2022届河南省顶级名校高三5月全真模拟考试数学（文）试题含解析

2022届河南省顶级名校高三5月全真模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．己知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先解出不等式，再根据交集的定义即可求出.

【详解】因为，，则.

故选：B．

2．设，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则和复数模的公式直接计算可得.

【详解】；；；.

故选：D．

3．从四个连续的自然数中随机选取两个不同的数，则两数之和为偶数的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先设出四个连续自然数，再利用列举法列出所有可能性，从而利用古典概型求出概率.

【详解】设四个连续的自然数分别为n，n+1，n+2，n+3，

则随机取两个数的和分别为，，，

，，

所以这6个和中有2个是偶数，

所以和为偶数的概率为，

故选：A．

4．下列函数中，即是奇函数又是单调函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析函数的定义域，以及根据奇偶函数的定义判断，判定是否满足函数是奇函数，排除A、C，再借助导函数判定单调性.

【详解】解：因为，，均为定义域上的奇函数，

对于A：是偶函数，所以A错误；

对于B：是奇函数，且，为单调递增函数，所以B正确；

对于C：是偶函数，所以C错误；

对于D：是奇函数，但不是单调函数，所以D错误

故选：B．

5．设，为两个平面，则的充要条件是（       ）

A．，平行于同一个平面 B．，垂直于同一个平面

C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于

【答案】D

【分析】由面面关系及面面垂直的判定方法依次判断4个选项即可.

【详解】，平行于同一个平面时，则，A错误；

，垂直于同一个平面时，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，B错误；

内一条直线垂直于内一条直线，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，C错误；

内一条直线垂直于，则，反之也成立，D正确.

故选：D．

6．已知，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.

【详解】解：因为，，，

所以，

故选：C．

7．设x，y满足约束条件则的最大值为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】作出可行域，由得，求解截距的最大值即可求解.

【详解】如图，，围成的区域为及其内部，其中，因为，所以，所以当直线过时，的最大值为1，所以，的最大值为2.

故选：A．

8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为C上一点，且，若，则C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知，，，可设，则，然后根据勾股定理表示出，然后再利用椭圆的定义表示出之间的关系，带入到离心率中即可完成求解.

【详解】，

设C的半焦距为c，则，

则，，，，

由椭圆定义可知，则，

所以离心率，

故选：A．

9．设，为两个互相垂直的单位向量，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用平面向量的运算法则求解即可.

【详解】由已知得，，，

，则选项不正确；

同理可求，，即，则选项不正确；

，即，则选项正确；

，，

即，则选项不正确；

故选:．

10．下列方程中，圆与圆的公切线方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，由几何关系求出，即可得出.

【详解】根据题意可知，，

如图，设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点P，

由几何关系可知，，，，

所以，，，，l的斜率为，

则l的方程为，即，

根据对称可得出另一条公切线方程为.

故选：B．

11．记为等差数列的前项和，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由条件得，由等差数列的性质及求和公式即可得到C正确；若，则公差，不合题意即可得到A错误；若，，，即可得到B、D错误.

【详解】因为，所以，

所以，，故C正确；

若，则公差，此时，则不合题意，A错误；

若，则，此时，

 ，故B、D错误.

故选：C．

12．已知函数在区间存在零点，则k的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】易求得，再利用导数求出函数在区间上的最值，再分和两种情况讨论，从而可得出答案.

【详解】解：，

，

当时，，当时，，

所以函数在区间递减，在递增，

所以在区间上，

当时，，则当时，；

当时，，

因为在区间存在零点，

所以，此时，所以k的取值范围是.

故选：D．

二、填空题

13．双曲线的焦距为______．

【答案】

【分析】由，可得，，从而即可求解.

【详解】解：因为，所以，，

所以，解得，

所以该双曲线的焦距为．

故答案为：.

14．己知等比数列为递增数列，且，，则的公比是______．

【答案】

【分析】根据已知可直接求出公比.

【详解】设的公比为q，则，，又因为为递增数列，所以，

所以．

故答案为：.

15．函数在的值域为______．

【答案】

【分析】令，结合二次函数的性质即可得出答案.

【详解】解：，

设，

当时，，所以，

所以在的值域为．

故答案为：．

三、双空题

16．球O的半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为______，球O的体积与圆锥M的体积的比值为______．

【答案】     120°    

【分析】设球O的半径及圆锥M的底面半径均为R，圆锥M的母线长为l，再根据球与圆锥的表面积公式求得，即可得圆锥M的侧面展开图的圆心角大小；根据勾股定理求得，再结合球与圆锥的体积公式分析体积比即可

【详解】设球O的半径及圆锥M的底面半径均为R，圆锥M的母线长为l，则，所以，圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为；球O的体积为，圆锥M的高，圆锥M的体积为，所以球O的体积与圆锥M的体积的比值为．

故答案为：，

四、解答题

17．满足，．

(1)求A；

(2)若D为边BC上一点，目，求AD．

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）由三角恒等变换公式化简后求解

（2）由余弦定理求解

【详解】(1)根据题意有，

当时，，此时；

当时，则，

所以，

因为，所以．

综上或．

(2)，

由（1）可知，当，时，，

所以；

由（1）可知，当时，，，

由余弦定理可知，

所以．

18．某商场记录了一周7天的客流量，整理得到下表：

(1)商场计划在下周开展一项优惠活动，并设计了两个方案：

方案一：以天为单位，每天随机抽选100位当天到访顾客发放优惠券；

方案二：以周为单位，每周随机抽选700位当周到访顾客发放优惠券.

