湖南省长沙市长郡教育集团2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题

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1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念可直接进行排除选项．
【详解】由轴对称图形的性质可知：A选项符合题意，B、C、D都不是轴对称图形；
故选A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算法则分别计算即可得出答案．
【详解】解：A、3和不是同类二次根，不能相加减，故此选项错误，不符合题意；
B、和不是同类二次根，不能相加减，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算法则，同类二次根式，最简二次根式，熟练运用二次根式的混合运算法则是解题的关键．
3. 若点与关于轴对称，则（ ）．
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：∵点与关于轴对称，
∴，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，熟知这一性质是解题的关键．
4. 下列运算中，正确的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：A. =a4，故该选项正确；
B. 不同类项，不能合并，故该选项错误；
C. =a4，故该选项错误；
D. ，故该选项错误；
故选A.
5. 在实数范围内要使成立，则a的取值范围是（ ）
A. a=2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】二次根式的化简： 根据化简公式可得，从而可得答案．
【详解】解：


故选C．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解题的关键．
6. 如图，平分，点P在上，且，垂足为D，若，则P到的距离d满足（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】过点P作PE⊥AO于E，由角平分线的性质即可得到PE=PD=3cm，则d=PE=3cm．
详解】解：如图所示，过点P作PE⊥AO于E，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥AO，
∴PE=PD=3cm，
∴d=PE=3cm，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，点到直线的距离，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质．
7. 如图，，，欲证，则可增加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项不符合题意；
．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项不符合题意；
．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项不符合题意；
．，
，
即，
，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是能熟记全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
8. 在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．
【详解】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（1+30%）x万棵，需要天完成，
∵提前2天完成任务，
∴-=2，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型．
9. 如图，B在AC上，D在CE上，，，的度数为（ ）
A. 50°B. 65°C. 75°D. 80°
【答案】C
【解析】
【分析】由已知三线段相等，根据等腰三角形的性质及三角形的外角的性质不难求得与、的关系，答案可得．
【详解】解：，，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，解题的关键是求得与、的关系．
10. 如图，等边中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，，，在BD上有一动点E，则的最小值为（ ）
A. 7B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小，最小值，据此求解即可．
【详解】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴，，，
，
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若有意义，则取值范围是_________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，以及分母不等于0，即可求的取值范围．
【详解】解：根据题意得：，，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】主要考查了二次根式以及分式有意义的条件．解题的关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；分式有意义的条件是分母不等于零．
12. 如图，、的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E，，，则_______．
【答案】5
【解析】
【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，同样的方法可得，最后根据线段的和差即可得．
【详解】解：是的平分线，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
13. 已知，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】首先把81化为，进而可得，再解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是理解有理数乘方和同底数幂相乘的运算法则．
14. 如图，在中，，，DE垂直平分AC，交BC于点E，，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而根据即可求得答案
【详解】解： DE垂直平分AC，
AE=CE，
在中，，，
故答案为：
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
15. 已知（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，则a2+b2的值为 ___．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式展开，再求解即可．
【详解】解：，则①
，则②
①②得：
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
16. 若3x﹣4y﹣z=0，2x+y﹣8z=0，则的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】先把当作已知条件表示出、的值，再代入原式进行计算即可.
【详解】解方程组，解得，
原式.
故答案为：.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
三、解答题（本大题共11个小题，共72分）
17. 计算：
【答案】-3
【解析】
【分析】先分别计算负整数指数幂和零指数幂，再依次相加减即可．
【详解】解；原式=
=-3.
【点睛】本题考查负整数指数幂和零指数幂．熟练掌握公式是解题关键．，（a≠0，n为正整数）.
