高考数学一轮复习考点规范练13函数模型及其应用含解析新人教A版理

考点规范练13　函数模型及其应用

基础巩固

1.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)

A.y=100x B.y=50x2-50x+100

C.y=50×2x D.y=100log2x+100

答案:C

解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.

2.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为(　　)

A.3 B.4 C.6 D.12

答案:A

解析:设隔墙的长为x(0<x<6),矩形面积为y,则y=x=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,故当x=3时,y最大.

3.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(　　)

A.40万元 B.60万元 C.120万元 D.140万元

答案:C

解析:甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙4元时该商人全部买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.

4.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)

A.100台 B.120台 C.150台 D.180台

答案:C

解析:设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000(0<x<240,x∈N*).

令f(x)≥0,得x≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.

5.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)

A.略有盈利  B.略有亏损

C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况

答案:B

解析:设该股民购这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.

6.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与最接近的是(　　)

(参考数据:lg 3≈0.48)

A.1033 B.1053 C.1073 D.1093

答案:D

解析:设=x=,两边取对数,得lgx=lg=lg3361-lg1080=361×lg3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与最接近的是1093,故选D.

7.一个人以6 m/s的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25 m时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=t2 m,则此人(　　)

A.可在7 s内追上汽车

B.可在9 s内追上汽车

C.不能追上汽车,但期间最近距离为14 m

D.不能追上汽车,但期间最近距离为7 m

答案:D

解析:已知s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.结合选项可知选D.

8.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是　　　　　. 

答案:16

解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,

则解得0<x

因为x∈N*,所以x的最大值为16.

能力提升

9.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)

A.16 h B.20 h C.24 h D.28 h

答案:C

解析:由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=ekx+b图象上的两个点,

所以

由②得,48=e22k·eb,③

把①代入③得e22k=,

即(e11k)2=,所以e11k=

所以当储藏温度为33℃时,保鲜时间y==(e11k)3·eb=192=24(h).

10.“好酒也怕巷子深”.许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=R-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为　　　　　.(用常数a表示) 

答案:a2

解析:令t=(t≥0),则A=t2,

∴D=a-A=at-t2=-a2,

∴当t=a,即A=a2时,D取得最大值.

11.某商家推行亲子款十二生肖纪念章.通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:

(1)根据上表数据,为描述亲子款十二生肖纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系,从下列函数中选取一个最佳的函数模型是　　　　　. 

①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=logax.

(2)利用你选取的函数,求亲子款十二生肖纪念章的市场价最低时的上市时间及最低价格.

(3)设你选取的函数为y=f(x),若对任意实数k,方程f(x)=kx+2m+120恒有两个相异实数根,求m的取值范围.

解:(1)由于市场价y随上市时间x的增大而先减小后增大,而模型①③均为单调函数,不符合题意,故选择二次函数模型②.

(2)由表中数据可知解得

∴函数模型为y=x2-10x+126=(x-20)2+26.

∴当市场价最低时的上市时间为20天,最低价格为26元.

(3)∵f(x)=x2-10x+126=kx+2m+120,

x2-(10+k)x+6-2m=0恒有两个相异实数根,

∴Δ=(10+k)2-(6-2m)>0恒成立,

即-2m<k2+20k+94.

∵k2+20k+94=(k+10)2-6≥-6,

∴-2m<-6,∴m>3.

故m的取值范围是(3,+∞).

高考预测

12.如图,正方形ABCD的顶点A,B,顶点C,D位于第一象限,直线l:x=t(0≤t)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数s=f(t)的图象大致是(　　)

答案:C

解析:依题意得s=f(t)=

分段画出函数的图象可得图象如选项C所示,故选C.