为事件A，设4名男生分别为1，2，3，4，两名女生分别为5，6．

从6名学生中抽取2名所有的可能为：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）（5，6），共15种．

不包含女生的基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种．

故所求概率．

18．（1）最小正周期为，（）（2）

【解析】

【分析】

（1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；

（2）由条件，可得角，再运用正弦定理可得，由余弦定理，可得，由三角形的面积公式计算即可得到所求.

【详解】

（1）

.

所以最小正周期为

由（），

解得：（），

即的单调递减区间为（）；

（2）由，

又因为A为锐角，所以，

由正弦定理可得，

又因为，所以，

由余弦定理得，，

所以，所以.

【点睛】

本题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦和余弦定理考查边角关系的运算，是中档题.

19．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）由三视图得出底面ABCD是正方形，底面ABCD，，证明平面SCD，从而得出；

（2）先由等体积法求出，再由平面AMN得出，进而由得出的面积．

(1)

由四棱锥的三视图，可知底面ABCD是正方形，底面ABCD，．

又平面ABCD，∴．

∵，∴，∴平面SAD．∵平面SAD，∴，

又．M是SD的中点，∴，∵，∴平面SCD．

∵平面SDC，∴．

(2)

∵M是SD的中点，∴．

∴，

∵，．，∴平面AMN．

∴．∵，

∴的面积为．

20．(1)极小值为，无极大值

(2)

【解析】

【分析】

（1）求出函数的额倒数，判断正负，确定函数的单调性，求得极值；

（2）求得函数的导数，分和讨论，确定导数的正负，结合函数的单调性以及最值情况，确定实数a的取值范围.

(1)

由题知，当时，，

∴，令，．

∴时，，单调递减；

时，，单调递增．

∴是的极小值点，∴的极小值为，无极大值．

(2)

由题知，

∴，；令，

∴，∵，∴恒成立，

∴单调递增，即单调递增．

①当时，∴，∴单调递增

∴恒成立，即在上无零点，∴．

②当时，令，，，又单调递增，

∴时，，时，，

∴在时单调递减，时，单调递增，

∴，又∵时，

∴，，即在上有零点，不合题意；

综上所述．

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的极值以及根据函数的零点情况求参数的范围问题，有较强的综合性，考查学生的数学素养以及灵活应用相关知识的能力，解答时要注意分类讨论的思想，同时要注意零点问题结合函数的单调性以及最值来解决.

21．(1)

(2)证明见解析；P点坐标为（4，0）

(3)

【解析】

【分析】

（1）过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，由直线的斜率得出倾斜角，利用三角函数及抛物线的定义求出即可得解；

（2）设直线CD的方程为：，，，联立方程组，由根与系数的关系求出，再由建立斜率的方程即可得解；

（3）由向量的数量积坐标运算化简，利用二次函数求最值.

(1)

过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，如图，

由题知，直线l的倾斜角为．∴在中，，

又∵，∴，∴．

∴，∴在中，又，

∴，∴，∴抛物线的标准方程为．

(2)

由（1）可知，抛物线方程为，

设直线CD的方程为：，，，

直线与抛物线联立：，得：，

则，，

∵，且，∴则，

∴直线CD过定点（4，0），即P点坐标为（4，0），

(3)

由（2）可知P点坐标为（4，0），

∴，

∴的最大值为．

22．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）消去参数后转化为普通方程

(1)

由题意可得直线的普通方程为

对于曲线C，因为，所以，

所以曲线的普通方程为.

(2)

直线的参数方程的标准形式为，

将其代入曲线的方程得，所以，，

可知

.

23．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）将函数写成分段函数，再分类讨论，分别计算可得；

（2）由三角不等式得到，依题意，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可；

(1)

解：因为，

所以当时，，无解；

当时，由，解得；

当时，恒成立．

所以的解集为．

(2)

解：由有解，得有解，

而，当且仅当时取等号，

所以，解得，所以m的取值范围是．