高考数学一轮复习考点规范练13函数模型及其应用含解析新人教A版文

考点规范练13　函数模型及其应用

基础巩固

1.某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为(　　)

答案:D

解析:由题意可得y=(1+10.4%)x,函数是底数大于1的指数函数,故选D.

2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)

A.y=100x B.y=50x2-50x+100

C.y=50×2x D.y=100log2x+100

答案:C

解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.

3.已知某矩形广场的面积为4万平方米,则其周长至少为(　　)

A.800米 B.900米

C.1 000米 D.1 200米

答案:A

解析:设这个广场的长为x米,则宽为米.故其周长为l=2≥800,当且仅当x=200时取等号.

4.一块锐角三角形空地如图所示,欲在其中建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是(　　)

A.[15,20]

B.[12,25]

C.[10,30]

D.[20,30]

答案:C

解析:设矩形的另一边长为ym,则由三角形相似知,,∴y=40-x.

∵xy≥300,∴x(40-x)≥300,

∴x2-40x+300≤0,∴10≤x≤30.

5.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)

A.100台 B.120台

C.150台 D.180台

答案:C

解析:设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000(0<x<240,x∈N*).

令f(x)≥0,得x≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.

6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为(　　)

A.3 000元 B.3 300元

C.3 500元 D.4 000元

答案:B

解析:由题意,设利润为y元,租金定为(3000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),

则y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)

=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)

≤50=204800,

当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,

故每月租金定为3000+300=3300(元)时,公司获得最大利润,故选B.

7.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)

A.略有盈利  B.略有亏损

C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况

答案:B

解析:设该股民购这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.

8.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与最接近的是(　　)

(参考数据:lg 3≈0.48)

A.1033 B.1053 C.1073 D.1093

答案:D

解析:设=x=,两边取对数,得lgx=lg=lg3361-lg1080=361lg3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与最接近的是1093.故选D.

9.一个人以6 m/s的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25 m时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=t2 m,则此人(　　)

A.可在7 s内追上汽车

B.可在9 s内追上汽车

C.不能追上汽车,但期间最近距离为14 m

D.不能追上汽车,但期间最近距离为7 m

答案:D

解析:已知s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.结合选项可知选D.

10.(2020全国Ⅲ,文4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic 模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)(　　)

A.60 B.63 

C.66 D.69

答案:C

解析:由=0.95K,得,两边取以e为底的对数,得-0.23(t*-53)=-ln19≈-3,所以t*≈66.

11.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(　　)

A.40万元 B.60万元

C.120万元 D.140万元

答案:C

解析:甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙4元时该商人全部买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.

12.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是　　　　　. 

答案:16

解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,

则解得0<x≤.

因为x∈N*,所以x的最大值为16.

能力提升

13.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)

A.16 h B.20 h C.24 h D.28 h

答案:C

解析:由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=ekx+b图象上的两个点,

所以

由②得,48=e22k·eb,③

把①代入③得e22k=,

即(e11k)2=,所以e11k=.

所以当储藏温度为33℃时,保鲜时间y==(e11k)3·eb=×192=24(h).

14.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=R-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为　　　　　.(用常数a表示) 

答案:a2

解析:令t=(t≥0),则A=t2,

∴D=a-A=at-t2=-a2,

∴当t=a,即A=a2时,D取得最大值.

15.为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①若不超过200元,则不予优惠;②若超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若超过500元,则其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设他们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为　　　　　　　　. 

答案:546.6元

解析:依题意,价值为x元的商品和实际付款额f(x)之间的函数关系式为

f(x)=

当f(x)=168时,由168÷0.9≈187<200,故此时x=168;

当f(x)=423时,由423÷0.9=470∈(200,500],

故此时x=470.

故两次共购得价值为470+168=638元的商品.

又500×0.9+(638-500)×0.7=546.6元,即若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.

16.某商家推行亲子款十二生肖纪念章.通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:

(1)根据上表数据,为描述亲子款十二生肖纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系,从下列函数中选取一个最佳的函数模型是　　　　　. 

①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=logax.

(2)利用你选取的函数,求亲子款十二生肖纪念章的市场价最低时的上市时间及最低价格.

(3)设你选取的函数为y=f(x),若对任意实数k,方程f(x)=kx+2m+120恒有两个相异实数根,求m的取值范围.

解:(1)由于市场价y随上市时间x的增大而先减小后增大,而模型①③均为单调函数,不符合题意,故选择二次函数模型②.

(2)由表中数据可知解得

∴函数模型为y=x2-10x+126=(x-20)2+26.

∴当市场价最低时的上市时间为20天,最低价格为26元.

(3)∵f(x)=x2-10x+126=kx+2m+120,

∴x2-(10+k)x+6-2m=0恒有两个相异实数根,

∴Δ=(10+k)2-(6-2m)>0恒成立,

即-2m<k2+20k+94.

∵k2+20k+94=(k+10)2-6≥-6,∴-2m<-6,∴m>3.

故m的取值范围是(3,+∞).

高考预测

17.如图,正方形ABCD的顶点A,B,顶点C,D位于第一象限,直线l:x=t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数s=f(t)的图象大致是(　　)

答案:C

解析:依题意得s=f(t)=

分段画出函数的图象可得图象如选项C所示,

故选C.