广东省七校联合体（中山一中等）2023届高三上学期第一次联考数学试题

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七校联合体2023届高三第一次联考试卷（8月）数学科目一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合，集合，则（    ）A.  B. C.  D. 2. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 3. 如图，在中，，，，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 4. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ）A  B.  C.  D. 5. 若随机事件，满足，，，则（    ）A.  B. C.  D. 6. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）A. 函数的图象关于点对称B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间上单调递增D. 与图象的所有交点的横坐标之和为7. 已知a=， b=， c=，则a，b，c的大小关系为（    ）A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. b<c<a8. 已知函数有唯一零点，则A.  B.  C.  D. 1二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是AC和AE的中点，那么下列结论正确的是（    ）A.  B. 平面C.  D. 异面.10. 关于函数说法正确的是（    ）A. 定义域为 B. 图象关于轴对称C. 图象关于原点对称 D. 在内单调递增11. 下列命题中正确的是（    ）A. 双曲线与直线有且只有一个公共点B. 平面内满足的动点的轨迹为双曲线C. 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则D. 过给定圆上一定点作圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆12. 达·芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂项链所形成的曲线称为悬链线.建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，双曲余弦函数则以下正确的是（    ）A. 是奇函数 B. 在上单调递减C. ， D. ，三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 的展开式中，含项的系数为___________.14. 已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.15. 求函数在处切线方程为___________.16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，B，C，已知，若△ABC的面积为，则a+c的最小值为__________．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知的内角，，的对边分别为，，，.（1）求；（2）若，，点在线段上，，求的余弦值.18. 如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA＝PB＝AB，∠ABC＝60°，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：CE⊥PA；（Ⅱ）若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°,求平面EFC与平面PBC夹角的余弦值．19. 已知数列中，，，前项和为，若（，且）.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.20. 在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响.（1）当时，求能正常工作设备数的分布列和数学期望；（2）已知深圳某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？21. 已知是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，轴，，椭圆的短轴长等于4．（1）求椭圆标准方程；（2）设为直线上一点，为椭圆上一点，且以为直径的圆过坐标原点，求的取值范围．22. 已知函数有且仅有两个极值点，且．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．