辽宁省沈阳市铁西区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份辽宁省沈阳市铁西区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳市铁西区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．y2+2x＝x2﹣1 B．x2+2x＝﹣5
C．7x（x﹣2）＝7x2 D．x2+﹣1＝0
2．若4x＝3y（xy≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．有两张卡片正面上分别写有一个数字：﹣2，5，两张卡片除正面上的数字外无其它差别，把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字，然后把卡片放回并洗匀，再随机抽取另一张，记录下卡片上的数字，则两次抽取的卡片上的数字都是﹣2的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
6．四边形ABCD的边长分别为2，4，6，5，四边形EFGH和四边形ABCD相似，且四边形EFGH最短边的长为6，则它的最长边长为（　　）
A．12 B．15 C．18 D．24
7．方程2x2+3x＝﹣3的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
8．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正方形ABCD的顶点C，D在第二象限，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，5） C．（﹣5，2） D．（﹣5，3）
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，则下列结论不正确的是（　　）

A． B．
C．△ADE∽△ABC D．AD•AB＝AE•AC
10．某批发商在外地购买了同一型号的a把椅子，需要托运回本市，这批椅子的总价为18300元，每把椅子的运费是5元，如果少买一把椅子，那么剩下的椅子的运费总和恰好等于一把椅子的价钱，则a的值是（　　）
A．52 B．60 C．61 D．71
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．一元二次方程x2＝3x的解是：　 　．
12．一个不透明的盒子中装有黑球和白球共10个，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 　 　个．
13．一种商品每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，则可列出方程 　 　．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝　 　．

15．如图，某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上，同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝3.9m，EF＝0.78m，点B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝1.37m，则AB＝　 　m．

16．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝12，AD＝6，点M在直线AD上，点N在边CD上，连接MN，将△DMN沿直线MN翻折，点D的对应点E恰好在边AB上，当CN最大时，＝　 　．

三、（17题6分，18题、19题各8分，共22分）
17．解方程：2x2+x﹣1＝0．
18．如图，点E，F分别在正方形ABCD边CD，BC上，且CE＝BF，求证：AF＝BE．

19．九年一班决定从班级演讲比赛中表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名同学参加学校的演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
四、（20、21题各8分，共16分）
20．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．

21．已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0．
（1）当x＝3是方程的一个根时，求a的值；
（2）方程有两个不相等的实数根时，求a的取值范围．
五、（本题10分）
22．如图，已知△ABC．
（I）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；
（2）分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P；
（3）作射线AP交BC于点D；
（4）分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；
（5）作直线GH，分别交AC，AB于点E，F．依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝．
（1）求CD的长；
（2）＝　 　．

六、解答题（共1小题，满分12分）
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C的坐标为（﹣，0），动点D从点B出发以每秒3个单位长度的速度向点O运动，同时点E从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，运动时间为t（秒），当0＜t＜1时，作DF⊥x轴交直线y＝x+2于点F，连接EF，CF，CE，AC．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求证：四边形OEFD是矩形；
（3）当△BCF与△ACE相似时，请直接写出t的值．


24．国庆节期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：
（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别
价格
A款保温杯
B款保温杯
进货价（元/个）
35
28
销售价（元/个）
50
40
（1）网店第一次用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数；
（2）第一次购进的保温杯售完后，该网店计划再次购进A，B两款保温杯共110个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3360元，则全部售完购进的保温杯，该网店可获得的最大利润是 　 　元；
（3）国庆节过后，网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，那么将销售价定为每件多少元时，才能使B款保温杯平均每天销售利润为96元？

25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E和点F分别从点D和点B同时出发，点E沿折线DAB按点D→A→B方向向终点B运动，点F沿线段BD按B→D方向向终点D运动，点E和点F的运动速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当点F运动到BD的中点时，求AE的长；
（2）当△BEF的面积是矩形ABCD面积的时，请直接写出t的值；
（3）若点F不与点B和点D重合，在点E和点F的运动过程中，矩形ABCD的边上有一点G，且点A，E，F，G构成的四边形是平行四边形，请直接写出线段GE的长．



参考答案
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．y2+2x＝x2﹣1 B．x2+2x＝﹣5
C．7x（x﹣2）＝7x2 D．x2+﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．方程y2+2x＝x2﹣1是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程x2+2x＝﹣5是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．方程7x（x﹣2）＝7x2化简后为﹣14x＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程x2+﹣1＝0是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．若4x＝3y（xy≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答．
解：A．因为＝，所以4x＝3y，故A符合题意；
B．因为＝，所以3x＝4y，故B不符合题意；
C．因为＝，所以3x＝4y，故C不符合题意；
D．因为＝，所以xy＝12，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
3．有两张卡片正面上分别写有一个数字：﹣2，5，两张卡片除正面上的数字外无其它差别，把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字，然后把卡片放回并洗匀，再随机抽取另一张，记录下卡片上的数字，则两次抽取的卡片上的数字都是﹣2的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好都是﹣2的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：画树状图如下：

