中考数学一轮考点复习几何图形《平行四边形》精练(2份打包，教师版+原卷版)

中考数学一轮考点复习几何图形

《平行四边形》精练

一              、选择题

1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠A＝∠C，添加下列一个条件后，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(    )

A.∠A＝∠B    B.∠C＝∠D     C.∠B＝∠D   D.AB＝CD

【答案解析】C

2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是____________(写出一个即可)．

【答案解析】答案为：AB＝AD(答案不唯一).

3.下列命题中，假命题是(　　)

A.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形

B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形

C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形

D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形

【答案解析】C.

4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO周长是(    )

A.10              B.14             C.20             D.22

【答案解析】B.

5.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于(　　)

A.6米                        B.6米                        C.3米                           D.3米

【答案解析】A.

6.如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形.若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为(　　)

A.3a＋2b       B.3a＋4b       C.6a＋2b       D.6a＋4b

【答案解析】A.

7.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长为(    )

A.3        B.4           C.2.5          D.3.5

【答案解析】D.

8.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为(    )

A.4﹣4           B.4＋4        C.8﹣4         D.＋1

【答案解析】A

9.如图1，等边△ABD与等边△CBD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移k个单位到△A′B′D′的位置，得到图2，则下列说法正确的是(　　)

①阴影部分的周长为4；

②当k＝时，图中阴影部分为正六边形；

③当k＝时，图中阴影部分的面积是.

A.①            B.①②              C.①③              D.①②③

【答案解析】C.

解析：∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，

∴A′M＝A′N＝MN，MO＝DM＝DO，OD′＝D′E＝OE，EG＝EC＝GC，B′G＝RG＝RB′，

∴OM＋MN＋NR＋GR＋EG＋OE＝A′D′＋CD＝2＋2＝4，故①正确；

∵k＝，∴A′F＝，∴A′M＝1，MN＝1.

∴MO＝(2﹣1)＝.∴MO≠MN，∴阴影部分不是正六边形，故②错误；

阴影部分的面积＝△A′B′D′的面积﹣△A′MN的面积﹣△OD′E的面积﹣△RGB′的面积

＝×(22﹣12﹣2×()2]＝，故③正确，故选：C.

10.如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，已知AB＝BC，BG＝BE，点A，B，E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，若∠DCB＝∠GEF＝120°，则PG：PC＝(　　)

A.          B.          C.          D.

【答案解析】B.

11.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是(　　)

A.2＋        B.2＋2        C.12        D.18

【答案解析】B.

12.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为(     )

A.10　　    B.12           C.14　　 　D.16

【答案解析】D.

二              、填空题

13.如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件　   　(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形.

【答案解析】答案为：AD∥BC.

14.如图，在▱ABCD中，AB=5，AC=6，当BD=____时，四边形ABCD是菱形.

【答案解析】答案为：8；

15.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.

当∠ACB为__________度时，四边形ABFE为矩形.

【答案解析】答案为：60．

16.把两张宽为2 cm的矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分(图中的阴影部分)的四边形ABCD的形状为________，其面积的最小值为________cm2.

【答案解析】答案为：菱形，4.

17.如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝3，AC＝2，D为斜边AB上一动点(不与点A、B重合)，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是　　　　　　．

【答案解析】答案为： ．

18.如图，在正方形ABCD中，AB＝，点P为边AB上一动点(不与A、B重合)，过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP＝      ．

【答案解析】答案为：-1或.

三              、解答题

19.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．

(1)求证：AE＝CF；

(2)求证：四边形EBFD是平行四边形．

【答案解析】证明：(1)如图：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，∠3＝∠4.

∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，

∴∠1＝∠2.

∴∠5＝∠6.

∵在△ADE与△CBF中，∠3＝∠4，AD＝BC，∠5＝∠6，

∴△ADE≌△CBF(ASA).

∴AE＝CF.

(2)∵∠1＝∠2，

∴DE∥BF.

又∵由(1)知△ADE≌△CBF，

∴DE＝BF.

∴四边形EBFD是平行四边形.

20.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了)，连接EF．

(1)求证：四边形ABEF为菱形；

(2)AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．

【答案解析】证明：(1)由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠FAE＝∠AEB，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE，

∴BE＝FA，

∴四边形ABEF为平行四边形，

∵AB＝AF，

∴四边形ABEF为菱形；

(2)解：∵四边形ABEF为菱形，

∴AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，

在Rt△AOB中，AO＝4，

∴AE＝2AO＝8．

21.如图①，将矩形ABCD沿DE折叠使点A落在A′处，然后将矩形展平，如图②沿EF折叠使点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处.