18. 计算：﹣．
【答案】．
【解析】
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式＝3﹣2
＝．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19. 因式分解：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）提取公因式，进行因式分解；
（2）提取公因式后，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：（1）；
（2），
．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式及公式法进行因式分解．
20. 化简求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，进而把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式，
，
，
当时，
原式，
，
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，解题的关键是正确运用乘法公式．
21. 化简求值：（）÷，其中a＝+1．
【答案】，
【解析】
【分析】先通过分式的性质化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式＝，
＝，
＝，
当a＝+1时，
原式＝，
＝，
＝．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，二次根式的运算，准确计算是解题的关键．
22. 如图，是的边上一点，， 交于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求长．
【答案】（1）证明见详解；（2）1．
【解析】
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据（1）可得，即由，根据求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
；
（2）由（1）得
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
23. 在中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且，连接BE，CF交于点D，．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠BEC=50°
【解析】
【分析】（1）根据条件直接利用AAS判定△ABE≌△ACF，得到AB=AC，推出∠ABC=∠ACB，结合∠ABE=∠ACF可推出∠DBC=∠DCB，即可判定△BCD为等腰三角形；
（2）先由∠A=40°和AB=AC求出∠ACB的度数，然后根据∠DBC=∠DCB得到DB=DC，再由BC=BD可推出△BCD为等边三角形，利用∠BEC=180°-∠BCE-∠EBC，即可求出∠BEC的度数．
【详解】证明：（1）在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS）
∴AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
又∵∠ABE=∠ACF
∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACF
即∠DBC=∠DCB
∴DB=DC
∴△BCD为等腰三角形．
（2）∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠ACB=
∵DB=DC，BC=BD
∴DB=DC=BC
∴△BCD为等边三角形
∴∠EBC=60°
∴∠BEC=180°-∠BCE-∠EBC=180°-70°-60°=50°
【点睛】本题考查全等三角形，等腰三角形，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质是解题的关键．
24. 如图，为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．
(1)求证：BE＝AD；
(2)求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）7
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定可证得△ABE≌△CAD（SAS），再根据全等三角形的性质可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质和三角形的外角性质可证得∠BPQ=60°，再根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半可得BP=2PQ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC，又AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD；
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABP=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABP+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，又PQ=3，
∴BP=2PQ=6，又PE=1，
∴BE=BP+PE=6+1=7，
∴AD=BE=7．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、含30°角的直角三角形的性质，属于三角形的基础题，难度适中，熟练掌握全等三角形的判定与性质，熟知直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半是解答的关键．
25. “七一”建党节前夕，某校决定购买，两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的3倍．
（1）求，奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于720元，，两种奖品共100件．求购买，两种奖品的数量，有哪几种方案？
【答案】（1）A，奖品的单价分别是40元，15元；（2）购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B奖品75件．
【解析】
【分析】（1）设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，根据“购买奖品的数量是奖品的3倍”，列出分式方程，即可求解；
（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，列出一元一次不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，
由题意得：，
解得：x=15，
经检验：x=15是方程的解，且符合题意，
15+25=40，
答：A，奖品的单价分别是40元，15元；
（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，
由题意得：，
解得：22.5≤a≤25，
∵a取正整数，
∴a=23，24，25，
答：购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B奖品75件．
【点睛】本题主要考查分式方程以及一元一次不等式组的实际应用，找准数量关系，列出方程和不等式组，是解题的关键．
26. 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）若x为整数，为负整数，可求得______；
（2）利用分离常数法，求分式的取值范围；
（3）若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于）．
①用含x的式子表示出mn；
②随着x的变化，有无最小值？如有，最小值为多少？
【答案】（1）；（2）；（3）①；②当时，有最小值，最小值是27．
【解析】
【分析】（1）按照阅读材料方法，把变形即可；
（2）用分离常数法，把原式化为，由即可得答案；
（3）①用分离常数法，把原式化为，根据已知用的代数式表示、;②根据已知用的代数式表示，配方即可得答案．
【详解】（1），
若x为整数，为负整数，则，
解得：，
故答案是：；
（2），
∵，
∴，
∴；
（3）∵，
而分式拆分成一个整式与一个真分式
（分子为整数）的和（差）的形式为：，
∴，，
∴，，
①，
②∵，，
而
，
∵，
∴，
∴当时，的最小值是27．
【点睛】本题考查分式的变形、运算，解题的关键是应用分离常数法，把所求分式变形．
27. 如图1，在平面直角坐标系中，点在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设，且．
（1）直接写出的度数．
（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若，求点M的坐标．
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作，且，连接AF交BC于点P，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据坐标系写出的坐标，进而根据，因式分解可得，进而可得，在x轴的正半轴上取点C，使，连接BC，证明是等边三角形，进而即可求得；
（2）连接BM，，进而证明为等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得
（3）过点F作轴交CB的延长线于点N，证明，，设，则等边三角形ABC的边长是4a，，进而计算可得，，即可求得的值．
【详解】（1）∵点在x轴负半轴上，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
如答图1，在x轴的正半轴上取点C，使，连接BC，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）如答图2，连接BM，
∴是等边三角形，
∵，，
∵∠，
∴，
∴，
∵D为AB的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，在和中，
∴，
∴，即，
∴，
∴为等边三角形，
∴，∴；
（3）如答图3，过点F作轴交CB的延长线于点N，
则，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵E是OC的中点，设，
∴等边三角形ABC的边长是4a，，
∵，
∴，
和中，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，因式分解的应用，掌握三角形全等的性质与判定并正确的添加辅助线是解题的关键．