由树状图可知，共有4种等可能结果，其中两次抽取的卡片上的数字都是﹣2的有1种结果，
∴两次抽取的卡片上的数字都是﹣2的概率为．
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
4．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得（x+3）2＝﹣c+9，可得2c＝﹣c+9，解方程即可得c的值．
解：x2+6x+c＝0，
x2+6x＝﹣c，
x2+6x+9＝﹣c+9，
（x+3）2＝﹣c+9．
∵（x+3）2＝2c，
∴2c＝﹣c+9，解得c＝3，
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据菱形的性质可得△AOD≌△COD≌△COB≌△AOB，再根据菱形面积公式得菱形面积，即可得到问题的答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝∠AOB＝90°，
∴Rt△AOD≌Rt△COD≌Rt△BOC≌Rt△AOB（HL），即四个三角形的面积相等，
∵在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，
∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝40．
∴△AOD的面积为：40＝10．
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的性质．掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解决此题关键．
6．四边形ABCD的边长分别为2，4，6，5，四边形EFGH和四边形ABCD相似，且四边形EFGH最短边的长为6，则它的最长边长为（　　）
A．12 B．15 C．18 D．24
【分析】利用相似多边形的性质得出相似比，进而求出即可．
解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是6和2，
四边形EFGH的最短边的长是6，
∴两多边形的相似比为：＝，
那么四边形EFGH中最长的边长是：6＝18．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，得出相似比是解题关键．
7．方程2x2+3x＝﹣3的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
解：∵2x2+3x＝﹣3，
∴2x2+3x+3＝0，
∵Δ＝（3）2﹣4×2×3＝18﹣24＝﹣6＜0，
∴无实数根，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
8．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正方形ABCD的顶点C，D在第二象限，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，5） C．（﹣5，2） D．（﹣5，3）
【分析】作CE⊥x轴于点E，则∠BEC＝∠AOB＝∠ABC＝90°，所以∠EBC＝∠OAB＝90°﹣∠OBA，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△BEC≌△AOB，因为A（0，2），B（﹣3，0），所以EB＝OA＝2，EC＝OB＝3，则C（﹣5，3），于是得到问题的答案．
解：作CE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BEC＝∠AOB＝∠ABC＝90°，BC＝AB，
∴∠EBC＝∠OAB＝90°﹣∠OBA，
在△BEC和△AOB中，
，
∴△BEC≌△AOB（AAS），
∵A（0，2），B（﹣3，0），
∴EB＝OA＝2，EC＝OB＝3，
∴OE＝OB+EB＝5，
∴C（﹣5，3），
故选：D．

【点评】此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，则下列结论不正确的是（　　）

A． B．
C．△ADE∽△ABC D．AD•AB＝AE•AC
【分析】通过证明△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可求解．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
10．某批发商在外地购买了同一型号的a把椅子，需要托运回本市，这批椅子的总价为18300元，每把椅子的运费是5元，如果少买一把椅子，那么剩下的椅子的运费总和恰好等于一把椅子的价钱，则a的值是（　　）
A．52 B．60 C．61 D．71
【分析】一把椅子的价钱为元，剩下椅子的运费5（a﹣1）元，根据“剩下的椅子的运费总和恰好等于一把椅子的价钱”即可列出方程，解答即可，
解：一把椅子的价钱为元，剩下椅子的运费5（a﹣1）元，
根据题意得＝5（a﹣1），
整理得a2﹣a﹣3660＝0，
解得a1＝61，a2＝﹣60（不符合题意，舍去），
∴a的值为61，
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系“剩下的椅子的运费总和恰好等于一把椅子的价钱”是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．一元二次方程x2＝3x的解是：　x1＝0，x2＝3　．
【分析】利用因式分解法解方程．
解：（1）x2＝3x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
12．一个不透明的盒子中装有黑球和白球共10个，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 　6　个．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
解：∵共试验400次，其中有240次摸到白球，
∴白球所占的比例为＝0.6，
设盒子中共有白球x个，则＝0.6，
解得x＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
13．一种商品每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，则可列出方程 　150（1﹣x）2＝96　．
【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：根据题意得150（1﹣x）2＝96，
故答案为：150（1﹣x）2＝96．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝　2　．

