高考数学一轮复习考点规范练3命题及其关系充要条件含解析新人教A版文

考点规范练3　命题及其关系、充要条件

基础巩固

1.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是(　　)

A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3

B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3

C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3

D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3

答案:A

解析:a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<3.

2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是(　　)

A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”

B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”

C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”

D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”

答案:B

解析:将原命题的条件与结论互换即得逆命题,故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数,则它是负数”.

3.命题p:“若x>1,则x2>1”,则命题p以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:B

解析:命题p:“若x>1,则x2>1”是真命题,则其逆否命题为真命题;

其逆命题:“若x2>1,则x>1”是假命题,则其否命题也是假命题.

综上可得,四个命题中真命题的个数为2.

4.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析:若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.

又因为a⊆α,b⊆β,所以P∈α,P∈β.故α,β相交.

反之,若α,β相交,设交线为l,当a,b都与直线l不相交时,有a∥b.

显然a,b可能相交,也可能异面、平行.

综上,“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.

5.下列命题中为真命题的是(　　)

A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题

B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题

C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题

D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题

答案:A

解析:对于A,逆命题是:若x>|y|,则x>y.

因为x>|y|≥y,必有x>y,所以逆命题是真命题;

对于B,否命题是:若x≤1,则x2≤1.

因为x=-5,有x2=25>1,所以否命题是假命题;

对于C,否命题是:若x≠1,则x2+x-2≠0.

因为x=-2,有x2+x-2=0,所以否命题是假命题;

对于D,若x2>0,则x≠0,不一定有x>1,

因此逆否命题是假命题.

6.若x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析:由|x-2|<1,解得1<x<3.因为“1<x<2”能推出“1<x<3”,“1<x<3”推不出“1<x<2”,所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分不必要条件.

7.“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)

A.m> B.0<m<1 C.m>0 D.m>1

答案:C

解析:不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则Δ=1-4m<0,解得m>.

所以“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>0.

8.下列结论错误的是(　　)

A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0”

B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分不必要条件

C.命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题

D.命题“若m2+n2=0,则m=0,且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”

答案:C

解析:若关于x的方程x2+x-m=0有实根,则Δ=1+4m≥0,即m≥-,不能推出m>0.所以“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题不是真命题,故选C.

9.若a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的(　　)

A.充要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析:∵3a>3b>3,∴a>b>1.

∴log3a>log3b>0.

∴,即loga3<logb3.

∴“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分条件.

当0<a<1,b>1时,满足loga3<logb3.

而由3a>3b>3,得a>b>1,

∴由loga3<logb3不能推出3a>3b>3,

∴“3a>3b>3”不是“loga3<logb3”的必要条件.

∴“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件,故选B.

10.若实数a,b满足a>0,b>0,则“a>b”是“a+ln a>b+ln b”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析:设f(x)=x+lnx,显然f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,

∵a>b,∴f(a)>f(b),即a+lna>b+lnb,故充分性成立,

∵a+lna>b+lnb,∴f(a)>f(b),∴a>b,故必要性成立,

故“a>b”是“a+lna>b+lnb”的充要条件,故选C.

11.A,B,C三名学生参加了一次考试,A,B的得分均为70分,C的得分为65分.已知命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格.在下列四个命题中,p的逆否命题是(　　)

A.若及格分不低于70分,则A,B,C都及格

B.若A,B,C都及格,则及格分不低于70分

C.若A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于70分

D.若A,B,C至少有一人及格,则及格分高于70分

答案:C

解析:根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,p的逆否命题是:若A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于70分.故选C.

12.有下列几个命题:

①“若a>b,则a2>b2”的否命题;

②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;

③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.

其中真命题的序号是　　　　　　. 

答案:②③

解析:①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,是假命题;②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,是真命题;③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,是真命题.

能力提升

13.已知命题“若函数f(x)=ex-mx在区间(0,+∞)内是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是(　　)

A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在区间(0,+∞)内是减函数,则m>1”,是真命题

B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在区间(0,+∞)内是增函数”,是假命题

C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在区间(0,+∞)内是减函数”,是真命题

D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在区间(0,+∞)内不是增函数”,是真命题

答案:D

解析:由f(x)=ex-mx在区间(0,+∞)内是增函数,可知f'(x)=ex-m≥0在区间(0,+∞)内恒成立,故m≤1.因此命题“若函数f(x)=ex-mx在区间(0,+∞)内是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在区间(0,+∞)内不是增函数”是真命题.

14.已知条件p:k=;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则?p是?q的(　　)

A.充要条件 

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 

D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,可得d==1,解得k=±,所以p是q的充分不必要条件,则p是q的必要不充分条件.

15.设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的(　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析:∵x=-3满足2-x≥0,但不满足|x-1|≤1,

∴“2-x≥0”不是“|x-1|≤1”的充分条件.

若|x-1|≤1,则-1≤x-1≤1,

即0≤x≤2,可得2-x≥0,

即“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要条件.

故“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件.故选B.

16.已知p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:实数x满足若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　　　　. 

答案:(1,2]

解析:∵p是q的必要不充分条件,

∴q⇒p,且pq.

设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则B⫋A.

又B={x|2<x≤3},当a>0时,A={x|a<x<3a};

当a<0时,A={x|3a<x<a}.

故当a>0时,有解得1<a≤2;

当a<0时,显然A∩B=⌀,不合题意.

综上所述,实数a的取值范围是(1,2].

17.已知p:≤x≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案:

解析:q:(x-a)(x-a-1)≤0,

解得a≤x≤a+1.

由p是q的充分不必要条件,知⫋[a,a+1],

则且等号不能同时成立,解得0≤a≤.

高考预测

18.若a,b∈R,则“a>b”是“a(ea+e-a)>b(eb+e-b)”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分又不必要条件

答案:C

解析:设f(x)=ex+e-x,

则f'(x)=ex-e-x=.

当x>0时,ex>1,∴(ex)2-1>0.

∴f'(x)>0,∴当x>0时,f(x)是增函数;

∵a>b>0,∴f(a)>f(b).

∴ea+e-a>eb+e-b.

∴a(ea+e-a)>b(eb+e-b).

当x<0时,0<ex<1,∴(ex)2-1<0.

∴f'(x)<0,∴当x<0时,f(x)是减函数;

∵b<a<0,∴f(a)<f(b).

∴ea+e-a<eb+e-b.

∴a(ea+e-a)>b(eb+e-b).

当a>0>b时,a(ea+e-a)>b(eb+e-b)显然成立,

综上所述,当a>b时,a(ea+e-a)>b(eb+e-b)恒成立,故充分性成立;

反之也成立,故必要性成立;

故“a>b”是“a(ea+e-a)>b(eb+e-b)”的充要条件,

故选C.