高考数学一轮复习考点规范练25平面向量的概念及线性运算含解析新人教A版理

考点规范练25　平面向量的概念及线性运算

基础巩固

1.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是(　　)

A.a=-b B.a∥b

C.a=2b D.a∥b,且|a|=|b|

答案:C

解析:由表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.

2.在△ABC中,=c,=b.若点D满足=2,则=(　　)

Ab+c Bc-b Cb-c Db+c

答案:A

解析:如图,可知)=c+(b-c)=b+c.故选A.

3.设向量a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是(　　)

A.-2 B.-1 C.1 D.2

答案:B

解析:=a+b,=a-2b,

=2a-b.

又A,B,D三点共线,共线.

=,即2a+pb=λ(2a-b).

∴2=2λ,p=-λ.

∴λ=1,p=-1.

4.设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=AB,BF=BC.如果=m+n(m,n为实数),那么m+n的值为(　　)

A.- B.0 C D.1

答案:C

解析:如图,

=-

=-)

=-

=m+n,∴m=-,n=,

∴m+n=故选C.

5.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2,则(　　)

A.点P在线段AB上

B.点P在线段AB的反向延长线上

C.点P在线段AB的延长线上

D.点P不在直线AB上

答案:B

解析:因为2=2,

所以2

所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.

6.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且=0,则△ABC的内角A等于(　　)

A.30° B.60° C.90° D.120°

答案:B

解析:由=0,得点O为△ABC的重心.

又O为△ABC外接圆的圆心,所以△ABC为等边三角形,故A=60°.

7.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5+3,则△ABM与△ABC的面积比为(　　)

A B C D

答案:C

解析:设AB的中点为D.由5+3,得3-3=2-2,

即3=2

如图,

故C,M,D三点共线,且,也就是△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为,故选C.

8.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　　)

A.矩形 B.平行四边形 

C.梯形 D.以上都不对

答案:C

解析:=-8a-2b=2(-4a-b)=2,

又不平行,∴四边形ABCD是梯形.

9.已知A,B,C为圆O上的三点,若),则的夹角为　　　　　. 

答案:90°

解析:由)可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故的夹角为90°.

10.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足=0,=,则实数λ的值为　　　　　. 

答案:-2

解析:如图,由=,且=0,得P为以AB,AC为邻边的平行四边形的顶点,因此=-2,则λ=-2.

11.如图,在△ABC中,∠BAC=,AB=2,AC=4,点D为边BC上一点,满足+2=3,点E是AD上一点,满足=2,则BE=　　　　　. 

答案:

解析:如图,延长AB到F,使AF=2AB,连接CF,则AC=AF.

取CF的中点O,连接AO,

则+2=2=3,

∴A,D,O三点共线,∠BAC=,

∴∠CAO=,且AO⊥CF,AC=4,

∴AO=2AD=

又=2,∴AE=2ED=AD=

又AB=2,∠BAE=,

∴在△ABE中,由余弦定理,得BE2=4+-2×2

∴BE=

12.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点.若=+,则λ+μ=　　　　　. 

答案:1

解析:如图,因为E,F分别是AD,BC的中点,

所以=0,=0.

又因为=0,

所以①

同理②

由①+②得,2+()+()=,

所以),

所以λ=,μ=所以λ+μ=1.

能力提升

13.已知在△ABC中,D是AB边上的一点,=,||=2,||=1.若=b,=a,则用a,b表示为(　　)

Aa+b Ba+b Ca+b Da+b

答案:A

解析:由题意知,CD是∠ACB的平分线,

故)=a+b,

故选A.

14.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合.若=x+(1-x),则实数x的取值范围是(　　)

A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(0,1)

答案:A

解析:设=(λ>1),

则+=(1-λ)+

又=x+(1-x),

所以x+(1-x)=(1-λ)+

所以λ=1-x>1,得x<0.

15.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足,则点P一定为△ABC的(　　)

A.边AB中线的中点 

B.边AB中线的三等分点(非重心)

C.重心 

D.边AB的中点

答案:B

解析:设AB的中点为M,则,所以+2),即3+2=2-2,即=2

又有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近点C的一个三等分点.

16.已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足),,则△APD的面积为(　　)

A B C D.2

答案:A

解析:取BC的中点E,连接AE,

因为△ABC是边长为4的正三角形,

所以AE⊥BC,).

又),

所以点D是AE的中点,AD=

取,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知

因为△APD是直角三角形,AF=,所以△APD的面积为

17.如图,有5个全等的小正方形,=x+y,则x+y的值是　　　　　. 

答案:1

解析:由平面向量的运算可知

=2=2,

=2-(2)=3-2

又不共线,且=x+y,

即x+y=3-2,

∴x=3,y=-2,∴x+y=1.

高考预测

18.已知e1,e2为平面内两个不共线向量,=2e1-3e2,则=λe1+6e2.若M,N,P三点共线,则λ=　　　　　. 

答案:-4

解析:因为M,N,P三点共线,所以存在实数k使得=k,所以2e1-3e2=k(λe1+6e2).

又e1,e2为平面内两个不共线的向量,

所以解得λ=-4.