【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，
∴BO＝2，
∴AO＝BO＝2，
∴AB＝2AO＝4，
∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，
∴OE＝AD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15．如图，某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上，同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝3.9m，EF＝0.78m，点B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝1.37m，则AB＝　6.85　m．

【分析】根据平行投影得AC∥DF，可得∠ACB＝∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解．
解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝3.9m，EF＝0.78m，
∴AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，
∴＝，即＝，
解得AB＝6.85．
故答案为：6.85．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键．
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝12，AD＝6，点M在直线AD上，点N在边CD上，连接MN，将△DMN沿直线MN翻折，点D的对应点E恰好在边AB上，当CN最大时，＝　　．

【分析】根据点N在边CD上，当CN最大时，DN最小，由翻折可得EN＝DN，EN⊥AB时，EN最小，作DF⊥AB于点F，证明四边形DFEN是正方形，然后根据含30度角的直角三角形即可解决问题．
解：∵点N在边CD上，当CN最大时，DN最小，
由翻折可知：EN＝DN，
∴EN⊥AB时，EN最小，
如图，作DF⊥AB于点F，

在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴EN⊥DC，
∴四边形DFEN是矩形，
∵EN＝DN，
∴四边形DFEN是正方形，
∴DF＝EF，
∵∠DAF＝60°，AD＝6，
∴AF＝3，
∴DF＝3，
∴EF＝DF＝3，
∴AE＝AF+EF＝3+3，
∵∠DAF＝60°，
∴∠ADC＝120°，
由翻折可知：∠NEM＝∠ADC＝120°，
∵∠NEF＝90°，
∴∠AEM＝30°，
∴∠AME＝60°﹣30°＝30°，
∴AE＝AM＝3+3，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换，含30度角的直角三角形，正方形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
三、（17题6分，18题、19题各8分，共22分）
17．解方程：2x2+x﹣1＝0．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：2x2+x﹣1＝0，
（2x﹣1）（x+1）＝0，
∴2x﹣1＝0或x+1＝0，
∴x1＝，x1＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
18．如图，点E，F分别在正方形ABCD边CD，BC上，且CE＝BF，求证：AF＝BE．

【分析】根据正方形的性质，证明△ABF≌△BCE即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△ABF与△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE．
【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
19．九年一班决定从班级演讲比赛中表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名同学参加学校的演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中乙、丙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、（20、21题各8分，共16分）
20．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．

【分析】利用相似三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0．
（1）当x＝3是方程的一个根时，求a的值；
（2）方程有两个不相等的实数根时，求a的取值范围．
【分析】（1）把x＝3代入一元二次方程得9a+6﹣1＝0，然后解一次方程即可；
（2）根据根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4a×（﹣1）＞0，然后解不等式即可．
解：（1）把x＝3代入一元二次方程ax2+2x﹣1＝0得9a+6﹣1＝0，
解得a＝﹣，
即a的值为﹣；
（2）根据题意得a≠0且Δ＝22﹣4a×（﹣1）＞0，
解得a＞﹣1且a≠0，
即a的取值范围为a＞﹣1且a≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
五、（本题10分）
22．如图，已知△ABC．
（I）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；
（2）分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P；
（3）作射线AP交BC于点D；
（4）分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；
（5）作直线GH，分别交AC，AB于点E，F．依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝．
（1）求CD的长；
（2）＝　　．

【分析】（1）利用作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，所以∠EAD＝∠FAD，EA＝ED，FA＝FD，再证明四边形AEDF为菱形得到AE＝AF＝2，然后利用平行线分线段成比例定理计算CD的长．
（2）根据DE∥AB，得△CDE∽△CBA，所以＝，同理：＝，设S△ABC＝25x，则S△CDE＝9x，S△BFD＝4x，菱形AEDF的面积为12x，S△AEF＝×12x＝6x，即可求出答案．
解：（1）由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，
∴∠EAD＝∠FAD，EA＝ED，FA＝FD，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠FAD＝∠EDA，
∴DE∥AF，
同理可得AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
而EA＝ED，
∴四边形AEDF为菱形，
∴AE＝AF＝2，
∵DE∥AB，
∴＝，
即＝，
∴CD＝．
（2）∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝（）2＝，
同理：＝（）2＝，
∴设S△ABC＝25x，则S△CDE＝9x，S△BFD＝4x，
∴菱形AEDF的面积为25x﹣9x﹣4x＝12x，
∴S△AEF＝×12x＝6x，
∴＝＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质．
六、解答题（共1小题，满分12分）
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C的坐标为（﹣，0），动点D从点B出发以每秒3个单位长度的速度向点O运动，同时点E从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，运动时间为t（秒），当0＜t＜1时，作DF⊥x轴交直线y＝x+2于点F，连接EF，CF，CE，AC．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求证：四边形OEFD是矩形；
（3）当△BCF与△ACE相似时，请直接写出t的值．