(1)求证：EG＝CH；

(2)已知AF＝，求AD和AB的长.

【答案解析】解：(1)证明：由折叠知△AEF≌△GEF，△BCE≌△HCE，

∵AE＝A′E＝BC，∠AEF＝∠BCE，

∴△AEF≌△BCE，

∴△GEF≌△HCE，

∴EG＝CH；

(2)∵AF＝FG＝，∠FDG＝45°，

∴FD＝2，AD＝2＋；

∵AF＝FG＝HE＝EB＝，AE＝AD＝2＋，

∴AB＝AE＋EB＝2＋＋＝2＋2.

22.已知：在正方形ABCD中，点G是BC边上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.

求证：(1)△ADE≌△BAF；

(2)AF＝BF＋EF.

【答案解析】解：(1)由正方形的性质可知：AD＝AB，

∵∠BAF＋∠ABF＝∠BAF＋∠DAE＝90°，

∴∠ABF＝∠DAE，

在△ADE与△BAF中，

∴△ADE≌△BAF(AAS)

(2)由(1)可知：BF＝AE，

∴AF＝AE＋EF＝BF＋EF

23.将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F.

(1)求证：四边形AECF为菱形；

(2)若AB＝4，BC＝8，求菱形的边长；

(3)在(2)的条件下折痕EF的长．

【答案解析】证明：(1)∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC＝∠ECA，

在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE，
∴OF＝OE，
∵OA＝OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
(2)①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，
在Rt△ABE中，∵BE2＋AB2＝AE2，
∴(8﹣x)2＋42＝x2，解得x＝5，
即菱形的边长为5；
②在Rt△ABC中，AC＝4，
∴OA＝AC＝2，
在Rt△AOE中，AE＝，OE＝，
∴EF＝2OE＝2．

24.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.

(1)求证：OM＝ON；

(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长.

【答案解析】解：(1)证明：正方形ABCD中，

AC＝BD，OA＝AC，OB＝OD＝BD，

所以OA＝OB＝OD，

因为AC⊥BD，

所以∠AOB＝∠AOD＝90°，

所以∠OAD＝∠OBA＝45°，

所以∠OAM＝∠OBN，

又因为∠EOF＝90°，

所以∠AOM＝∠BON，

所以△AOM≌△BON，

所以OM＝ON.

(2)如图，过点O作OP⊥AB于P，

所以∠OPA＝90°，∠OPA＝∠MAE，

因为E为OM中点，

所以OE＝ME，

又因为∠AEM＝∠PEO，

所以△AEM≌△PEO，

所以AE＝EP，

因为OA＝OB，OP⊥AB，

所以AP＝BP＝AB＝2，

所以EP＝1.

Rt△OPB中，∠OBP＝45°，

所以OP＝PB＝2，

Rt△OEP中，OE＝，

所以OM＝2OE＝2，

Rt△OMN中，OM＝ON，

所以MN＝OM＝2.

25.如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．

(1)求证：∠HEA＝∠CGF；

(2)当AH＝DG＝2时，求证：菱形EFGH为正方形；

(3)设AH＝x，DG＝2x，△FCG的面积为y，试求y的最大值．

【答案解析】证明：(1)过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，

∵CD∥AB，

∴∠AEG＝∠MGE，

∵GF∥HE，

∴∠HEG＝∠FGE，

∴∠AEH＝∠FGM；

(2)证明：在△HDG和△AEH中，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D＝∠A＝90°，

∵四边形EFGH是菱形，

∴HG＝HE，

在Rt△HDG和△AEH中，

HG＝HE，DG＝AH，

∴Rt△HDG≌△AEH(HL)，

∴∠DHG＝∠AEH，

∴∠DHG＋∠AHE＝90°

∴∠GHE＝90°，

∴菱形EFGH为正方形；

(3)解：过F作FM⊥CD于M，

在△AHE与△MFG中，

∠A＝∠M＝90°,∠AEH＝∠FGM，HE＝FG，

∴△AHE≌△MFG，

∴MF＝AH＝x，

∵DG＝2x，

∴CG＝6﹣2x，

∴y＝CG•FM＝•x•(6﹣2x)＝﹣(x﹣)2＋，

∵a＝﹣1＜0，

∴当x＝时，y最大＝．