参考上面表格记录的客流量，你认为这两个方案哪一个更合理？说明理由；

(2)若这周商场收到了一封当天顾客写给商场的感谢信，求这封感谢信是周六收到的概率；

(3)为了调研顾客在商场驻留时间，随访了男、女顾客各50人，得到如下列联表：

能否有99%的把握认为顾客在商场驻留时间与性别有关？

附：，其中.

【答案】(1)方案二更合理，理由见解析；

(2)；

(3)有99%的把握认为顾客在商场驻留时间与性别有关.

【分析】（1）根据一周7天的客流量的不均匀性，可得结论；

（2）利用古典概型概率公式即得；

（3）利用公式可得，即得.

【详解】(1)方案二更合理．

理由：周六、周日两日的单日平均客流量为1．6万人，而周一到周五的单日平均客流量仅为0．62万人，为周六、周日单日平均客流量的，如果选择方案一，那么顾客在周六、周日两天平均被抽选到的概率仅为周一到周五平均被抽选到的概率的38.75%，因此选择方案二更合理．

(2)感谢信发生在周六的概率为．

(3)根据列联表可知：，，，，，，，，

所以，

故有99%的把握认为顾客在商场驻留时间与性别有关．

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，顶点P在底面ABCD的射影是正方形ABCD的中心，E为PC的中点．

(1)证明：平面BDE；

(2)若是边长为2的等边三角形，求点A到平面BDE的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】（1）连接AC，交BD于点O，连接OE，由E为PC的中点，得到, 再利用线面平行的判定定理证明；

（2）由（1）知，点A到平面BDE的距离等于点P到平面BDE的距离，再论证PC⊥平面BDE即可.

【详解】(1)解：如图:

连接AC，交BD于点O，连接OE，

因为四边形ABCD是正方形，

所以O平分AC，即，

又因为E为PC的中点，

所以OE为的中位线，

所以,

因为平面BDE，平面BDE，

所以平面BDE．

(2)由（1）可知，点A到平面BDE的距离等于点P到平面BDE的距离．

因为是等边三角形，且顶点P在底面ABCD的射影是正方形ABCD的中心，

所以和也是等边三角形，

所以PC⊥BE，PC⊥DE．

因为BE，DE是平面BDE内两相交直线，

所以PC⊥平面BDE，

所以PE的长即为点P到平面BDE的距离．

因为，所以，

所以点A到平面BDE的距离为1．

20．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点．

(1)当l的倾斜角为时，若，求；

(2)设点，且，求l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由题意，求得直线l的方程，代入，设，，根据韦达定理，可得，表达式，根据抛物线的几何性质可得，表达式，代入所求，化简整理，即可得答案.

（2）当轴时，经检验不符合题意，当l不垂直于x轴时，设斜率为k，可得直线l，又抛物线联立，结合韦达定理，可得，表达式，进而可得，坐标，根据，化简计算，即可得答案.

【详解】(1)当l的倾斜角为时，l的斜率为1，

又，所以直线，

将代入，得，即，

设，，则，，

根据抛物线的几何性质可知，，，

因为，

可知，

，

所以．

(2)当轴时，，，，此时PA不垂直于PB．

当l不垂直于x轴时，设l的斜率为k，则直线，

将代入，得，即，．

设，，则，，

又，，，

所以，

即，

所以，化简有，解得，

所以l的方程为或．

21．已知函数，．

(1)求的单调区间；

(2)证明：；

(3)设a，b为正数，且，证明：．

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间；

（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，即可得到函数的极大值，即可得证；

（3）由（2）可知，即可得到，若，则，即证，设，利用导数研究函数的单调性，即可得证；

【详解】(1)解：因为，

所以，令，则，

当时，，即的单调递减区间为，

当时，，即的单调递增区间为．

(2)解：因为定义域为，

所以，令，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时函数取得极大值及最大值，

所以．

(3)解：由（2）可知，

所以，

所以若，即，则．

因为，即

故只需证明，

即证．

设，则，

设，

则当时，，在单调递增，

所以当时，，在单调递增，

所以当时，，即，

综上，若，则．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)求C上的点到l距离的最小值．

【答案】(1)C的直角坐标方程为；l的直角坐标方程为.

(2)

【分析】（1）由曲线C的参数方程消参即可求得曲线C直角坐标方程，把，代入，即可求得直线l的直角坐标方程.

（2）法一：利用设切线联立方程判别式为0求解；法二：设C上的点为，表示P到直线l的距离，用基本不等式即可求解最值.

【详解】(1)因为，，

所以，

所以C的直角坐标方程为，

因为直线l的极坐标方程为

所以l的直角坐标方程为．

(2)方法一：因为曲线C与直线l没有公共点，

所以当C的切线与l平行时，切点到l的距离为最小值，

设切线方程为，代入C的方程，

有，整理有，

由可得，

当时，C的切线到l的距离为，当时，C的切线到l的距离也为，

故C上的点到l距离的最小值为．

方法二：设C上的点为，则P到直线l的距离为

，等号在时取得，

即或时成立．

故C上的点到l距离的最小值为．

23．设a，b为正数，且．证明：

(1)：

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）将不等式左边因式分解为，对使用基本不等式，然后综合可证；

（2）利用已知条件消元，然后由基本不等式可证

【详解】(1)，

，当且仅当“”时取“＝”，

，当且仅当“”时取“=”，

所以，

所以．

(2)因为

所以

所以，

因为a，b为正数，且，

所以，

所以，

所以．