【分析】（1）根据直线与坐标轴上点的特点求解即可；
（2）根据题意分别求出D、E、F点坐标，再由EF∥OA，且EF⊥OA即可证明；
（3）先求tan∠ABO＝tan∠CAO＝，可得∠ABC＝∠CAE，再分两种情况讨论当∠BCF＝∠ACE时，△BCF∽△ACE，＝，求得t＝；当∠BCF＝∠AEC时，△BCF∽△AEC，＝，此时t无解．
【解答】（1）解：令x＝0，则y＝2，
∴A（0，2），
令y＝0，则x＝﹣3，
∴B（﹣3，0）；
（2）证明：∵BD＝3t，OE＝2t，
∴D（﹣3+3t，0），E（0，2t），
∵DF⊥x轴，
∴F（﹣3+3t，2t），
∴EF∥OA，
∵FD⊥OA，
∴四边形OEFD是矩形；
（3）解：∵A（0，2），B（﹣3，0），D（3﹣3t，0），C（﹣，0），F（3﹣3t，2t），E（0，2t），
∴BC＝，BF＝t，AC＝，AE＝2﹣2t，
∵tan∠ABO＝＝，tan∠CAO＝＝，
∴∠ABC＝∠CAE，
当∠BCF＝∠ACE时，△BCF∽△ACE，
∴＝，即＝，
解得t＝；
当∠BCF＝∠AEC时，△BCF∽△AEC，
∴＝，即＝，
此时t无解；
综上所述：t的值为．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，矩形的判定是解题的关键．

24．国庆节期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：
（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别
价格
A款保温杯
B款保温杯
进货价（元/个）
35
28
销售价（元/个）
50
40
（1）网店第一次用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数；
（2）第一次购进的保温杯售完后，该网店计划再次购进A，B两款保温杯共110个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3360元，则全部售完购进的保温杯，该网店可获得的最大利润是 　1440　元；
（3）国庆节过后，网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，那么将销售价定为每件多少元时，才能使B款保温杯平均每天销售利润为96元？
【分析】（1）设购进A款保温杯x个，B款保温杯y个，由题意：网店第一次用1540元购进A，B两款保温杯共50个，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进m个A款保温杯，则购进（110﹣m）个B款保温杯，由题意：进货总价不高于3360元，列出一元一次不等式，解得m≤40．设再次购进的A、B两款保温杯全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（50﹣35）m+（40﹣28）（110﹣m）＝3m+1320，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设B款保温杯的售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣28）元，平均每天可售出（84﹣2a）个，使B款保温杯平均每天销售利润为96元，列出一元二次方程，解方程即可．
解：（1）设购进A款保温杯x个，B款保温杯y个，
依题意得：，
解得：，
答：购进A款保温杯20个，B款保温杯30个．
（2）设购进m个A款保温杯，则购进（110﹣m）个B款保温杯，
依题意得：35m+28（110﹣m）≤3360，
解得：m≤40．
设再次购进的A、B两款保温杯全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（50﹣35）m+（40﹣28）（110﹣m）＝3m+1320．
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+1320＝1440，此时110﹣m＝110﹣40＝70．
即网店可获得的最大利润是1440元，
故答案为：1440．
（3）设B款保温杯的售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣28）元，平均每天可售出4+2（40﹣a）＝（84﹣2a）个，
依题意得：（a﹣28）（84﹣2a）＝96，
整理得：a2﹣70a+1224＝0，
解得：a1＝34，a2＝36．
答：将销售价定为每件34元或36元时，才能使B款保温杯平均每天销售利润为96元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E和点F分别从点D和点B同时出发，点E沿折线DAB按点D→A→B方向向终点B运动，点F沿线段BD按B→D方向向终点D运动，点E和点F的运动速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当点F运动到BD的中点时，求AE的长；
（2）当△BEF的面积是矩形ABCD面积的时，请直接写出t的值；
（3）若点F不与点B和点D重合，在点E和点F的运动过程中，矩形ABCD的边上有一点G，且点A，E，F，G构成的四边形是平行四边形，请直接写出线段GE的长．

【分析】（1）由题意求得BF的长，则两点的运动时间可求，再利用点E和点F的运动速度都是每秒1个单位长度求出DE，则AE＝AD﹣DE；
（2）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点E在AD上时，过点F作FH⊥DE于点H，②当点E在AB上时，过点F作FH⊥AB于点H，利用平行线分线段成比例定理分别求得对应三角形的高，利用△BEF的面积是矩形ABCD面积的列出方程，解方程即可得出结论；
（3）利用分类讨论的思想方法，分四种情况讨论解答：①当点E在AD上，点G在AB上时，四边形AEFG为平行四边形，②当点E在AD上，点G在DC上时，四边形AEGF为平行四边形，③当点E在AB上，点G在DA上时，四边形AEGF为平行四边形，④当点E在AB上，点G在BC上时，四边形AEGF为平行四边形，分别利用平行四边形的性质和矩形的性质，平行线分线段成比例定理求得相应t值，在求出线段AE，AG的长，利用勾股定理求得EG的长．
解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，
∴BD＝＝5．
∵点F是BD的中点，
∴BF＝2.5．
∵F的运动速度是每秒1个单位长度，
∴当点F运动到BD的中点时t＝2.5秒，
∵点E的运动速度是每秒1个单位长度，
∴DE＝2.5×1＝2.5，
∴AE＝AD﹣DE＝0.5；
（2）①当点E在AD上时，
过点F作FH⊥DE于点H，如图，

由题意得：DE＝BF＝t，则AE＝3﹣t，DF＝5﹣t，
∵FH⊥AD，AB⊥AD，
∴FH∥AB，
∴，
∴，
∴FH＝4﹣t，
∴△BEF的面积＝S△ABD﹣S△FDE﹣S△AEB
＝3×4﹣t（4﹣t）﹣4×（3﹣t）
＝，
∴＝×4×3，
∵t＞0，
∴t＝．
②当点E在AB上时，
过点F作FH⊥AB于点H，如图，

由题意得：DA+AE＝BF＝t，则AE＝t﹣3，DF＝5﹣t，
∴BE＝AB﹣AE＝7﹣t，
∵FH⊥AB，AB⊥AD，
∴FH∥AD，
∴，
∴，
∴FH＝t．
∴△BEF的面积＝BE×FH＝（7﹣t）×，
∴t（7﹣t）＝4×3，
解得：t＝或t＝（不合题意，舍去），
∴t＝．
综上，当△BEF的面积是矩形ABCD面积的时，t的值为或；
（3）①当点E在AD上，点G在AB上时，四边形AEFG为平行四边形，如图，

此时，0＜t＜3，DE＝BF＝t，
∴AE＝3﹣t，
∵四边形AEFG为平行四边形，
∴FG∥AE，FG＝AE＝3﹣t，
∴，
∴，
∴t＝．
∴AE＝3﹣＝，
∵EF∥AB，
∴，
∴．
∴EF＝t＝＝．
∴AG＝EF＝．
∴EG＝＝＝；
②当点E在AD上，点G在DC上时，四边形AEGF为平行四边形，如图，

此时，0＜t＜3，DE＝BF＝t，
∴AE＝3﹣t，DF＝5﹣t，
∵四边形AEFG为平行四边形，
∴FG∥AE，FG＝AE＝3﹣t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴FG∥BC，
∴，
∴，
∴FG＝3﹣t，
∵GF＝AE，
∴3﹣t＝3﹣t，
∴t＝0，
此时，点F与点B重合，不合题意，舍去；
③当点E在AB上，点G在DA上时，四边形AEGF为平行四边形，如图，

此时，3＜t＜5，DA+AE＝BF＝t，
∴AE＝t﹣3，DF＝5﹣t，BE＝7﹣t，
∵四边形AEFG为平行四边形，
∴FG∥AE，FG＝AE＝t﹣3，
∴，
∴，
∴FG＝4﹣t，
∴4﹣t＝t﹣3，
∴t＝，
∴AE＝﹣3＝．
∵FE∥AD，
∴，
∴，
∴EF＝t＝，
∴AG＝FE＝，
∴EG＝＝＝；
④当点E在AB上，点G在BC上时，四边形AEGF为平行四边形，如图，

此时，3＜t＜5，DA+AE＝BF＝t，
∴AE＝t﹣3，DF＝5﹣t，BE＝7﹣t，
∵四边形AEGF为平行四边形，
∴FG∥AB，FG＝AE＝t﹣3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BA∥CD，
∴FG∥DC，
∴，
∴，
∴FG＝t，
∵FG＝AE，
∴t＝t﹣3，
∴t＝15（不合题意，舍去），
综上，点A，E，F，G构成的四边形是平行四边形，线段GE的长为或．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角形的面积，利用分类讨论的思想方法解得是解题的关键．